详解数列求和的方法+典型例题

1、详解数列求和的常用方法数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列 的求和都需要一定的技巧。第一类：公式法利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列的前n项和公式Snn(n) =na!n(n ")d2 22、 等比数列的前n项和公式Tia'q =1）Sn = <ai（1 qn） _ai anq（q “）i 1-q 1-q3、常用几个数列的求和公式(1)、Snn八 k =123 .k 11n n(n 1)2(2)n2 2 2 2 2Sn 八 k =123. - nk =11n(n 1)(2 n 1)6(3)、Snn

2、八k3k 二=13233 n3 =丄 n(n 1)22第二类：乘公比错项相减（等差 等比）这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列。例1 ：求数列nqn 4 （q为常数）的前n项和。解:I、若 q=0,则 Sn =01n、若 q=1，则 Sn = 1 2 3 一 nn(n 1)2山、右q工0且q工1,则 Sn =1 2q 3q2 亠亠 nqn"23nqSn =q 2q 3q 亠 亠 nq -nq式一式:二 Sn (1 q q2 q3 亠 亠 qn - nqn)1 -qSn11 -qn(总n

3、-nq )1 -qn nqn(1-q)2 口0(q =0)综上所述:Sn1弋吋1）（心）1-qn、(1-q)2nnq1 -q(q =0且 q =1)解析：数列nqn'是由数列 ：n与 qnJ 对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减,（课本中的的等比数列前 n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。第三类：裂项相消法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最 终达到求和的目的通项分解（裂项）如：1、乘积形式，如：(1)、ann(n 1) n(2)、an(2

4、n)2(2n -1)(2n 1)=1丄(丄2 2n 112n 1(3)、an1 1 1 n(n 1)(n 2) 一 2n(n 1)1(n 1)( n 2)n 212(n 1) - n 11' ' 1'- ' ' * 'n(n 1) 2nn(n 1)2n n 2心(n 1)2，则Sn1(n 1)2n2、根式形式，如:SnSn1 1 1 1二丄(1 一丄一 )2 2 n 1 n 23 114 2n+2 2n+4解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候,尤其要注意：究竟是像例2 一样剩下首尾例21:求数列，111的前n项和Sn1x22 33 4n(n 1

5、)解:1 _ 11n(n 1) nn 1c,111 111Sn - 1_ + + +-2 23 3nn 1Sn =1 -丄n 1例31:求数列，111的前n项和Sn仆32 43 5n(n 2)解:由于：11 1( 1 )n(n +2)2 nn 2n则:Sn2 _(3两项，还是像例 3 一样剩下四项。第四类：倒序相加法这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1 an)。例4:若函数f(x)对任意R都有f(x) f (1 -x) =2。(1) an 二 f(0) f()f(-H “(口)* f(1)，数列%是等差数列吗？

6、是n nn证明你的结论；1(2) 求数列的的前n项和Tn。Ipr1 1an an 1解：(1)、an=an=f(0)f(-)n二 f(1) f (口2n -1 f(). f( ) f(1)(倒序相加) nn) + f(口n1n12n21 01nnnn则，由条件：对任意xR都有f (x) f(1 X)= 2 。=2an =222 2 =2( n 1)=an 1 -an = 1从而：数列an是a1= 2,d =1的等差数列。、Van*(n+1)(n+2)=Tn =1.2 33 44 5(n T) (n 2)1111=Tn =2334 n1n 2 2n 2故: Tn=-2n +4解析：此类型关键是抓

7、住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序2n 4相加的。此例题不仅利用了倒序相加法, 不同的方法加以求解。还利用了裂项相消法。 在数列问题中，要学会灵活应用第五类：分组求和法有一类数列，既不是等差数列，等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个1例5:求数列n(n 1) + n州的前n项和S解：令Sn= Sn = (11111+-+22331 1)(1 2 2 3 22. n 2nJ)n n 11=Sn =(1)(1 2 2 3 22 n 2n)n +1令Tn =1 2 2 3 22n 2nJ 23n2Tn = 22

8、23 2n 2Tn(1 2 n 2n)1-2Tn=(n -1) 2n - 1式一式：(1 _2)Tn =12 22 23 .2n- n 2nTn=一(1 2 22 23 2nJ1 - n2n)1 1故：Sn =(1) (n -1) 2n 1 =2(n -1) 2nn+1n+11例6:求数列 （xnn）2的前n项和SnX分析：将an =(xn，2)2用完全平方和公式展开， 再将其分为几个数列的和进行求解。 xn1 2n 2n、”11 x22 n1an =(xn) =(x )2 x n ( n) =x 2xxx2124142n12n= x2 2 ()2 X4 2 ()4x2n 2 ()xxX(丄)

9、X解:Sn2nx2n= x2n2 (-)2nxSn - (x1X4 X2n)(2 2 2) ()2xG2n（首项2公比x2等比数列）（常数列）（首项（-）2，公比xJ）2等比数列）xI、令 Tn二 x2x =1时，Tn=x2 x4Tn=x2x4X2nx2 -1n、令 M n=222=2n1 2川、令Gn =()Xx =1时,GnGn(一心X=(丄)* 2X=(丄)2XX(丄)4)2n =1 1仁nXXd)4d)2nXX(丄)2X- (n A)2XX122M2X _ X X =X2 -12n(22X -X2 22X XX2 一12X1)22n 222X - XXL疋2 2n 22X XX - 1

10、2/ 2nX (X -2nXX2n -1(X2 -1)综上所述:X =1时,SnMn Gn=n 2n n = 4nSnMnGn2n 22X - X2n亠2 彳2n /2 小X -1X (X -1)x2n -1这个题，除了注意分组求和外，还要注意分类讨论思想的应用。第六类：拆项求和法在这类方法中，我们先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式， 再代入公式求和。例7:求数列9, 99, 999,的前n项和Sn分析：此数列也既不是等差数列也不是等比数列启发学生先归纳出通项公式 an =10n -1可转化为一个等比数列与一个常数列。分别求和后再相加。解：由于：an =10n -1贝 U： Sn =9 9999 二 Sn -(101 -1) (10X X (X -1) -1) (103 一1) (10n -1)-S(101 102 103 10n) -(1 1 1 1)10-10n 101-10=Snn=Sn 二例8Sn :解:由于：则：Sn =(n 110 -10_n9111123n2481an 二 n 尹二 n1尹1+2n1 12 3 ： ： . ： ： n)(241112(2)二一n(n 1)上2 彳1-4n）（等差+等比，禾u用公式求和）8 2=n(n 1)12（1）n1解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数