冷轧机数学模型及自学习

1、冷轧数学模型及模型自适应冷轧数学模型及模型自适应2006.5 武汉武汉 主要内容1. 冷轧数学模型冷轧数学模型2. 模型自适应模型自适应1. 冷轧数学模型冷轧数学模型1. 冷轧数学模型冷轧数学模型 冷轧机设定计算要得到各道次的压下量和轧机速度。 各机架（道次）厚度分配确定以后，就可以由弹跳方程确定各机架（道次）的辊缝值，同时根据秒流量相等的原则确定各道次的速度。1.1 弹跳方程（Equation for Mill Spring） h = Sp = S + P/C （1）式中 Sp-有载辊缝，mm； h-轧件厚度，mm； S-空载辊缝，mm； C-机座总刚度，kN/mm。TpcKKQBlP 冷轧

2、带钢的轧制力公式较多，但一般认为布兰德一福特公式及其简化式RHill公式较符合实际，故计算机控制的现代冷连轧机常用它作为轧制力模型。根据Hill公式，可得以下计算公式：在考虑了张力的影响后，轧制力可用下式计算：图1 弹跳方程 h = So +(P-P0)/Cp + O + G (2) 式中 So-人工零位的辊缝仪指示值，mm； Cp-机座刚度系数，kN/mm； P-轧制压力，kN； Po- 预压靠力，kN； O-油膜厚度，mm； G-辊缝零位，mm。1.2 流量方程（Equation for Flow Mass） 流量方程： 式中 -入口和出口带钢宽度，mm； L-入口带钢长度，mm； -入口

3、和出口带钢厚度，mm； -入口和出口带钢速度，m/s。tConsbhvvhbtLhbtan/0000bb ,0hh ,0vv , 1. 冷轧数学模型冷轧数学模型 对于双机架冷连轧有两类流量方程：（1） 一个机架变形区入口和出口的流量方程 对于热连轧精轧机组，宽展很小，所以： 或者 式中 f为前滑； 为后滑； 为轧辊线速度。 vbhvhb100vhvh10)1 ()1 (0100fvhvh0v（2）机架之间的流量方程 或 111iiiiiivhbvhb11iiiivhvh)1 ()1 (11,010iiiiiifvhfvh 一个机架的变形区流量方程（变形区入口和出口流量恒等）是完全正确的，但多个

4、机架的流量方程，则仅在稳态下正确。 1.3 平直度方程（Equation for Strip Flatness） 为了保持良好的板形，必须使轧件沿宽度方向上各点的延伸率相等，即沿沿宽度方向上各点的压缩率应相同。但轧件横断面边缘和中间存在着一定的厚差称为凸度，如图2所示。如果来料凸度为，则轧出的成品亦应有一定的凸度才能保证其板形良好。 在来料平直度良好时，入口和出口相对凸度相等，是轧出平直度良好带钢的基本条件，即：0hh1. 冷轧数学模型冷轧数学模型图2 原料和成品板凸度关系1. 冷轧数学模型冷轧数学模型1.4 连轧张力方程 （Tension Equation for Tandem Rollin

5、g） 此式即为常用的张力微分方程式。dtvvlEiii)(12. 模型自适应模型自适应 2.1 概述（Introduction） 数学模型即是用数学表达式来描述对象的内在规律，可以是一个或一组公式；可以采用表格形式；也可以是代数方程，微分方程等。 数学模型的分类：（1） 从建模角度分类，分为机理性模型和经验统计模型 机理性模型是根据生产过程的物理机理，应用相应的学科理论写出具有普遍意义的数学方程，机理性模型的优点是较完整的反映了各种影响因素的影响规律。但在实际应用时，需要模型中的系数进行统计回归得到。 经验统计模型是根据分析确定了影响因素后直接写出的公式，一般结构比较简单。 （2）从性质上分类

6、，分为静态模型和动态模型 静态模型不包含时间，反映了稳态条件下的过程状况。动态模型采用微分方程的形式，含有时间变量，反映了过程的动态特性，如机架间张力方程等。 （3）从变量波动范围分类，分为全量模型和增量模型全量模型用来描述变量在大范围中的关系，往往是非线性的。增量模型用来描述变动范围小的变量间关系，采用线性化方程。 （4）从应用角度分类，分为综合分析或仿真用数学模型和在线控制用数学模型v 综合分析或仿真用数学模型将生产过程各物理现象数学化后，用于综合分析或进行仿真。分析一般是离线进行，时间一般不受限制，为了精确描述生产过程，所用数学模型可以考虑更多的因素，用较复杂的公式。 在线控制用数学模型

7、，用于生产过程计算机在线控制，时间上受到限制，因此要采取简化措施抓住主要因素，忽略次要的因素，利用模型自学习来保证控制精度。2. 模型自适应模型自适应2.2 在线模型的建立方法（Modeling Method of on-line Models） 无论是机理型还是经验统计型模型为了用于一定的轧机，必须利用该轧机的实测数据对模型系数进行统计分析，以便使模型用于该轧机的具体条件下能获得要求的预报精度。 在现场收集数据进行统计分析时，应注意以下问题：（1） 需有一定数量条件相同的实测数据以提高统计的可靠性；（2） 自变量应有较宽的范围以使统计结果较为稳定；（3） 需要对实测数据进行预处理，应将过于分

8、散的实测点剔除后再 进行统计分析；（4） 即使是经验统计型模型亦应根据机理分析来确定主要影响因素 及公式的大致结构，以利于加快系数的统计分布；（5） 事先制订出试验方案，使数据收集有计划的进行； 模型建立后应在生产实际中进行验证。 2. 模型自适应模型自适应2.3 模型自学习（Self-learning of Models） 根据系统状态的变化，不断利用即时信息进行模型参数的修正，以保证模型的精度，这种功能称为模型自适应校正。 2.3.1 增长记忆递推最小二乘法 y = a1x1+ a2x2+ . + amxm式中 a1,a2, . ,am-模型待定参数。 现对变量y, x1, x2,. ,x

9、m进行了n次观测，得到n组数据，由测量数据可以得到以下线性方程组： y1 = x11 a1+ x21a2+ . + xm1am y2 = x12 a1+ x22a2+ . + xm2am yn = x1n a1+ x2na2+ . + xmnam yi, xi1, xi2, ,xim (i=1,2,3, ,n) 因此，线性方程组可以写成矩阵方程： Yn = Xn A由n次测量，通过上式计算得到模型参数为： nnnnnYXXXAA1)(2. 模型自适应模型自适应如果又进行了第n+1次测量，数据为： Yn+1, x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) Yn+1= x1(n+1) a

10、1, x2(n+1) a2, , xm(n+1) am (x1(n+1), x2(n+1), , xm(n+1) 则第n+1次测量后的模型系数为： 上式为模型系数的递推公式，每次都增加了新的测量信息，因此称为增长记忆递推最小二乘法。1n)(1111111nnnnnnnnnnAyXXAA 2.3.2 指数平滑法 y = a1x1+ a2x2+ + amxm + x1xm表示对模型有直接影响的因素，系数a1am表示这些因素对y的作用程度。系统状态变化用 来反映，当系统的状态发生变化时，可对模型中系数作相应的修正计算以适应系统特性的变化。为了既能反映最新的实际状态，又能防止出现测量误差时降低模型的精

11、度，采用下面的递推算法： 式中 -第n次设定或控制时的预报值； -第n次设定或控制后的实测值； - 第n+1次设定或控制的预报值； -增益系数， 0= 1。n*n1n)(*1nnnn2. 模型自适应模型自适应 此式的意义是，在进行第n次设定或控制时用第n-1次的数据所推算的 ，以及对 的实测值 ，根据 此式对 参数先作一预报 ，用此预报的 值进行第n次的设定或控制，在进行第n次设定或控制后，即可获得第n次的实测数据值 。 与 的差别，表示了模型存在的误差系统状态的变化。考虑到 实际上是反映了系统特性的即时状态，为提高模型精度可以利用获得的新信息 的部分值对 进行修正，即用 加在 得到第n+1次

12、 参数的预报值 。 1n1*nnn*nn)(*nn*n)(*nnn)(*nnn1n由于所得到的第n次实测值 反映了当时的系数状态，这样进行一次自适应校正计算，可使模型不断适应系统状态的变化，使模型精度不断提高。 包含了前面1n步的 的信息，但由于 小于1，因此，离n+1越远的信息被利用的越少，所以称为指数平滑法。*n1nv v 值反映了对信息 的利用程度，当 = 1时，则 即完全信赖第n次获得的实测信息 ，用它来作第n+1次的预报。这只有在仪表绝对可靠没有误差的情况下才成为可能，而实际上是不可能的。如 = 0，则 ，表示第n次实测值完全不可靠，不能考虑它，因此把第n次的预报值仍作为第n+1次的

13、预报值，不利用所获得的第n次信息。比较合理的办法应是根据每次实测数据的状况来决定 值的大小(即 值每次是变化的)，但如何可靠地判断每次实测数据的精度是一个难题。 )(*nn)*1nn*nnn12. 模型自适应模型自适应 因此，目前一般把 看作常数，其数值由实验求得，必要时可在一段时间内改变一次 值，使自适应校正的效果更好些。在对象及仪表条件一定时，可以定性地说， 值太大将引起预报值的“振荡”，使预报忽高忽低， 值太小将使预报值逼近目标值的速度减慢(图3)。图3 对学习过程的影响2. 模型自适应模型自适应自适应校正对模型系数的修正一般有两种形式：（1） 加法自适应，模型形式为： y = f(x1, x2, .xm) + （2） 乘法自适应，模型形式为： y = f(x1, x2, .xm)