高等数学课件：11-9周期为2L的周期函数的傅立叶级数

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第四节 以2L为周期的傅氏级数 高等数学（下）高等数学（下）一、以2L为周期的傅氏级数定理定理式式为为则则它它的的傅傅里里叶叶级级数数展展开开收收敛敛定定理理的的条条件件满满足足的的周周期期函函数数设设周周期期为为,)(2Dirichletxfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn 为为其其中中系系数数nnba ,), 2 , 1 , 0(,cos)(1 ndxlxnxflalln), 2, 1(,sin)(1 ndxlxnxflblln.),()(上上也也行行定定义义在在llxf 高等数学（下）高等数学（下）证明

2、证明,lxz 令令lxl , z),()()(zFlzfxf 设设.2)(为为周周期期以以 zF),sincos(2)(10nzbnzaazFnnn .sin)(1,cos)(1 nzdzzFbnzdzzFann其其中中,:连连续续点点收收敛敛于于自自己己结结论论仍仍是是.的的平平均均值值间间断断点点收收敛敛于于左左右右极极限限 高等数学（下）高等数学（下）dxllxnxlFallncos)(1dxlxnxflllcos)(1)sincos(2)(10 xlnbxlnaaxfnnn .sin)(1,cos)(1 llnllnxdxlnxflbxdxlnxfla其其中中lxz 高等数学（下）高等

3、数学（下）,)()2(为偶函数为偶函数如果如果xf则有则有,cos2)(10 nnlxnaaxf为为其其中中系系数数na),2, 1 ,0( n,)()1(为奇函数为奇函数如果如果xf则有则有,sin)(1 nnlxnbxf为为其其中中系系数数nb),2 , 1( n.), 0()(上上也也行行定定义义在在lxf,sin)(20dxlxnxflbln dxlxnxflaln 0cos)(2 高等数学（下）高等数学（下）二、典型例题k2 xy2044 例例 1 1 设设)(xf是是周周期期为为 4 的的周周期期函函数数,它它在在)2 , 2 上上的的表表达达式式为为 20020)(xkxxf,

4、将将其其展展成成傅傅氏氏级级数数.解解., 2 满足狄氏充分条件满足狄氏充分条件 l 2002021021kdxdxa,k 高等数学（下）高等数学（下） 202cos21xdxnk, 0 202sin21xdxnkbn)cos1( nnk12sin) 1(1 2)(nnxnnkkxf),4,2,0;( xx na), 2 , 1( n)1(1nnk.2k 高等数学（下）高等数学（下）解解,10 xz作变量代换作变量代换155 x, 55 z)(xf),(zFz ,55)(，定定义义在在函函数数 zzF)10()( TzF作周期延拓作周期延拓然后将然后将,收收敛敛定定理理的的条条件件这这拓拓广广

5、的的周周期期函函数数满满足足 高等数学（下）高等数学（下）x)(zFy5 501510), 2 , 1 , 0(, 0 nan 505sin)(52dzznzbn ,10)1( nn), 2 , 1( n,5sin)1(10)(1 nnznnzF)55( z 1)10(5sin)1(1010nnxnnx.5sin)1(101 nnxnn)155( x 高等数学（下）高等数学（下）另解另解 1555cos)10(51dxxnxan 1555sin)10(51dxxnxbn 1551555cos515cos2dxxnxdxxn, 0 1550)10(51dxxa,0 ,10)1( nn ), 2

6、, 1( n 15sin)1(1010)(nnxnnxxf故故)155( x), 2 , 1( n 高等数学（下）高等数学（下）三、小结利用变量代换求傅氏展开式利用变量代换求傅氏展开式; ;求傅氏展开式的步骤求傅氏展开式的步骤; ;1.1.画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件( (收敛域收敛域, ,奇偶性奇偶性););2.2.求出傅氏系数求出傅氏系数; ;3.3.写出傅氏级数写出傅氏级数, ,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于).(xf以以2 2l l为周期的傅氏系数为周期的傅氏系数; ; 高等数学（下）高等数学（下）XT.22)(202)(. 1展展开开成成正正弦弦级级数数将将 lxlxlplxpxxM)., 3 , 1(2)1(), 4 , 2(02221 nnplbnbnn