高中物理 微积分竞赛辅导讲义

1、高中物理竞赛讲义微积分初步一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2 ；立方体角点的电势与什么有关呢?电荷密度；二立方体的边长a；三立方体的形状；根据点电荷的电势公式U=及量纲知识，可猜想边长为a的立方体角点电势为U=Cka2  ；其中C为常数，只与形状（立方体）及位置（角点）有关，Q是总电量，是电荷密度；其中Q=a3 大立方体的角点电势：U0= Cka2 

2、；小立方体的角点电势：U2= Ck（）2=   大立方体的中心点电势：U1=8U2=2 Cka2 ；即U0=U1【小结】我们发现，对于一个物理问题，其所求的物理量总是与其他已知物理量相关联，或者用数学语言来说，所求的物理量就是其他物理量（或者说是变量）的函数。如果我们能够把这个函数关系写出来，或者将其函数图像画出来，那么定量或定性地理解物理量的变化情况，帮助我们解决物理问题。二：导数tv 物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线

3、，其斜率即a=.下面我们从代数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为上s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v=一般是求t时间内的平均速度，当t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。s(t)=3t+2t2 s(t+t)=3(t+t)+2(t+t) 2s=s(t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t) 2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v=3+4t+2t当t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。【练】假设一个闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为=3t+4t3,求

4、感应电动势随时间t的函数关系。【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；写出t+t时刻y1=f(t+t)的函数表达式；求出y=y1- y0=f(t+t)- f(t)；求出z=；注意t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。 无穷小当t取很小时，可以用V=求瞬时速度，也可用i=求瞬时电流,用=求瞬时感应电动势。下面，我们来理解t：t是很小的不为零的正数，它小到什么程度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数，都比t大，即：>t 。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间t=；

5、第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间t=；第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间t=；第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间t=；一直这样进行下去，我们知道，t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为t0。或者，用数学形式表示为 t=0。其中“”表示极限，意思是t的极限值为0。常规计算：（t+C）=C C·t=0 f(t)=f(0) f(t+t)=f(t) = 1附录常用等价无穷小关系（） ； ； ； ； 导数前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:z=,并简记为z=,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常

6、用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v=、a=、i=、=N等，甚至不限于对时间求导，如F=、Ex=、=等。这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式： 导数的四则运算 =± = =·v + u· 常见函数的导数=0(C为常数)； =-sint；=ntn-1 (n为实数)； =et；=cost； 复合函数的导数 在数学上，把u=u(v

7、(t)称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。=·复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数称为链式法则。【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asint，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为（称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问： 求出t时刻的速度v写出合力F与位移x的关系验证简谐运动中质点的机械能守恒。PQ【练】2、某矩形线框面积为S，匝数为N，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，如图所示，线框绕PQ轴以角速度匀速转动，从水平位置开始计时，在t时刻：写出磁通

8、量的表达式求出线框产生的感应电动势(计算完后自行与阳光课堂P40【点拨】部分对照)三：微分和积分 简单问题Q0Q1q【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随时间t 的变化关系如何？分析：根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q ，即q=Q0-Q1 ；流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q 满足关系式：i=根据电容电量公式

9、Q=CU,有Q1=CU=CRi ，那么q= Q0- CRi ；联立上式，有i= - CR进行公式变形，令x= - ,则有i= - CR= 同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= 关系，C为待定常数。故可以知道，i = Cex = Ce-t/CR当t=0 时，U0= ， i0= = ；而把t=0 代人，得i = Ce-t/CR=C；故C=所以，流过电阻R的电流随时间t 的变化关系为：i = e-t/CR【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t 的变化关系如何？微分1、从上面式子

10、可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。2、对于i= - CR或i= ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0 之类的初始条件。3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。在t的时间内，通过电阻R的电量为q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有q= it 。对电容有Q=CU=CiR，Q=i

11、；由电量守恒，Q= q ，故iti，然后把“”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有idtdi （dt和di称之为微分）,数学变形为i= - CR，即以上解法中的微分方程。微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：dF=dt，其中为F对t的导数。下面是常见的微分公式与微分运算法则： 积分在上例问题中，在t的时间内，通过电阻R的电量为q= it，q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的q加起来，用求和符号“”表示，则有：q=it。由于t=Nt,当t取无穷小时，那么it就有N个，也就是，我们要把无穷个it进行相加操

12、作，为了方便，我们用微积分符号表示q=it=，称为对i在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：从几何上看，对于i-t 图像，q=it=就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，q= it，即小块矩形面积；对于变化的电流，用q= it来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。前面我们求导用了i=，积分用了q=。可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR), i = e-t/CR满足求导和积分的运算关系i=、q=。对于一般函数F，

13、如果有f= ，那么就有=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解： f 现在我们用微积分书写方式来来解答上题。怎么来求呢？我们知道=et，令F(t)= et，有t=lnF；则有=F，即=dt=d(lnF) ；那么= = lnQ+C。=？请同学们自己推导。由Q0=Q+q ；Q=Q0-q ；则dQ= - dq = - idt= - dt= - dt ；即 = - dt ；对等号两边积分： = ；有lnQ = - C，或者Q=Ce-t/CR ； 当t=0时，Q(0)=C=Q0 ； 所以电容器电量为Q= Q0e-t/CR 。 定积分【例】某质点在X轴上做

14、直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有，则有：s= t3 +C ；现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！下面我们从物理上考察C这个常数的意义。t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；。tv我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内

15、质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)= t3 +C。题目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m 。 题目中所要求的位移（速度积分）与积分式=F+C中的C无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1t2)=s(t2) - s(t2)。这个相当于我们用s=vt来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简单符号表示这种关系：=F(b) F(a)。这种

16、积分叫定积分。【练】1、已知导线中的电流按I = t3-0.5t+6的规律随时间 t 变化，式中电流和时间的单位分别为A和s。计算在t =1s到t =3s的时间内通过导线截面的电荷量。【练】2、某质量为m的均匀细杆，长为L，绕其一端点做角速度为的匀速转动，试求其动能。【练】3、某弹簧劲度系数为K，原长为L，若将弹簧从2L长拉伸至3L长处，问应克服弹簧弹力做多少功？【练】4、对于某电路，通过电阻R=2的电流i=2t+1(A)，问从t=0时刻开始经过4s后，电阻产生的焦耳热是多少？四：课后习题1、质量为2kg的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x轴上的坐标为x=3+5cos2t，y轴上的坐标为y

17、=-4+5sin2t，t为时间物理量，问：物体的速度是多少？物体所受的合外力是多少?该物体做什么样的运动？ 能否找出该物体运动的特征物理量吗？2、一质点在某水平力F的作用下做直线运动，该力做功W与位移x的关系为W=3x-2x2,试问当位移x为多少时F变为零。3、已知在距离点电荷Q为r处点的场强大小为E=,请验证点处的电势公式为：U = 。4、某复合材料制成的一细杆OP长为L，其质量分布不均匀。在杆上距离O端点为x处取点A，令M为细杆上OA段的质量。已知M为x的函数，函数关系为M=kx2，现定义线密度=,问当x=处B点的线密度为何？5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J，当振动物体离开平衡位置振幅处，其势能EP= ，动能Ek= 。6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远