高等数学课件：9-2(2)二重积分的计算法(２)

1、 高等数学（下）高等数学（下） 河海大学理学院河海大学理学院第二节 二重积分的计算（2） 高等数学（下）高等数学（下）AoDiirriirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用极坐标系计算二重积分 高等数学（下）高等数学（下）.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为累次积分的公式（）二重积分化为累次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 r 高等数学

2、（下）高等数学（下）AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( 高等数学（下）高等数学（下） Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式（）二重积分化为二次积分的公式（）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0多用于多用于D是圆及圆的一部分是圆及圆的一部分,f含含x2+y2. 高等数学（下）高等数学（下）例例

3、1 1 写写出出积积分分 Ddxdyyxf),(的的极极坐坐标标累累次次积积分分形形式式，其其中中积积分分区区域域,11| ),(2xyxyxD 10 x. 1 yx122 yx解解在极坐标系下在极坐标系下 sincosryrx所所以以圆圆方方程程为为 1 r,直直线线方方程程为为 cossin1 r, 高等数学（下）高等数学（下）例例 2 2 求求曲曲线线 )(2)(222222yxayx 和和222ayx 所所围围成成的的图图形形的的面面积积. 解解根根据据对对称称性性有有 14DD 在在极极坐坐标标系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D D

4、dxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd 高等数学（下）高等数学（下）由由 arar 2cos2, 得得交交点点)6,( aA, 所求面积所求面积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a 高等数学（下）高等数学（下）例例 3 3 计计算算dxdyeDyx 22，其其中中 D 是是由由中中心心在在原原点点，半半径径为为a的的圆圆周周所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解在极坐标系下在极坐标系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 高等数学（下）高等数学（下）例例4 4 求求广广义义积

5、积分分 02dxex. 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 显显然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2 高等数学（下）高等数学（下）又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 高等数学（下）高等数学（下）,4 I,21III );1(4)()1(42

6、22220RRxRedxee 即即 20)(2dxex4 ,所所 求求 广广 义义 积积 分分 02dxex2 .故故当当 R时时, 高等数学（下）高等数学（下）例例 5 5 计算计算dxdyyxD)(22 ，其，其 中中 D 为由圆为由圆 yyx222 ，yyx422 及直线及直线yx3 0 ， 03 xy 所围成的平面闭区域所围成的平面闭区域. 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy 高等数学（下）高等数学（下）.),(),(),(),(:)3(;0),(),(),(

7、)2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是是一一对对一一的的，则则有有变变换换上上雅雅可可比比式式在在；上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在且且满满足足，平平面面上上的的变变为为平平面面上上的的闭闭区区域域将将连连续续，变变换换上上平平面面上上的的闭闭区区域域在在设设定定理理 高等数学（下）高等数学（下）例例1 1解解所围成的闭区域所围成的闭区域线线轴和直轴和直轴、轴、由由其中其中计算计算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2

8、uvyuvx 则则,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即 高等数学（下）高等数学（下）),(),(vuyxJ ,2121212121 DvuDxyxydudvedxdye21故故 201)(21vdvee.1 ee 高等数学（下）高等数学（下）例例2 2解解所所围围成成的的闭闭区区域域椭椭圆圆为为其其中中计计算算1,122222222 byaxDdxdybyaxD ,sin,cosbryarx作作广广义义极极坐坐标标变变换换,20,10),( rrDD在在这这变变换换下下.),(),(abrryxJ drdabrrdxdybyaxDD 22

9、22211.32ab 高等数学（下）高等数学（下）例例 3 3 计算二重积分计算二重积分 Ddxdyyxyx2222)sin(, 其中积分区域为其中积分区域为41| ),(22 yxyxD. 解解由对称性由对称性 注意：注意：被积函数也要有对称性被积函数也要有对称性. Ddxdyyxyx2222)sin( 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D 高等数学（下）高等数学（下）二重积分在极坐标下的计算公式二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用（在积分中注意使用对称性对称性）二、小结 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,

10、cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 问题问题:1.有无先有无先后后积分计算公式积分计算公式,2.若有若有,为什么各教材上不提为什么各教材上不提. 高等数学（下）高等数学（下） 交交换换积积分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考题思考题1,cos022: arD解解oxy cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 高等数学（下）高等数学（下） 计算计算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所围成所围成.思考题思考题2令令 yvy

11、xu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,变变换换后后区区域域为为解解oxy1 yxDouvvu D 高等数学（下）高等数学（下） deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu2010 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v 高等数学（下）高等数学（下）积分技巧漫谈积分技巧漫谈1. 积分域：直角坐标是矩形，极坐标是圆心在原点积分域：直角坐标是矩形，极坐标是圆心在原点的扇形，则各积分限是常数；若被积函数还是相的扇形，则各积分限是常数；若被积函数还是相应一元函数的乘积，则二重积分是定积分的乘积；应一元

12、函数的乘积，则二重积分是定积分的乘积；2.绝对值函数要分不同区域去绝对值号绝对值函数要分不同区域去绝对值号 3.积分次序积分次序4当被积函数是一元或二元函数时当被积函数是一元或二元函数时,则这些变量的积则这些变量的积分靠后分靠后.例如被积函数是例如被积函数是x的一元函数的一元函数,则关于则关于x的的积分放在最后积分放在最后,一般来说一般来说,此类做法可减少定积分此类做法可减少定积分的运算的运算. 例如例如习题十三.二(4),(5) 高等数学（下）高等数学（下）4.区域的对称性区域的对称性,和被积函数的奇偶性和被积函数的奇偶性.4区域关于区域关于y轴对称即边界线方程用轴对称即边界线方程用-x代代

13、x后后不变不变,同时被积函数关于同时被积函数关于x是奇函数即是奇函数即 f(-x,y)=-f(x,y),则积分为零则积分为零; 被积函数关于被积函数关于x是偶函数即是偶函数即 f(-x,y)=f(x,y),则积分等于在一半区域上积则积分等于在一半区域上积分的两倍分的两倍.区域关于其它坐标轴区域关于其它坐标轴,被积函数关被积函数关于相应变量的对称有同样的性质于相应变量的对称有同样的性质.14,:)(:22所围所围和和由由求求 yxyxyDdxdyyxD例例:52 高等数学（下）高等数学（下）5.变量的循环对称变量的循环对称.4变量变量x和变量和变量y互换互换,若区域不变若区域不变,也是一个使用也是一个使用技巧的机会技巧的机会;4证明积分等式也常使用交换积分变量的次序证明积分等式也常使用交换积分变量的次序.例例 DdxdyxyxD222:. 3:求求为为设设4