CH1第6节独立性ppt课件

1、第六节第六节 独立性独立性两个事件的独立性两个事件的独立性多个事件的独立性多个事件的独立性独立性的概念在计算概率中的应用独立性的概念在计算概率中的应用小结小结显然显然 P(A|B)=P(A)这就是说这就是说,已知事件已知事件B发生发生,并不影响事件并不影响事件A发生的发生的概率概率,这时称事件这时称事件A、B独立独立.一、两事件的独立性一、两事件的独立性A=第二次掷出第二次掷出6点点， B=第一次掷出第一次掷出6点点，先看一个例子：先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，将一颗均匀骰子连掷两次，设设 由乘法公式知，当事件由乘法公式知，当事件A、B独立时，有独立时，有 P(AB)=P(A) P(B

2、) 用用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性刻划独立性,比用比用 P(A|B) = P(A) 或或 P(B|A) = P(B) 更好更好,它不受它不受 P(B)0 或或 P(A)0 的制约的制约. P ABP A B P B 若两事件若两事件A、B满足满足 P(AB)= P(A) P(B) (1)则称则称A、B相互独立，简称相互独立，简称A、B独立独立.两事件独立的定义两事件独立的定义 1 定定理理 独独立立的的充充要要条条件件为为、事事件件BA 0,|0, | APBPABPBPAPBAP 或或 证证 . 先先证证必必要要性性 , 由由独独立立定定义义知知独独立立、设设事事件件BA BP

3、APABP | , 0 , BPABPBAPBP 时时当当所所以以 BPBPAP AP | , 0 , APABPABPAP 时时当当或或者者 APBPAP BP : 再再证证充充分分性性 , | 则则有有成成立立设设APBAP BPBAPABP| BPAP . , 相互独立相互独立、事件事件由定义可知由定义可知BA 例例1 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的可见可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于由于 P(A)=4/52=1/13, 故故 事件事件A、B独立独立.问事件问事件A、B是否独立

4、？是否独立？解解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2, 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记记 A=抽到抽到K, B=抽到的牌是黑色的抽到的牌是黑色的, 在实际应用中在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立判断两事件是否独立. 可见可见 P(A)= P(A|B), 即事件即事件A、B独立独立.那么那么P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

5、在实际应用中在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立断两事件是否独立. 由于由于“甲命中并不影响甲命中并不影响“乙命中的概率，乙命中的概率，故认为故认为A、B独立独立 .甲、乙两人向同一目标射击甲、乙两人向同一目标射击,记记 A=甲命中甲命中, B=乙命中乙命中，A与与B是否独立？是否独立？例如例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率） 一批产品共一批产品共n件，从中抽取件，从中抽取2件，设件，设 Ai=第第i件是合格品件是合格品 i=1,2若抽取是有放回的若抽取是有放回的, 则则A1与与A2独独立

6、立.因为第二次抽取的结果受到第一次因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响抽取的影响.又如：又如：因为第二次抽取的结果因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则若抽取是无放回的，则A1与与A2不独不独立立.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 ABAB,21)(,21)( BPAP若若AB).()()(BPAPABP 则则例如例如由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥.两事件相互独立与两事件互斥的关系两事件相互独立与两事件互斥的关系. .请同学们思考请同学们思考二者之间没二者

7、之间没有必然联系有必然联系AB21)(,21)( BPAP若若. )()()(BPAPABP 故故由此可见两事件互斥但不独立由此可见两事件互斥但不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP设设A、B为互斥事件，且为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的选项是：个结论中，正确的选项是： 前面我们看到独立与互斥的区别和联系，前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)设设A、B为独立事件，且为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四下面四个结论中，正确的选项是：

8、个结论中，正确的选项是：1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A)3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习再请你做个小练习.=P(A)1- P(B)= P(A)- P(AB)BP(A )= P(A - A B)A、B独立独立概率的性质概率的性质= P(A)- P(A) P(B)仅证仅证A与与 独立独立B定理定理 2 若两事件若两事件A、B独立独立, 那那么么 BABABA与与与,也相互独立也相互独立.证明证明B= P(A) P( )故故 A与与 独立独立B 定义定义 , 如如果果满满足足等等式式为为三三事事件件、设设CBA CPBPBCPCPAPACP

9、BPAPABP . 为为两两两两独独立立的的事事件件、则则称称三三事事件件CBA , 等式等式两两独立时两两独立时、当事件当事件CBA CPBPAPABCP . 不不一一定定成成立立二、多个事件的独立性二、多个事件的独立性 例如例如 , ,4321 S , ,3121 BA , ,41则则 C , 21 CPBPAP , BPAP 41 ACP , 并且并且 41 ABP ,P A P C 41 BCP . CPBP . 两两两两独独立立、即即事事件件CBA但是但是 41 ABCP . CPBPAP 对于三个事件对于三个事件A、B、C，假设，假设 P(AB)= P(A)P(B) P(AC)=

10、P(A)P(C) P(BC)= P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 四个等式同时成立四个等式同时成立,则称事件则称事件A、B、C相互独立相互独立. : 有限多个事件的情形有限多个事件的情形此定义可以推广到任意此定义可以推广到任意 定义定义 , , , 21如如果果对对于于任任意意个个事事件件为为设设nAAAn 1 , 1 21有有等等式式和和任任意意的的的的niiinkkk kkiiiiiiAPAPAPAAAP 2121 . , , 21为相互独立的事件为相互独立的事件则称则称nAAA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联

11、系两两独立两两独立相互独立相互独立对对 n (n 2)个事件个事件?对独立事件，许多概率计算可得到简化对独立事件，许多概率计算可得到简化三、独立性的概念在计算概率中的应用三、独立性的概念在计算概率中的应用 , 0.9 0.8 1和和苗苗率率分分别别为为有有甲甲、乙乙两两批批种种子子，出出例例 , 求求取取一一粒粒现现从从这这两两批批种种子子中中各各任任 ; 1 两两粒粒种种子子都都出出苗苗的的概概率率 ; 2出苗的概率出苗的概率恰好有一粒种子恰好有一粒种子 . 3概概率率至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗的的 解解 子子出出苗苗由由甲甲批批中中取取出出的的一一粒粒种种设设 A 子子出出苗苗由

12、由乙乙批批中中取取出出的的一一粒粒种种 B , 两两粒粒种种子子都都出出苗苗且且事事件件相相互互独独立立、则则事事件件BA : 表示为表示为 , AB : 表表示示为为恰恰好好有有一一粒粒出出苗苗 , BABA : 表表示示为为至至少少有有一一粒粒种种子子出出苗苗 . BA ABP 1 BPAP ; 0.720.90.8 BABAP 2 BAPBAP BPAPBPAP . 0.260.10.80.90.2 BAP 3 ABPBPAP BPAPBPAP 0.90.80.90.8 . 0.98 BAP 或或者者 BAP 1 BAP 1 BPAP 1 . 0.98 BAP 或或者者 BABAABP

13、BABAPABP . 0.980.260.72 , 2都都每每一一门门击击中中飞飞机机的的概概率率设设有有两两门门高高射射炮炮例例 : , 0.6 求求下下列列事事件件的的概概率率是是 ? 1中中飞飞机机的的概概率率是是多多少少同同时时发发射射一一发发炮炮弹弹而而击击 99% , 2以以上上的的概概率率欲欲以以若若有有一一架架敌敌机机入入侵侵领领空空 ? , 炮炮问问至至少少需需要要多多少少门门高高射射击击中中它它 解解 , 而而击击中中飞飞机机门门高高射射炮炮发发射射一一发发炮炮弹弹第第设设kAk , 6 . 0 , , 2 , 1 于于是是且且之之间间相相互互独独立立则则 kkAPAk 2

14、1 1AAP 211AAP 211AAP 211APAP 24 . 01 . 0.84 , 2由由题题知知门门高高射射炮炮设设至至少少需需要要n 21nAAAP 121nAAAP 121nAAAP nAPAPAP 211n4 . 01 0.99 , 01. 00.4 n , 解之得解之得 . 026. 54 . 0ln01. 0ln n即即 ?. 4 100 . 0.01 ; 0.95 . , 3 , ) 3 ( 3 : . 100 3 概率是多少概率是多少试问这批乐器被接收的试问这批乐器被接收的音色不纯的音色不纯的件是件是件乐器中恰有件乐器中恰有如果已知这如果已知这的概率为的概率为测试被误认

15、为不纯测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经而一件音色纯的乐器经为为出其为音色不纯的概率出其为音色不纯的概率试查试查件音色不纯的乐器经测件音色不纯的乐器经测设一设一收收则这批乐器就被拒绝接则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯被认为音色不纯中中件中至少有一件在测试件中至少有一件在测试如果如果是相互独立的是相互独立的件乐器的测试件乐器的测试设设件测试件测试该批乐器中随机地取该批乐器中随机地取自自验收方案如下验收方案如下乐器乐器件件要验收一批要验收一批例例 解解 , , 3 件音色不纯件音色不纯恰有恰有件件随机地取出随机地取出设设iHi . 3210,i . 这批乐器被接收这批乐器被接收 A 则则 AP

16、 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 其中其中 0HP , 3100396CC 1HP , 142310096CCC 2HP , 241310096CCC 3HP , 343100CC 0H|AP , 0.993 1H|AP , 0.050.992 2H|AP , 0.050.992 3H|AP . 0.053 : 概概率率为为所所以以这这批批乐乐器器被被接接收收的的 AP 11HPH|APHPH|AP 00 3322HPH|APHPH|AP 30.99 3100396CC 0.050.992142 310096CCC 22410.050.99 310096C

17、CC 0.053343100CC . 0.8629 例例4 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？能将密码译出的概率是多少？ 解解 将三人编号为将三人编号为1，2，3，所求为所求为 记记 Ai=第第i个人破译出密码个人破译出密码 i=1 , 2 , 3 123P AAA 知知, P(A1)=1/5 , P(A2)=1/3 , P(A3)=1/4 1231231P AAAP AAA 12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP =1

18、-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3) 6 . 05343325413 1231231P AAAP AAA 例例5 下面是一个串并联电路示意图下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H 都是电路中的元件都是电路中的元件. 它们下它们下方的数是它们各自正常工作的概率方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工求电路正常工作的概率作的概率.ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 解解 将电路正常工作记为将电路正常工作记为W，由于各元件独立工，由于各元件独立工作，有作，有其中其中P(W) 0.782代入得代入得 P

19、WP A P B P CDE P FG P H 1P BCDP B P C P D 0.973 1P FGP F P G 0.9735 ABCEDFGH95. 095. 095. 070. 070. 070. 075. 075. 0 例例6 设有一架长机两架僚机飞往某目的地进行轰炸，设有一架长机两架僚机飞往某目的地进行轰炸，由于只有长机装有导航设备，因此僚机不能单独到达目由于只有长机装有导航设备，因此僚机不能单独到达目的地，在飞行途中要经过敌方高射炮阵地，每机被击落的地，在飞行途中要经过敌方高射炮阵地，每机被击落的概率为的概率为0.2，达到目的地后，各机独立轰炸，每机炸，达到目的地后，各机独立

20、轰炸，每机炸中目标的概率为中目标的概率为0.3，求目标被炸中的概率。，求目标被炸中的概率。解解 设设Ai=“有有i架飞机到达目的地架飞机到达目的地”， i=1，2，3B=“目标被炸中目标被炸中”，那么，那么1()0.8 0.2 0.2P A 2()0.8 0.8 0.20.8 0.2 0.8P A3()0.8 0.8 0.8P A只有僚机到只有僚机到达目的地达目的地3123123( )() ()() 0.3() (1 0.7 )() (1 0.7 )0.4765iiiP BP A P B AP AP AP A., )21(,7互互独独立立设设各各局局胜胜负负相相利利还还是是采采用用五五局局三三

21、胜胜制制有有有有利利采采用用三三局局二二胜胜制制问问对对甲甲而而言言概概率率为为每每局局甲甲胜胜的的比比赛赛甲甲、乙乙两两人人进进行行乒乒乓乓球球 pp例例解解,甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制:胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”, “乙甲甲乙甲甲”,“甲乙甲甲乙甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:获胜的概率为获胜的概率为于是由独立性得甲最终于是由独立性得甲最终).1(2221pppp ,3,局局至至少少需需比比赛赛甲甲最最终终获获胜胜采采用用五五局局三三胜胜制制.,局局而而前前面面甲甲需需胜胜二二且且最最后后一一局局必必需需是是甲甲胜胜,比赛四局比赛四局例如例如:则甲的胜局情况可能是则甲的胜局情况可能是“甲乙甲甲甲乙甲甲”,“乙甲甲甲乙甲甲甲”,“甲甲乙甲甲甲乙甲”;,容容由于这三种情况互不相由于这三种情况互不相:,甲甲最最终终获获胜胜的的概概率率为为在在五五局局三三胜胜制制下下.)1