大学物理实验基础理论

1、大学物理实验基础理论大学物理实验基础理论绪论绪论 物理学本质上是一门实验科学物理学本质上是一门实验科学，物理实验在物理学的产生、发展和，物理实验在物理学的产生、发展和应用过程中起着重要作用。应用过程中起着重要作用。以诺贝尔物理学奖为例：以诺贝尔物理学奖为例：80%以上的诺贝尔以上的诺贝尔物理学奖给了实验物理学家。物理学奖给了实验物理学家。20%的奖中很多是实验和理论物理学家分的奖中很多是实验和理论物理学家分享的。享的。 希望同学们能重视这门课程的学习，经过一年的时间，希望同学们能重视这门课程的学习，经过一年的时间，真正能学有所得。真正能学有所得。 大学物理实验是大学生进入大学后系统接受科学实验

2、方法和实验技大学物理实验是大学生进入大学后系统接受科学实验方法和实验技能训练的开端。能训练的开端。对于理工科学生来说，不仅要具有一定的基础理论，更对于理工科学生来说，不仅要具有一定的基础理论，更应具备较强的实践操作技能。应具备较强的实践操作技能。通过实验课的学习，可以提高大学生用实通过实验课的学习，可以提高大学生用实验手段发现、分析和解决问题的能力，激发大学生的创新意识，为培养验手段发现、分析和解决问题的能力，激发大学生的创新意识，为培养提高从事科学实验的素质，打下坚实的基础。提高从事科学实验的素质，打下坚实的基础。B、预约网址是预约网址是26/study

3、web/learningweb/,预约前预约前必须在网上仔细阅读物理实验的相关信息必须在网上仔细阅读物理实验的相关信息。A、大学物理实验课程由一层次和二层次两部分组成，分两个学期完成。大学物理实验课程由一层次和二层次两部分组成，分两个学期完成。每个学生至少要完成的个数：每个学生至少要完成的个数：一层次一层次7 7个：二层次个：二层次8 8 个个。多做加分，本。多做加分，本学期做一层次的实验。学期做一层次的实验。物理实验课的程序物理实验课的程序1 1、预约阶段、预约阶段C、预约时间：第二周开始，希望大家及时进行预约预约时间：第二周开始，希望大家及时进行预约.一层次一层次上课时间：上课时间：周一周

4、一- -周三的下午和晚上。周三的下午和晚上。 下午下午14:00 14:00 16:30 16:30 晚上晚上19:00 19:00 21:3021:30周次：第三周第十五周（周次：第三周第十五周（第6周，清明、运动会五一节除外 ）2 2、预习阶段（、预习阶段（2020分）分）A、实验前的预习要求：掌握原理、实验内容，写出预习报告。实验前的预习要求：掌握原理、实验内容，写出预习报告。 预习报告包括：预习报告包括：实验名称、实验目的、实验原理（实验名称、实验目的、实验原理（要简明，忌抄课本，要简明，忌抄课本，在理解的基础上用自己的语言描述在理解的基础上用自己的语言描述）、实验内容及数据表格）、实

5、验内容及数据表格。B、数据表格、数据表格应在理解实验原理、实验内容的前提下，设计完整应在理解实验原理、实验内容的前提下，设计完整的数据记录表格。的数据记录表格。C、没有预习报告不允许做实验。没有预习报告不允许做实验。进入实验室做实验时老师会以进入实验室做实验时老师会以提问等方式检查预习情况。提问等方式检查预习情况。C、实验结束时，应首先让任课教师检查数据并实验结束时，应首先让任课教师检查数据并得到老师签字得到老师签字允许后允许后方可整理实验仪器。每次实验学生方可整理实验仪器。每次实验学生必须整理实验仪器和卫生必须整理实验仪器和卫生，养成良，养成良好的实验习惯，好的实验习惯，否则会影响你的实验操

6、作成绩。否则会影响你的实验操作成绩。3 3、实验阶段（、实验阶段（4040分或者分或者6060分）分）A、进入实验室，每个学生必须进入实验室，每个学生必须携带预习报告和有效证件携带预习报告和有效证件，否则任课，否则任课教师有权拒绝你做实验，该项目成绩按旷课处理。教师有权拒绝你做实验，该项目成绩按旷课处理。B、实验过程中每个学生应做到：实验过程中每个学生应做到：态度端正、工作严谨、独立完成。态度端正、工作严谨、独立完成。操作仪器、连接线路必须按有关规程进行，操作仪器、连接线路必须按有关规程进行，人为原因损坏仪器要赔偿。人为原因损坏仪器要赔偿。必须用实验报告纸写报告，作图必须用坐标纸必须用实验报告

7、纸写报告，作图必须用坐标纸。 4 4、实验结束后的报告、实验结束后的报告 写实验报告是实验工作的全面总结，要用简明的形式写实验报告是实验工作的全面总结，要用简明的形式将实验结果完整而有真实地表达出来。将实验结果完整而有真实地表达出来。通常一份完整的实验报告是由下列几部通常一份完整的实验报告是由下列几部分组成分组成 1 1、实验名称、实验名称 2 2、实验目的、实验目的 3 3、实验原理、实验原理 4 4、实验内容、实验内容 5 5、实验仪器、实验仪器 6 6、数据记录和处理、数据记录和处理 7 7、实验结论、实验结论 8 8、问题分析与讨论、问题分析与讨论 9 9、附件：教师签字的原始数据（必

8、备）、附件：教师签字的原始数据（必备）（1-41-4项是预习报告必须做的内容）项是预习报告必须做的内容） 要求：内容齐全，版面工整，图表规范，要求：内容齐全，版面工整，图表规范，结果正确，讨论认真。结果正确，讨论认真。用大学物理实验报告纸写报告，报告及时交上。用大学物理实验报告纸写报告，报告及时交上。关于重修：重修的同学需要将关于重修：重修的同学需要将7 7个实验全部重新做。个实验全部重新做。物理实验课注意事项物理实验课注意事项 1、已预约不能来做实验者，须在前一周自行删除。确有已预约不能来做实验者，须在前一周自行删除。确有 特殊情况不能按时做实验的学生应请假（特殊情况不能按时做实验的学生应请

9、假（须持正规的须持正规的假条假条），并找机会补做。无故旷课者补做时扣分。若），并找机会补做。无故旷课者补做时扣分。若不补做该实验项目成绩为不补做该实验项目成绩为2 2分。抄袭实验者本实验成分。抄袭实验者本实验成绩为绩为0 0分。分。2、交实验报告的时间：、交实验报告的时间： 做完实验一周之内，否则成绩受到影响。若交实验报做完实验一周之内，否则成绩受到影响。若交实验报告不及时，网上给出的成绩为实验预习和操作成绩，等交告不及时，网上给出的成绩为实验预习和操作成绩，等交上报告老师批改后才能登出总成绩。上报告老师批改后才能登出总成绩。 3、交实验报告的方式：、交实验报告的方式：物理楼一楼大厅西侧各个老

10、师的实验报告箱。物理楼一楼大厅西侧各个老师的实验报告箱。4、实验成绩公布时间和方式：实验成绩公布时间和方式： 第第n周做的实验，周做的实验，成绩一般在成绩一般在n+3周的周一上网公布。周的周一上网公布。 5、成绩不及格重修时、成绩不及格重修时原来已经做过的实验成绩作废，原来已经做过的实验成绩作废， (2-1)仍须做仍须做7个，个， (2-2) 8个个。6 6、一层次实验结束后要写课程总结，以班为单位由班长收齐、一层次实验结束后要写课程总结，以班为单位由班长收齐交到物理楼交到物理楼230,230,具体时间请大家留意通知具体时间请大家留意通知. .联系电话联系电话839609983960997 7

11、、各班班长第二周到物理楼、各班班长第二周到物理楼230230拿报告箱钥匙。拿报告箱钥匙。第一章第一章 误差与数据处理基础知识误差与数据处理基础知识1.11.1几个基本概念几个基本概念一、测量一、测量（Measurement）1、定义、定义 测量就是借助于专门设备，通过一定的实验方法，以确定物测量就是借助于专门设备，通过一定的实验方法，以确定物理量值为目的所进行的操作。理量值为目的所进行的操作。一个物理量的测量值必须包括数值一个物理量的测量值必须包括数值和单位两部分。和单位两部分。例如：用最小刻度为例如：用最小刻度为mm的米尺测的米尺测量物体的长度为（量物体的长度为（ ）cm1.652 2、分类

12、、分类A 按照测量结果获得的方法不同：间接测量和直接测量按照测量结果获得的方法不同：间接测量和直接测量（1）直接测量：用预先校对好的测量仪器或量具进行测量，直接）直接测量：用预先校对好的测量仪器或量具进行测量，直接读取被测量数值的大小。读取被测量数值的大小。（2 2）间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的）间接测量：待测量的量值是由若干个直接测量量经过一定的函数获得的。函数获得的。如：通过单摆实验测量重力加速度，公式为如：通过单摆实验测量重力加速度，公式为224TLg直接测量量是直接测量量是L L和和 T T，间接测量是，间接测量是g在物理量的测量中，绝大多数是间接测量，在物理量

13、的测量中，绝大多数是间接测量，但是，直接测量是一切测量的基础。但是，直接测量是一切测量的基础。如：用米尺测量长度、用秒表测时间等如：用米尺测量长度、用秒表测时间等B 按照测量条件不同：等精度测量和非等精度测量按照测量条件不同：等精度测量和非等精度测量（1 1）等精度测量：在相同的测量条件下对某一测量所做得重复测量）等精度测量：在相同的测量条件下对某一测量所做得重复测量（同一测量水平的观测者，同一精度的仪器，同样的实验方法和环境）（同一测量水平的观测者，同一精度的仪器，同样的实验方法和环境）（2 2）非精度测量：在不同的测量条件下对某一测量所做得得重复测量）非精度测量：在不同的测量条件下对某一测

14、量所做得得重复测量二、误差（二、误差（ErrorError）1、定义、定义 误差就是指某量值的测量值与客观真值之差误差就是指某量值的测量值与客观真值之差。误差测量值真值注意：注意： 测量值是通过测量得到的被测量的值；测量值是通过测量得到的被测量的值；真值是某一物理量在真值是某一物理量在 一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数值。一定条件下所具有的客观的、不随测量方法改变的真实数值。一般情况下真值是未知的，但在某些特殊情况下可以认为是已一般情况下真值是未知的，但在某些特殊情况下可以认为是已知的：知的： 理论真值；理论真值； 约定真值；约定真值； 相对真值。相对真值。2、 误差的基本性

15、质误差的基本性质未知性；未知性； 普遍性；普遍性； 随机性随机性3、误差的分类、误差的分类根据误差的性质，分为根据误差的性质，分为系统误差系统误差、随机误差随机误差、疏失误差疏失误差（1 1）系统误差系统误差(Systematic error)(Systematic error) 在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，在相同条件下，对同一测量量的多次测量过程中，保持恒定变化保持恒定变化（大小、正负不变）或按特定规律变化（大小、正负不变）或按特定规律变化的误差分量。的误差分量。 例如：天平不等臂、电表刻度不均匀等。例如：天平不等臂、电表刻度不均匀等。 系统误差的来源分为以下几个方面：系统误

16、差的来源分为以下几个方面： 仪器设备、装置误差仪器设备、装置误差 A A 标准器误差标准器误差 例如，标准电池、标准量块、标准电阻例如，标准电池、标准量块、标准电阻 B B 仪器误差仪器误差 例如，天平、电桥等比较仪器。温度计、秒表、检流计等指示仪器例如，天平、电桥等比较仪器。温度计、秒表、检流计等指示仪器 C C 附件误差附件误差 例如，开关、导线、电源等例如，开关、导线、电源等 环境误差环境误差 如温度、湿度、压力、震动、电磁场等如温度、湿度、压力、震动、电磁场等 方法误差方法误差 由于测量方法或计算方法不完善、不合理等原因引起的误差。由于测量方法或计算方法不完善、不合理等原因引起的误差。

17、如如用伏安法测电阻时，忽略电表内阻的影响用伏安法测电阻时，忽略电表内阻的影响 人员误差人员误差从不同的角度，系统误差又可分为以下两类从不同的角度，系统误差又可分为以下两类按误差掌握程度：按误差掌握程度：已定系统误差已定系统误差和和未定系统误差未定系统误差。按误差变化规律：按误差变化规律：不变系统误差不变系统误差和和变化系统误差变化系统误差。系统误差尽量消除或减小系统误差尽量消除或减小（2 2）随机误差）随机误差(Random error)(Random error) 对于某一个具体误差来说，误差值可能是正或负，也可能是比较大或对于某一个具体误差来说，误差值可能是正或负，也可能是比较大或小，这是

18、难以预测的，而且毫无规律而言，小，这是难以预测的，而且毫无规律而言，但是如果测量次数较多时，但是如果测量次数较多时，误差的变化规律又符合一定的统计规律。误差的变化规律又符合一定的统计规律。特点特点：不可预知，但符合特定的统计规律：不可预知，但符合特定的统计规律随机误差正态分布曲线f()正态分布特点：单峰性对称性有界性 （3 3）疏失误差疏失误差（粗差）（粗差）(Cross error)(Cross error) 在测量过程中，由于测量仪器工作失常，或观测者在测量过程中，由于测量仪器工作失常，或观测者疲劳、大意等因素造成的误差，如读取数据、记录数据发疲劳、大意等因素造成的误差，如读取数据、记录数

19、据发生的错误等。生的错误等。这种误差性质上与以上两种误差不太一样，这种误差性质上与以上两种误差不太一样，属于测量坏值，一旦发现，应及时剔除属于测量坏值，一旦发现，应及时剔除。 4. 4. 误差的表示形式误差的表示形式 绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正可负，有绝对误差反映了测量值偏离真值的大小和方向，可正可负，有单位。单位。（1 1）绝对误差（）绝对误差（Absolute errorAbsolute error） 是指用绝对大小给出的误差，表示为是指用绝对大小给出的误差，表示为 误差（误差（）测量值（）测量值（x x）真值（）真值（x x0 0）（2 2）相对误差（）相对误差（Re

20、lative errorRelative error） 是绝对误差与被测量真值的比值，表示为是绝对误差与被测量真值的比值，表示为 相对误差（相对误差（E E） 绝对误差（绝对误差（） / /真值（真值（x x0 0） 100100相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分数表示。相对误差反映了测量精度的高低，无单位，用百分数表示。 例如：例如： 测量两个物体的长度分别为测量两个物体的长度分别为L1=100.0mm，L2=80.0mm，绝对误差，绝对误差分别为：分别为： 1=0.8mm，2=0.8mm。相对误差分别为：相对误差分别为： （3）引用误差（）引用误差（Fiducial error）

21、 是绝对误差与测量范围上限或量程的比值，是绝对误差与测量范围上限或量程的比值，表示为表示为 E /xmax100引用误差主要用于仪器误差的表示，实际上是一种简化方便的仪引用误差主要用于仪器误差的表示，实际上是一种简化方便的仪器相对误差，无单位，用百分数表示。器相对误差，无单位，用百分数表示。E1=0.8%， E2=1.0% 。三、精度（三、精度（TruenessTrueness） 精度也称精确度，描述测量结果与真值的接近程度。精度也称精确度，描述测量结果与真值的接近程度。主要分为以下几主要分为以下几种：种： 1 1、精密度（、精密度（PrecisionPrecision） 精密度用来描述等精度

22、测量结果中各测量值之间的接近程度，它反映精密度用来描述等精度测量结果中各测量值之间的接近程度，它反映了随机误差的大小。了随机误差的大小。 2 2、正确度（、正确度（ValidityValidity） 用来描述测量结果与真值的偏离程度，反映了系统误差的大小。用来描述测量结果与真值的偏离程度，反映了系统误差的大小。 3 3、准确度（、准确度（AccuracyAccuracy）反映系统误差与随机误差综合大小程度。准确度高说明测量结果既精反映系统误差与随机误差综合大小程度。准确度高说明测量结果既精密又正确。密又正确。ABC打靶弹着点的分布图如右图打靶弹着点的分布图如右图A 精密度高，正确度低精密度高，

23、正确度低B 正确度高，精密度低正确度高，精密度低C 正确度与精密度都高正确度与精密度都高四、测量不确定度 1 1、不确定度的定义、不确定度的定义 测量不确定度是对测量结果不确定范围的标度，也可以理解为测量测量不确定度是对测量结果不确定范围的标度，也可以理解为测量误差可能出现的范围，表征测量结果的误差可能出现的范围，表征测量结果的分散性、准确性和可靠程度分散性、准确性和可靠程度，也，也表示待测量的真值可能在某个量值范围的评定。表示待测量的真值可能在某个量值范围的评定。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度是评价测量质量的一个重要的指标。不确定度大，可信赖不确定度大，可信赖程度低；不确定

24、度小，可信赖程度高。程度低；不确定度小，可信赖程度高。 2 2、不确定度的相关表述、不确定度的相关表述 标准不确定度：标准不确定度： 用标准差表示用标准差表示( (u)u)， 合成标准不确定度：合成标准不确定度： 几个不确定度的合成几个不确定度的合成( ( u uc c) ) ， 扩展不确定度：扩展不确定度： 合成标准不确定度的倍数合成标准不确定度的倍数( (U) U) ，U Uk uk uc c k k是是置信因子置信因子 。 3、不确定度的表示方法、不确定度的表示方法 绝对不确定度：绝对不确定度： uc 相对不确定度：相对不确定度：B 4、测量结果的表示形式、测量结果的表示形式%100 x

25、uuxxB 被测量被测量 x，最佳估计值，最佳估计值 ， 不确定度不确定度u ，完整的测量结果表示，完整的测量结果表示为为x5、不确定度的分类、不确定度的分类按评定方法的不同，可分成两类：按评定方法的不同，可分成两类：A类分量和类分量和B类分量。类分量。不确定度不确定度A类分量：类分量：用统计方法评定的不确定度，用统计方法评定的不确定度， uA不确定度不确定度B类分量：类分量：用非统计方法评定的不确定度，用非统计方法评定的不确定度， uB五、有效数字五、有效数字 1、定义、定义 有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由有效数字是指能正确表达某物理量数值和精度的一个近似数，由准确

26、数字准确数字和和可疑数字可疑数字组成。组成。可疑数字在有效数字中一般只有一位。可疑数字在有效数字中一般只有一位。关于有效数字应注意以下几个问题：关于有效数字应注意以下几个问题：（1） 单位换算过程中有效数字的单位换算过程中有效数字的位数不应改变位数不应改变。如。如15cm的长度换的长度换算为算为mm表示时，应写：表示时，应写：15cm1.5102mm，而不能写成，而不能写成150mm。L1.65cm15cm 150mm（3）数字显示表的读数需要注意，末位数以出现几率高的数为准。所数字显示表的读数需要注意，末位数以出现几率高的数为准。所读数末位即为可疑数。读数末位即为可疑数。 3 3、测量结果的

27、有效数字、测量结果的有效数字 实验结果的有效数字由不确定度确定。有效数字的末位与不确定实验结果的有效数字由不确定度确定。有效数字的末位与不确定度的末位对齐。度的末位对齐。（4 4）有效数字的多少与测量仪器的精度有关。有效数字的多少与测量仪器的精度有关。2、不确定度的有效数字、不确定度的有效数字绝对不确定度一般只取一位有效数字，特殊情况可以取二位。相绝对不确定度一般只取一位有效数字，特殊情况可以取二位。相对不确定度可取对不确定度可取1 12 2位。位。在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求在本课程中绝对不确定度的有效数字只要求取一位；相对不确定度的有效数字，可取取一位；相对不确定度的有效数字，可

28、取1 12 2位。位。%2;)07. 065. 3(;07. 0,6456. 3BcmLcmcmL（2）测量时，必须在仪器的最小分度以内再估读一位。若测量时，必须在仪器的最小分度以内再估读一位。若正好与某刻度对齐，则应在相应估读位上记正好与某刻度对齐，则应在相应估读位上记“0”。L90.70厘米厘米 4 4、有效数字运算、有效数字运算 加减运算尾数取齐；乘除运算位数取齐；加减运算尾数取齐；乘除运算位数取齐； 乘方、开方的有效位数与其底或被开方数的有效数字相同；乘方、开方的有效位数与其底或被开方数的有效数字相同； 函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定。函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定

29、。 5 5、有效数字的修约规则、有效数字的修约规则当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用1/21/2修约规修约规则。则。简单简单( (不严格不严格) )记忆：记忆：55入；入；55舍；舍；=5=5尾数凑偶。即末位为偶数尾数凑偶。即末位为偶数( (0 0、2 2、4 4、6 6、8 8) )，数字舍去；末位为，数字舍去；末位为奇数奇数( (1 1、3 3、5 5、7 7、9 9) )，数字入进变为偶数。，数字入进变为偶数。 把下列数修约成把下列数修约成4位有效数字位有效数字:3.14159 6.378501 2.71729 4.51050

30、 5.6235 3.21650 3.1426.3792.7174.5105.6243.2161-2 误差的处理一、随机误差的处理多次测量，多次测量，x x1 1、 x x2 2、x xn n，测量列的，测量列的算术平均值为：算术平均值为： 1、实验测量中随机误差的估算、实验测量中随机误差的估算 实验中，实验中， 对于多次重复测量，在不考虑系统误差的情况下，测量误差对于多次重复测量，在不考虑系统误差的情况下，测量误差服从正态分布规律，它有两个重要的参数，即算术平均值与标准偏差。我服从正态分布规律，它有两个重要的参数，即算术平均值与标准偏差。我们用算术平均值来作为测量值的最佳代表值，用标准偏差来估

31、算测量列的们用算术平均值来作为测量值的最佳代表值，用标准偏差来估算测量列的随机误差。随机误差。 （1）算术平均值）算术平均值 niixnx11其中其中 xi 为第为第 i 次测得值。次测得值。算术平均值趋于真值当测量次数趋于无穷时001011010,0,111xxxnxnxnxnxniiniiniinii （2 2）标准偏差）标准偏差多次测量，多次测量，x x1 1, , x x2 2, , ,x xn n，测量列的标准差为：，测量列的标准差为：nxxniin120)(lim 当测量次数当测量次数n n 为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳为有限次时，测量列的算术平均值作为真值的最佳估

32、计值；标准差常采用贝塞尔法来估计估计值；标准差常采用贝塞尔法来估计。公式为公式为xxvnvnxxSiiniinii11)(1212多组等精度重复测量时，各测量列算术平均值也具有离散性，用算多组等精度重复测量时，各测量列算术平均值也具有离散性，用算术平均值的标准差来描述。术平均值的标准差来描述。算术平均值的标准差为算术平均值的标准差为)1()(12nnxxSniix二、系统误差的处理 发现系统误差，尽可能消除或减小。三、粗大误差的处理三、粗大误差的处理 判别粗大误差，从测量数据中剔除。四、仪器误差1 1、仪器的极限误差、仪器的极限误差仪器误差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能仪器误

33、差属于未定系统误差，影响因素多，规律复杂，一般只能给出最大允许误差的估计值。即给出最大允许误差的估计值。即仪器的极限误差仪器的极限误差仪仪。极限误差一般由极限误差一般由计量部门检定，说明书标明。无标明时，数显仪器，计量部门检定，说明书标明。无标明时，数显仪器，末位数末位数1 1个单位；刻度仪器，最小分度的一半。个单位；刻度仪器，最小分度的一半。2 2、仪器误差的分布标准差、仪器误差的分布标准差仪器误差近似服从均匀分布规律，标准差为仪器误差近似服从均匀分布规律，标准差为3仪仪1-3 直接测量的数据处理二、不确定度评定二、不确定度评定1 1、A A类分量类分量直接测量的标准不确定度的直接测量的标准

34、不确定度的A A类分量用算术平均值的标准差公式估算：类分量用算术平均值的标准差公式估算：一、最佳估计值一、最佳估计值多次测量，多次测量，x1、 x2、xn，测量列的算术平均值可表示为：，测量列的算术平均值可表示为：niixnx11用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。用算术平均值作为直接测量量的最佳估计值。12nniSuxxxA2 2、B B类分量类分量只考虑仪器误差，标准不确定度的只考虑仪器误差，标准不确定度的B B类分量为：类分量为：3仪仪Bu3 3、合成标准不确定度、合成标准不确定度2222仪xBAcSuuu4 4、单次测量、单次测量有时因条件所限不可能进行多次测量有时因条件所限不可能

35、进行多次测量( (如地震波强度、雷电时电晕如地震波强度、雷电时电晕电流强度等电流强度等) )；或者由于仪器精度太低，多次测量读数相同，测量随机；或者由于仪器精度太低，多次测量读数相同，测量随机误差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，误差较小；或者对测量结果的精度要求不高等情况，往往只进行一次往往只进行一次测量。测量。单次测量时，单次测量时，不确定度不确定度A A类分量，无法考虑类分量，无法考虑；最佳估计值即测量值最佳估计值即测量值本身本身。因此。因此合成不确定度只考虑合成不确定度只考虑B类分量为类分量为仪Bcuu三、测量结果单表示三、测量结果单表示用合成标准不确定度表示用合成标准不确定度

36、表示%100)(xuBuxxcc相对不确定度单位四、数据处理步骤四、数据处理步骤对直接测量列数据处理的基本步骤为：对直接测量列数据处理的基本步骤为： （1 1）判断测量数据中是否有已定系统误差，并且尽量消除或减小系）判断测量数据中是否有已定系统误差，并且尽量消除或减小系统误差。统误差。（2 2）检验数据的合理性，发现含有粗大误差的数据应剔除。）检验数据的合理性，发现含有粗大误差的数据应剔除。（3 3）求算术平均值，作为测量结果的最佳值。）求算术平均值，作为测量结果的最佳值。 （4 4）计算）计算A A类不确定度分量类不确定度分量 （5 5）针对所用仪器特点，先计算仪器的极限误差（或查表），再求

37、出）针对所用仪器特点，先计算仪器的极限误差（或查表），再求出B B类不确定度分量。类不确定度分量。 （6 6）计算合成不确定度和相对不确定度。）计算合成不确定度和相对不确定度。 （7 7）完整表示测量结果。）完整表示测量结果。例例用用025mm025mm的一级千分尺测钢球的直径的一级千分尺测钢球的直径D D，6 6次数据为：次数据为：D D1 1=3.121mm=3.121mm， D D2 2=3.128mm=3.128mm， D D3 3=3.125mm=3.125mmD D4 4=3.123mm=3.123mm， D D5 5=3.126mm=3.126mm， D D6 6=3.124mm

38、=3.124mm写出完整的实验结果。写出完整的实验结果。解：解： 求算术平均值求算术平均值mmDDDDDDD1245.361654321求不确定度求不确定度A类分量类分量mmnnxxniiA001.000099.0112注：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时多取一注：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。计算合成不确定度计算合成不确定度mmuBAc002. 0002. 0001. 02222完整的测量结果表示完整的测量结果表示%06.0%100124.3002.0002.0124.3BmmD注意：

39、注意：测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，测量结果的有效数字，不确定度的有效数字，相对不确定度的有效数字，单位。相对不确定度的有效数字，单位。求不确定度求不确定度B类分量类分量mmummB002.03004.03004.0仪仪；1-4 间接测量的数据处理222xx kkkxx111xxxxxkfy21,1 1、间接测量的最佳值、间接测量的最佳值),(21kxxxfy 设设y y为某一间接测量量，为某一间接测量量，x x1 1, ,x x2 2, ,，x xk k为为k k个直接测量量。遵循的函数个直接测量量。遵循的函数形式为：形式为：各直接测量量的测量结果为：各直接测量量的测量结果为：2

40、2、 间接测量的不确定度传播公式间接测量的不确定度传播公式 间接测量量间接测量量 y 的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们的不确定度与各直接测量量的不确定度有关，它们之间的关系由之间的关系由标准差传播公式标准差传播公式表示为表示为称为传播系数。其中偏导数kkkikcxfxfy221)(3 3、 间接测量的结果表示间接测量的结果表示%100)(yByycc单位例例用千分尺测量圆柱体的体积用千分尺测量圆柱体的体积V ，已求得直径为：，已求得直径为：cmhcmd001. 0316. 5002. 0421. 3；试求体积试求体积V并表示实验结果。并表示实验结果。解：解：求求V：32286.48

41、4316.5421.31416.34cmhdV注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数注：常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，至少位数相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效相同，目的是让常数取值的误差忽略不计。体积的有效数字应符合有效数字运算法则，或多取一位。数字运算法则，或多取一位。求求V的不确定度：的不确定度：cmcmcmhcmdhd001.0002.0001.0316.5002.0421.3；相对不确定度的有效数字首位是相对不确定度的有效数字首位是1或或2可以取二位，可以取二位，但不能超过二位。但不能超过二位。根据不确定度传播公式：根据不确

42、定度传播公式：实验结果表示：实验结果表示：%12.0%10086.4806.0)06.086.48(BcmVnikkcxfV22)(322222222206. 0442)(cmddhhVdVVhdhdc1-5 1-5 数据处理的几种常用方法数据处理的几种常用方法数据处理是实验的重要组成部分，贯穿于实验的始终，与实验操作、数据处理是实验的重要组成部分，贯穿于实验的始终，与实验操作、误差分析、不确定度估算、结果评价等形成有机的整体，对实验的成败误差分析、不确定度估算、结果评价等形成有机的整体，对实验的成败起着至关重要的作用。掌握基本的数据处理方法，提高数据处理能力，起着至关重要的作用。掌握基本的数

43、据处理方法，提高数据处理能力，对提高实验能力是非常有用的。对提高实验能力是非常有用的。一、列表法、列表法 将测量数据列成表格的形式。列表法是实验中常用的记录数据，表将测量数据列成表格的形式。列表法是实验中常用的记录数据，表示物理量之间关系的一种方法。示物理量之间关系的一种方法。优点：直观、简单明了、简洁。优点：直观、简单明了、简洁。要求：要求： （1 1）简明，便于表示对应关系，处理数据方便。）简明，便于表示对应关系，处理数据方便。 （2 2）写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。写明表的序号和名称，标明物理量、单位及数量级。 （3 3）表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。）表中所

44、列数据应是正确反映结果的有效数字。 （4 4）测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。 二、二、作图法列表举例列表举例： 表表1 伏安法测伏安法测100 电阻对应数值表电阻对应数值表 2006/9/5注：电压表量程注：电压表量程 7.5V 精度等级精度等级 1.0 ，电流表量程，电流表量程 50mA 精度等级精度等级 1.0作图法是将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表作图法是将测量数据之间的关系及其变化情况作成图线直观地表示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种示出来，并且通过所作图线求解未知量或经验方程，是一种最常用的最常用的粗

45、略的粗略的数据处理方法。数据处理方法。 1 1、作图法的优点：、作图法的优点： （1 1）能够直观反映物理量之间的关系。）能够直观反映物理量之间的关系。 （2 2）可以从图上用内插和外推的方法求）可以从图上用内插和外推的方法求得实验点以外的其它点。得实验点以外的其它点。 （3 3）对实验中出现的粗差作出判断，发）对实验中出现的粗差作出判断，发现后马上剔除。现后马上剔除。 （4 4）具有取平均、减小随机误差的作用。）具有取平均、减小随机误差的作用。 （5）可以消除某些恒定系统误差。）可以消除某些恒定系统误差。 2 2、作图要求、作图要求 (1)(1)、根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标

46、纸。根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸。 (2)(2)、正确选择坐标比例。、正确选择坐标比例。 (3)(3)、写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。写明图名、各坐标轴所代表的物理量、单位、数值的数量级等。 (4)(4)、数据描点要用、数据描点要用“”等比较明显的标识符号。不能用等比较明显的标识符号。不能用“.”.” (5)(5)、对变化规律容易判断的曲线以平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，对变化规律容易判断的曲线以平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，各实验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的实验可以用折线连接。各实验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的实验可

47、以用折线连接。图1 测量100欧电阻的伏安特性曲线-1-10 01 12 23 34 45 56 60 0101020203030404050506060电流I/mA电压U/V图2 电流表校准曲线-2-2-1-10 01 12 23 30 010102020303040405050自制表/mA自制表/mA3 3、作图法的应用：、作图法的应用：（1 1）判断各量的相互关系）判断各量的相互关系图示法图示法 通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出适合的函数表达式时，作图法是验的规律和

48、结果的情况下，或还没有找出适合的函数表达式时，作图法是找出函数关系式并求得经验公式的最常用的方法之一。找出函数关系式并求得经验公式的最常用的方法之一。如二极管的伏安特性、弹簧振子振幅衰减规律等，都可从曲线图上清楚如二极管的伏安特性、弹簧振子振幅衰减规律等，都可从曲线图上清楚地表示出来。地表示出来。（2 2）求未知量）求未知量 图解法图解法 从直线上求物理量（斜率和截距）：从直线上求物理量（斜率和截距）： 非实验点（非实验点（x x1 1,y,y1 1）（）（x x2 2,y,y2 2） 测量范围内这两点应尽量远测量范围内这两点应尽量远bkxyxxyyk求截距求斜率直线求解1212 11, yx

49、 22, yxyx、非线性函数未知量的求法非线性函数未知量的求法曲线改直问题曲线改直问题 y=axb形式，形式，a、b为常数。为常数。函数形式可以作如下变换，将方程两边取函数形式可以作如下变换，将方程两边取对数对数(以以10为底为底)得到：得到：1gy=b1gx1ga在直角坐标纸上取在直角坐标纸上取lgy为纵坐标为纵坐标, ,1gx为横坐标为横坐标, ,得到一条直线得到一条直线, ,从而可以从而可以求出系数求出系数a和和b。物理实验中经常遇到的图线类型有：物理实验中经常遇到的图线类型有：直线、抛物线、双曲线、指数直线、抛物线、双曲线、指数函数曲线等函数曲线等。一般情况下，直线是最能够精确绘制的

50、曲线，并能在曲线上。一般情况下，直线是最能够精确绘制的曲线，并能在曲线上可以求出一些常数。因此，往往要通过坐标代换，将非直线画成直线，可以求出一些常数。因此，往往要通过坐标代换，将非直线画成直线，称称为曲线改直技术。为曲线改直技术。aBxxyybklglglglglg1212求截距求斜率直线求解注意注意 这样很容易得到结果，而且每一个数据这样很容易得到结果，而且每一个数据都能用上。都能用上。yyyyiii333xyk33kxy 三、三、逐差法逐差法逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响而引入的一种数据处理方逐差法是为了改善实验数据结果，减小误差影响而引入的一种数据处理方法。是把测量数据中的

51、法。是把测量数据中的因变量进行逐项相减或按顺序分为两组因变量进行逐项相减或按顺序分为两组进行对应项相减，进行对应项相减，然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法。然后将所得差值作为因变量的多次测量值进行数据处理的方法。 我们先看下面例子，函数我们先看下面例子，函数 ， 如果测量如果测量6 6次数据，按逐项逐差法次数据，按逐项逐差法进行处理求平均值则可以得到：进行处理求平均值则可以得到：555165645342312xxxxxxxxxxxxxxi 显然利用这样的处理方法来求平均值是显然利用这样的处理方法来求平均值是不可取的，失去了多次测量的意义不可取的，失去了多次测量的意义。为了使

52、其保持多次测量的优越性，对数据处理方法上作一些变化。为了使其保持多次测量的优越性，对数据处理方法上作一些变化。把数据分为两把数据分为两组，即隔组，即隔3 3项逐差项逐差，再取平均，则：，再取平均，则：331425363xxxxxxxxk1、逐差法的应用条件：、逐差法的应用条件：（1）自变量等间隔变化，自变量等间隔变化， y=f(x)， xi+1-xi =c 。（2）函数关系可以写为多项式关系：函数关系可以写为多项式关系：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+实际上，由于测量精度的限制，实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用次以上逐差已很少应用。2、逐差法的应用：、逐差法的应用：隔项

53、逐差隔项逐差 求取物理量求取物理量例如：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求例如：对下表伏安法测量电阻的数据进行处理，应用逐差法求电阻值。电阻值。表表1 伏安法测伏安法测100 电阻数据表电阻数据表 2004/2/10注：电压表量程注：电压表量程 7.5V， 精度等级精度等级 1.0； 电流表量程电流表量程 50mA 精度等级精度等级 1.0 IURmAIIIIIIIIk4 .985 .300 . 3)(5 .3030 .302 .314 .3033333625143数据分为两组，隔数据分为两组，隔3 3项逐差，再取平均。即：项逐差，再取平均。即：利用逐差法求取物理量，可以充分利用

54、数据，消除一些定值系统利用逐差法求取物理量，可以充分利用数据，消除一些定值系统误差，减小随机误差的影响，但必须采用误差，减小随机误差的影响，但必须采用隔项逐差方法隔项逐差方法，否则会失去效，否则会失去效果。果。 四、线性函数的最小二乘法四、线性函数的最小二乘法 最小二乘法是建立在数理统计理论基础上的一个数学原理。它被广最小二乘法是建立在数理统计理论基础上的一个数学原理。它被广泛地应用在数据处理过程中泛地应用在数据处理过程中(如实验曲线的拟合、经验公式的确定如实验曲线的拟合、经验公式的确定) 。 1 1、最小二乘原理、最小二乘原理 所谓最小二乘原理就是在满足测量误差平方和所谓最小二乘原理就是在满

55、足测量误差平方和即即v2i最小最小的条件下的条件下( )，求解出方程中的未知量为最佳值。用这一原理处理数求解出方程中的未知量为最佳值。用这一原理处理数据的方法称为据的方法称为最小二乘法。最小二乘法。 一般情况下，最小二乘法可以用于线性函数，也可以用于非线性函一般情况下，最小二乘法可以用于线性函数，也可以用于非线性函数，由于在测量技术中，大量的问题是属于线性的或可以转换成线性函数，由于在测量技术中，大量的问题是属于线性的或可以转换成线性函数，而非线性也可以在某一区域内展成线性函数来处理，因此，我们主数，而非线性也可以在某一区域内展成线性函数来处理，因此，我们主要讨论要讨论线性函数的最小二乘法。线

56、性函数的最小二乘法。0iiiyy ixiy22bxay 一般情况下，观测方程个数大于未知量的数目时，一般情况下，观测方程个数大于未知量的数目时，a和和b的解不能的解不能确定。确定。因此，现在的问题是如何从观测方程中确定因此，现在的问题是如何从观测方程中确定a和和b的最佳值，这的最佳值，这就需要采用最小二乘法。就需要采用最小二乘法。2 2、用最小二乘法进行线性拟合、用最小二乘法进行线性拟合设已知函数形式为：设已知函数形式为：bxay 在等精度条件下测得：在等精度条件下测得：根据测量数据可以得到一组观测方程：根据测量数据可以得到一组观测方程：11bxay nnbxay 和和ni3 , 2 , 1求

57、求a、b，其中，其中200ivbxxyyxyiiiiiiiiibababnaxbayv00002202022002222)(假定最佳方程为：假定最佳方程为：xbay000 其中其中a a0 0和和b b0 0是最佳系数。是最佳系数。为了简化计算，设测量中为了简化计算，设测量中x x方方向的误差远小于向的误差远小于y y方向，可以忽略，只研究方向，可以忽略，只研究y y方向的差异。方向的差异。则得到：则得到：iiiixbayyyv000对该式两边平方，得：对该式两边平方，得：2002iiixbay再对其进行两边求和，得到：再对其进行两边求和，得到：依据最小二乘原理及极值原理，依据最小二乘原理及极

58、值原理，即：即：200iva200ivb 由此得出方程：由此得出方程： iiiiiiyxbnayxxbxa00200解方程组可得：解方程组可得： 2202220iiiiiiiiiiiiixnxyxnyxbxnxyxyxxa注意：注意：应用最小二乘法解决问题时，可以将数据列表表示，以应用最小二乘法解决问题时，可以将数据列表表示，以免计算出错。免计算出错。3 3、最小二乘法应用举例、最小二乘法应用举例为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。为确定电阻随温度变化的关系式，测得不同温度下的电阻如表一。试用最小二乘法确定关系式：试用最小二乘法确定关系式：R = a + b tR = a

59、 + b t。 表一表一 电阻随温度变化的关系电阻随温度变化的关系t/t/19.019.0 25.025.036.040.40.0 045.145.1 50.050.0R/R/76.376.30 077.877.80 079.779.75 580.880.80 082.82.353583.983.90 085.185.10 0解：解：1. 1. 列表算出：列表算出：iiiiitRtRt,2 n=74255250085.1050.073784203483.9045.163294160082.3540.052909129680.8036.04240090679.5030.1

60、3194562577.8025.02145736576.3019.11R t/ t2/2R/t/n3 .245 it00.566 iR93262 it20044 iitR代入数据为：代入数据为：由由a、b的最佳值的最佳值 满足方程满足方程 yxxbxayxba2可以得到：可以得到：nRtntbntanRntba2ba, 7200447932673 .245700.56673 .245baba解之得到：解之得到： Cba/2873. 079.70写出待求关系式：写出待求关系式：tR2873. 079.70 公选课 误差与数据处理 聂士忠作 业 本次作业将作为考试成绩计入总分. 各班班长收齐作业于