圆切线证明的方法(完整资料).doc

1、【最新整理，下载后即可编辑】切线证明法切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线的性质定理的推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经【最新整理，下载后即可编辑】过切点.切线的性质定理的推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经 过圆心切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等这一点和心的连线平分两条切线的夹角O一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一 个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径.【例1】如图1,已知/1/为O。的直径，点。在月召的延 长线上，9=08,点C在圆上，NC48=30

2、。.求证：77C是O。的切线.思路：要想证明。C是0。的切线，只要我们连接0G证 明/。3=9()。即可.图1证明：连接。G BC./1石为。的直径，.'./ACB=9()l).'：/CAB=30( ：.BC=AB=()B.2/ BD= OB, ：.BC=-()D. .*./OC79=90°.是0。的切线.【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特 别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条 件缺一不可，否则就不是圆的切线.例2如图2,已知48为O。的直径，过点/作0。的切 线BC,连接OC,弦ADH OC.求证：3是0。c的切练M思路：本题中既

3、有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线.也就是既要注意运用圆图2的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理.欲证明3 是O。的切线，只要证明即可.证明：连接OD.：OCII AD, /./1=/3, /2=/4. C)A=OD, /. /1=/2. /. /3=/4.又OB=QD, QC=OC,：. OBCKODC. ：，/ OBC= / ODC.是o。的切线，.,./OBC=W ：. z OZ7C=9()°.OC是0。的切线.【例3】如图2,已知为0。的直径，C为O。上一点，月。和过C点的切线互相垂直，垂足为D.求证：/C平分/D4反思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂

4、直于过切点的半径.证明：连接ockLz图3.3 是 0。的切线，：，C)C_LCD.：ADLCD, ：.()CH AD. /. /l = 22.OC= OA,/ 1 = Z 3./ 2= / 3.平分/D4反【评析】已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是 确定的.在解决有关圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线.【例4】 如图1, B、C是O。上的点，线段48经过圆 心连接 AC. BC,过点 C作于 D, /ACD=2/B. AC是O。的切线吗？为什么？解：月C是oo的切线.理由：连接OC,：OC=OB,:.( QCB=(B.V / CQD是丛BOC的夕

5、卜角,产彳声/. / COD= / OCB+ / =2/ B./ACD=2/B,图】AACDACOD.,：CDLAB 于 口、.Z. DCCH / COD=W° .Z.DCCH/A01=90° .即 OCLAC.,C为oo上的点，.C是0。的切线.【例5】 如图2,已知OO是反7的外接圆，月石是OO的 直径，。是45的延长线上的一点，石，。C交。C的延长线于 点、E,且月C平分/E4及求证：OE是0。的切线.证明：连接QC,则OA=OCfEZ G4O=/W平分/屈48,1Z.EAC= A CAC)=/ACO ,图2：.AEH CO, 又 A ELDE, ：.CC)LDE,

6、.,.7?£是OO的切线.二、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直 线段，证明此垂线段的长等于半径【例6】 如图3, AB=AC, ()B=()C, O。与从3边相切 于点D.证明:连接QD,作OELAC,垂足为1 %本封AB=AC,O= OC./Z.A。为/BAC 角平分线，/DA()= /() C,OO与相切于点D,'x7囹3/罚?。=/。石。=90° . . AQ=AO:.XAnogXAEO,所以 QE=QD.OD是oo的半径，.OE是0。的半径.,.OO与AC边相切.【例7】 如图，在AABC中，AB=AC,以AB为直径的O。交BC于D,交AC于

7、E, B为切点的切线交。D厂一二求证：EF与0。相切.("弋'证明：连结。E, AD.。封.AE是OO的直径,/.AC1EC, ZE+ /EAC=90°.N1 + /EAC=9()°.即 QA_LPA./.PA与0。相切.证明二：延长AD交O。于E,连结QA, QE.ZE=Z1.,/PA=PD, /. /PAD=/PDA.又/ PDA=/BDE, /./1+/PAD=9O° 即（）A_LPA.PA与OO相切说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知 识的综合运用.【例9】如图，AB=AC, AB是O。的直径，0。交BC于D, DM1

8、AC 于 M求证：DM与0。相切.证明一：连结。D.,/AB=AC, /. ZB=/C./=/C./.()D H AC./DMIAC, /.DMXOD./.DM与O。相切 证明二：连结()D, AD.AB是0。的直径， /.ADIBC.又 TAB=AC,/. /l=/2./DMIAC, /. / 2+/4=90°,.QA=()D,A Zl=/3.N3+/4=9()。.即()D_LDM./.DM是0。的切线说明：证明一是通过证平行来证明垂直的.证明二是通过证两 角互余证明垂直的，解题中注意充分利用已知及图上已知.【例10如图，已知：AB是0。的直径，点C在0。上，且NCAB=3()&#

9、176;,D在AB的延长线上.求证：DC是O。的切线证明：连结、BC.( X!/()A=()C,人 Fe pZA=/l = Z30°.：./BOC=/A+/1=6()°.又,.,OC=OB,是等边三角形./.()B=BC=BD./.OCICD.DC是OO的切线.说明：此题解法颇多，但这种方法较好.【例12 如图,AB是OO的直径是D，AB,且OA2=OD OP.求证：PC是。的切线.证明：连结QC,/()A2=()D OP, ()A=()/.()C2=()D - OP,PC OP ODOC/.OCPcAODC./. ZOCP=/()DC.,/CD1AB,ZOCP=9()&#

10、176;.PC是o。的切线.说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的【例13如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点,AG交BD于E,交CD于E求证：CE与ACFG的外接圆相切.分析：此题图上没有画出4CFG的外接圆，但4CFG是直角 三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点（），连结。C,证明CE_LOC即可得解.证明：取FG中点（），连结QC.ABCD是正方形,.'.BC1CD, ZSCFG 是 RtA。是FG的中点,.。是RtZXCFG的外心.G,TAD / BC,/. ZG=/4. AD=CD, DE=DE, /ADE=/CDE=45°, /.ADEACD

11、E (SAS)4 /_ 1, / 1 / 3.,/ /2+/3=9()°, 14-/2=90°.即 CE1OC.CE与ACFG的外接圆相切二、若直线1与OO没有已知的公共点，又要证明1是。的 切线，只需作OAJJ, A为垂足，证明OA是OO的半径就行了, 简称：“作垂直；证半径”【例14如图，AB=AC, D为BC中点，OD与AB切于E占八、证明一：连结DE,作DFAC, F,AB是OD的切线,A*BC求证：AC与OD相切./.DE1AB.,/DF±AC,/./DEB=/DFC=90°.,/AB=AC, /. ZB=ZC.又.BD=CD, /.BDEACDF (AAS) /.DF=DE.F 在OD 上.AC是OD的切线太证明二：连结 DE, AD,作 DFJ_/ / ! AB 与。D 相切，delab.、白卜,/AB=AC, BD=CD,/. Z1 = Z2.,/DE_LAB, DF_LAC,/.DE=DF.F在OD上./.AC与OD相切.说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明 二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.【例15 已知：如图，AC, BD与0。切于A、B,且AC /BD,若NCOD=90。.求证：CD是0。的切线.证明：连结。A, QB,作()EJ