证明平行四边形复习讲义

1、北师大版数学九年级上第三章、证明（三）-平行四边形、梯形复习讲义一、要点概况1、 平行四边形的定义： 两组对边分别 的四边形叫做平行四边形。 平行四边形是对称图形,其对称中心是。2、平行四边形的特征（性质定理及推论）（1）性质1：平行四边形的 对边平行且相等。（2）性质2：平行四边形的 邻角互补，对角相等。（3）性质3：平行四边形的对角线互相平分。（4）推论1：中心对称图形，对称中心是对角线的交点。（5）推论2：若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积。（6）推论3：夹在两条平行线间的 平行线段相等。3、平行四边形的识别

2、（判定定理及推论）（1）定义法：两组对边分别平行 的四边形是平行四边形。（2）判定1： 一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形。（3）判定2:两组对角分别相等 的四边形是平行四边形。（4）判定3:两组对边分别相等 的四边形是平行四边形。（5）判定4:对角线互相平分 的四边形是平行四边形。4、梯形的定义： 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形。5、等腰梯形的性质定理：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等.6、等腰梯形的判定定理：（1） 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。（

3、3）两条腰相等的梯形是等腰梯形.6、等腰梯形的推论：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。7、梯形的中位线：（1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做 梯形的中位线。（2） 梯形中位线定理： 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L= （a+b）吃S=LXh&梯形常见辅助线的作法：作法图形延长两腰，转化为三角形E八B C平移一腰，转化为三角形、平行四边形BC作高，转化为两直角三角形和一矩形（平移一对角线，转化为三角形、平行四边形倍长中线，构造全等三角形1倍长中线，构造全等三角形2梯形内平移两腰，转化为两个平行四边形和 一三角形A £ D作中位线（两腰的中点的连线）

4、二、典例精讲及变式训练（一）平行四边形中命题的判断例1：下列说法中，错误的是（）A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形C、四个角都相等的四边形是矩形D邻边相等的矩形是正方形变式训练1:如图，在平行四边形 ABCD中（ABM BC），直线EF 经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点 E、F,下列结论： AO=BO : OE=OF ; 厶 EAM EBN ;厶EAO CNO，其中正确的是匸A. B.C.D.(二)平行四边形性质的运用与考查例2:如图，在平行四边形 ABCD中，E是AD边上的中点.若/ AB

5、E= / EBC , AB=2 , 则平行四边形 ABCD的周长是 。变式训练 2-1:如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AD=5cm , AB=3cm , AE平分/ BAD交BC于点E,贝U EC是多少长?变式训练2-2 :在口ABCD中，点E为AD的中点，连接 BE,交AC于点F，则AF : CF =()A . 1: 2 B. 1: 3C. 2: 3(三)平行四边形判定定理的运用与考查例3-1:四边形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 0,给出下列四组条件： AB / CD, AD / BC ;AB=CD , AD=BC :A0=C0 , B0=D0 :AB / CD , AD=

6、BC .其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A . 1组B . 2组C. 3组D . 4组变式训练 3-1 :已知四边形 ABCD，从下列条件中：(1) AB / CD , (2) AD / BC , (3) AB=CD , (4) AD=BC , (5) na= n c, (6)n b= n d，任取其中两个，可以得出“四边形abcd是平行四边形：这一结论的情况有(A、4 种B、9 种C、13 种D、15 种例3-2:如图，BD是 ABCD的对角线,AE丄BD于E, CF丄BD于F，求证：四边形 AECF为平行四边形变式训练3-2 :如图，分别以Rt ABC的直角边AC及斜边AB向外

7、作等边 ACD、等边 ABE，已知/ BAC= 30° ,EF丄AB，垂足为F,连结DF。(1) 试说明AC=EF ;(2) 求证：四边形 ADFE是平行四边形。(四)平行四边形判定定理、性质定理及推论的综合运用与考查例4-1:如图，E、F为平行四边形 ABCD 组对边AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，BF与CE相交于点 H。求证：四边形 GEHF为平行四边形。变式训练4-1:已知 DAB EAC, FBC都是等边三角形，求证：四边形ADFE为平行四边形。例4-2 :如图，已知平行四边形 ABCD AD=a BE/ AC, DE交AC的延长线于点 F,交BE于E点。(1) 求证

8、：DF=FE(2) AC=2CF A ADE=60 , ACL DC 求 BE 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形 ABED勺面积。变式训练4-2:如图，已知四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点P,过点P作直线，交 AD于点E,交BC 于点F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF。证明：四边形 ABCD为平行四边形。C（五）梯形中常见辅助线的作法例5:延长两腰，将梯形转化成三角形如图，梯形 ABCD 中，AD / BC, AD = 5, BC = 9,/ B = 80°,/ C= 50° .求 AB 的长.变式训练5-1 :如图所示，四边形 ABCD中，AD不

9、平行于BC, AC = BD , AD = BC.判断四边形 ABCD的形状, 并证明你的结论B例5-2:平移一腰，梯形转化成：平行四边形和三角形A、把上下底之差、两腰转化到同一个三角形中。可利用三角形知识解决问题例 2 如图，梯形 ADCB 中，AD / BC , BC = 8cm, AB = 7cm, AD = 6cm,求 DC 的取值范围变式训练5-2 :如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ A = 90 ° , AB / DC , AD = 15, AB = 16, BC = 17.求CD的 长例5-3：平移两腰腰，梯形转化成：平行四边形和三角形B、平移两腰，将两腰转化到同一

10、个三角形中在梯形ABCD中，AD / BC , AD<BC , E、F分别为AD、BC的中点，且 EF丄BC ,梯形ABCD是等腰梯 形吗？为什么？变式训练 5-3 :在梯形 ABCD中,AD / BC,AD < BC,E、F分别为AD、BC的中点，且 EF± BC,试说明/ B= / C。例5-4:作梯形的高，梯形转化成矩形与直角三角形如图，在梯形 ABCD中，AD / BC, AB=DC=AD=5 , BC=11 ;求梯形 ABCD的面积。变式训练 5-4:已知：梯形 ABCD 中，/ ABC=90 °，/ C=45 ° , BE 丄CD , AD

11、=1 , CD=2 求：BE例5-5:利用中点，割补三角形如图梯形 ABCD中，AD / BC , E为AB的中点，DE丄CE, 试说明CD = BC + AD。EC变式训练5-5 :如图,在梯形 ABCD中，AD / BC, E是DC的中点，EF丄AB于点F。求证：S梯形ABCD=AB XEF。例5-6:案例说明：平移对角线，将梯形转化成：平行四边形、三角形A、 把上下底之和，两对角线转移到同一个三角形BDE中B、 ABD 与厶CDE面积相等S梯形 ABCD = SA BDEC、BD丄AC推出BD丄DE得到直角三角形 BDE如图所示，在梯形 ABCD中，上底 AD = 1cm，对角线BD丄AC ,且BD = 3cm, AC = 4cm.求下底BC以及 梯形的高。BC（六）等腰梯形的性质与判定的综合运用例 6:在梯形 ABCD 中，AD/BC, E 为 BC 中点，EF丄 A B , EG丄 CD , EF=EG。求证：梯形ABCD为等腰梯形。变式训练6-1 :在梯形ABCD中，AD/BC，/ ACB= / DBC。求证：梯形 ABCD是等腰梯形。变式训练6-2 :如图，在 ABC中，AD丄BC于点D, E、F、G分别是 BC、AB、AC的中点。 求证：四边形DEFG为等腰梯形。B