高等数学课件：12-3 三重积分的概念和性质

1、12.3 三重积分的概念和性质三重积分的概念和性质1 三重积分的概念三重积分的概念问题：问题：变密度空间立体的质量计算变密度空间立体的质量计算设有空间立体设有空间立体 , 其密度为其密度为 = ( x , y , z ) ( = ( x , y , z ) 在在 上连续上连续 ) , 计算立体计算立体 的的质量质量 m (1) 划分划分: 将将 划分成至多只要公共边界面的划分成至多只要公共边界面的 n个空间子区域个空间子区域 :n i Vi,21 则有则有 niimm1(2) 近似近似:当当 充分小时充分小时 , 则则 =( x , y , z ) 在在 Vi Vi 上近似于常数上近似于常数

2、( 即近似于不变即近似于不变 )任取任取 , 则在则在 上上n i V iiii,),(21 Vi n i V miiiii,),(21 V mm niiiiinii 11),( (3) 精确化精确化:当当 时时 , 01 )(maxiniVd V m niiiii 10),(lim 定义定义:任取任取 , 作和式作和式 V iiii ),( V fniiiii 1),( ( 积分和积分和 )若极限若极限 AV fniiiii 10),(lim 设设 z = f (x , y , z) 在空间有界闭区域在空间有界闭区域 上有上有 定义定义 , 将将 任意划分成任意划分成 n 个除边界外没有公共

3、个除边界外没有公共niiV1 部分的子区域部分的子区域: , n i Vi21 ( 其体积也记其体积也记 ) , Vi )(maxinid 1记记 ,当当 时时 01 )(maxiniVd (其值其值与划分无关与划分无关 , 与与 的选取无关的选取无关 ) V iiii ),( 则称则称 f (x , y , z) 在在上上可积可积 ; 极限值极限值 A 称为函数称为函数 说明说明: dVzyxf),(f (x , y , z) 在在上的上的三重积分三重积分 , 记为记为 , f (x , y , z) 称为称为被积函数被积函数 ; f (x , y, z) dV 称为称为被积被积 称为称为积

4、分区域积分区域 表达式表达式 ; x , y , z 称为称为积分变量积分变量 ; (1) 空间立体的质量空间立体的质量: dVzyxm),( (2) 空间立体的体积空间立体的体积: dVV niiiiiV fdVzyxf10),(lim),( 即即(3) 若若 f (x , y , z) 在在上可积上可积 , 若用平行于各若用平行于各坐标面的三组平面划分坐标面的三组平面划分 , 则则 iiiizyxV 体积元素体积元素: dV = dxdydz从而有三重积分的以下表达式从而有三重积分的以下表达式 dxdydzzyxfdVzyxf),(),(三重积分的性质三重积分的性质:若若 f (x , y

5、, z) 在在 上可积上可积 , 则则 f (x , y, z) 在在 上有界上有界 (1) 可积的必要条件可积的必要条件(2) 可积的充分条件可积的充分条件(3) 线性运算性质线性运算性质设设 f , g 在在 上可积上可积 , 则对任意实数则对任意实数 k1 , k2 ,k1 f + k2 g 在在 上也可积上也可积 , 且且 gdVkfdVkdVgkfk2121)(若若 f (x , y, z) 在空间有界闭区域在空间有界闭区域 上连续上连续 , 则则 f (x , y, z) 在在 上可积上可积(4) 区域可加性区域可加性 设设 f 在在 1 , 2 上可积上可积 ( 1 , 2 除边界外无除边界外无公共部分公共部分 ) , 则则 f 在在 = 1 2 上可积上可积 , 且且 21fdVfdVfdV(5) 保序性保序性 设设 f , g 在在 上可积上可积 , 且在且在 上上 f g , 则则 gdVfdV(6) 估值定理估值定理 设设 f 在在 上可积上可积 , 且在且在 上上 m f M , 则则 MdV fm(7) 中值定理中值定理 设设 f 在空间有界闭区域在空间有界闭区域 上连续上连续 ,