高等数学课件：5-1定积分的概念

1、第一节一、问题的提出一、问题的提出二、二、 定积分的定义定积分的定义五、五、 定积分的性质定积分的性质定积分的概念 三、三、 定积分的几何意义定积分的几何意义四、四、 可积的充分条件可积的充分条件 第五五章 一、问题的提出一、问题的提出1. 曲边梯形的面积曲边梯形的面积由曲线由曲线，)0()( xfy轴轴，x及直线及直线bxax ,围成围成 ,求其面积求其面积 A .面积：面积：ab)(xfy xyO解决的步骤解决的步骤 1)大化小大化小 ： a , b 中中任意任意插入插入 n 1 个分点个分点:0121nnaxxxxxb 用直线用直线ixx n 个小曲边梯形个小曲边梯形;，将曲边梯形分成，

2、将曲边梯形分成3) 近似和：近似和：1niiAA 1()niiif x 4) 取极限：取极限：令令1max,ii nx 01lim()niiif x ，1,iiixx 2) 常代变：常代变：任取任取第第i个窄曲边梯形面积个窄曲边梯形面积()iiiAf x1()iiixxx 底底高高 niiAA12. 变速直线运动的路程变速直线运动的路程12( ),vv tC TT( )0,v t 经过的路程经过的路程 s.1)大化小大化小 ：1,(1,),iittin 任任意意插插入入个个分分点点1,n (1, 2,)isin速度速度n 小段小段解决的步骤解决的步骤将将 分成分成,21TTv变化，变化，公式失

3、效公式失效初等公式初等公式tvs03) 近似和：近似和：iniitvs 1)( 4) 取极限：取极限：iniitvs 10)(lim )max(1init 方法步骤相同方法步骤相同 :“大化小大化小 , 常代变常代变 , 近似和近似和 , 取极限取极限 ”极限结构式相同极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限特殊乘积和式的极限两问题的共性两问题的共性任任取取1,iiitt 2) 常代变：常代变：()iiisv t), 2, 1(niabxo二、定积分定义二、定积分定义 设设在在上上有有界界( ) , ,f xa b，,ba01,naxxxb,1 iiixxx令令任取任取1,iiixx i当当时时，

4、1max0ii nx iniixf 1)( 总趋于数总趋于数 I , 则称则称 I 为为)(xf在在,ba上的上的定积分定积分,1xix1ix( )dbaf xx 即即( )dbaf xx 01lim()niiif x 记作记作任意任意划分划分1.定义定义5.1 baxxfd)(iniixf 10)(lim 积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数积分变量积分变量积分和积分和：积积分分区区间间 , a b符号说明符号说明被积表达式被积表达式2. 几点说明几点说明(1)”？”？”换“”换“用“用“0 n不行！不行！(2) 两个任意性：两个任意性：划分的稠密性：划分的稠密性：划划分分任任意

5、意 , a b选选 点点任任 意意i)3(上的定积分存在时，上的定积分存在时，在在当当,)(baxf称称 f (x) 在在区间区间a, b上上可积可积.定积分定积分 与与 有关有关与与积分变量用什么字母表示积分变量用什么字母表示无关：无关： 被积函数被积函数积分区间积分区间(4) 确定定积分的两个要素确定定积分的两个要素( )dbaf xx ( )dbaf tt ab)(xfy xyOab)(tfy tyO“面积相同面积相同”三、定积分的几何意义三、定积分的几何意义Axxfxfba d)(,0)(（曲边梯形面积）（曲边梯形面积） baxxfxfd)(,0)(（曲边梯形面积的负值）（曲边梯形面积

6、的负值）abyx1A2A3A4A5A54321d)(AAAAAxxfba （各小面积的代数和）（各小面积的代数和）A 四、可积的条件四、可积的条件可积的必要条件：可积的必要条件： 在在a, b上有界上有界)(xf1. 必要条件必要条件在在上上可可积积( ) , f xa b在在上上有有界界( ) , f xa b反例反例: 狄利克雷函数狄利克雷函数 为为无无理理数数，为为有有理理数数xxxD0, 1)(在任何区间在任何区间a, b上上有界有界，但却，但却不可积分不可积分.2. 充分条件充分条件定理定理1 在在上上连连续续，( ) , f xa b则则在在上上可可积积( ) , .f xa b定

7、理定理2在在上上有有界界( ) , ,f xa b 且只有且只有有限个有限个第一类间断点第一类间断点， 则则在在可可积积( ) , .f xa b注注有界函数有界函数 f (x)的定积分是否存在以及定积的定积分是否存在以及定积分的值为多少与分的值为多少与 f (x)在积分区间上在积分区间上有限个有限个点处的值无关点处的值无关.注注利用定义计算定积分利用定义计算定积分.d102xx解解将将 0,1 n 等分等分, 分点为分点为niix nix1,nii取取(1,2, )in 则则2()iiiif xx 32ni1( )niiif x 2311niin 311(1)(21)6n nnn 111(1

8、)(2)6nn 例例1122001dlimniiixxx o1 xyin2xy 在在上上连连续续，必必可可积积分分. .( )0,1f xlimn 13 111(1)(2)6nn例例2)1(21(1lim222222 nnnnnIn求求极极限限：解解)(1lim22112innInin nninin1)(1lim211 nninin1)(1lim21 11lim( )nniifnn 21)(xxf nnabab1, 1 1 , 0 x), 2 , 1(ninii 10( )f x dx 1201x dx 21xy AA .41412 111lim( )nniiIfnn ( (存在存在) )xy

9、O 五、定积分的性质五、定积分的性质(设定积分均存在设定积分均存在)( )dbaf xx 时时，2 ab 1( )dbak f xx ( k 为常数为常数)2 ( )( )dbaf xg xx 规定规定时时，1 ba 性质性质1（线性性质）（线性性质）( )dabf xx ( )dbakf xx ( )d( )dbbaaf xxg xx( )d0baf xx 例例3是连续函数，且是连续函数，且设设)(xf,d)(2)(10 ttfxxf求求 f (x).解解，则，则令令attf 10d)(axxf2)( xaxxd2d1010 axx2d10 axxf2)( 10dx 10d)(x a分析分析

10、( )dbaf xx 是一个是一个确定的数确定的数.xxad10 xyO1y = x1121 .21 )(xf从而从而. 1 xax2 baxxfd)(（可加性）（可加性）性质性质2 caxxfd)(.)(,中中的的任任意意三三个个数数的的可可积积区区间间为为其其中中Ixfcba bcxxfd)( baxdab 性质性质3 （度量性）（度量性）（区间长度）（区间长度）性质性质4则.0d)(xxfba若若1( )0,f x 若若2( )( ),f xg x 则xxfbad)(xxgbad)(（保序性）（保序性），,bax，,bax推论推论( )dbaf xx ( ) dbaf xx )(ba 例

11、例4比较积分大小：比较积分大小：与与1121200(1)dd ;IxxIxx与与2223411(2)dd ;IxxIxx解解（ ）因因21,0,1,xxx故故12.II （ ）因因22,1,2,xxx故故34.II , )(min, )(max,xfmxfMbaba 则则)(d)()(abMxxfabmba )(ba （估值定理）（估值定理）性质性质5设设证证,)(Mxfm 由由 xxfbad)( baxmd baxM d )(abm)(abM 得得例例5估计估计221dxIex 的值的值.解解由由214,xeee得得221dxex 41ee 例例6.d1lim210 xxxnn求求解解21,

12、001)21(10 xxxnn 210210d)21(d10 xxxxnn121 n00lim,021lim1 nnn又又.0d1lim210 xxxnn性质性质6 ( (定积分中值定理）定积分中值定理）若若( ) , ,f xC a b 则至少存在一点则至少存在一点, ,ba 使使证证由由性质性质5 ，Mxxfabmba d)(1 由由介值定理介值定理, ,有有点点 , ,a b 使使xxfabfbad)(1)( 设设 , , max( ),min( ),a ba bMf xmf x( )d( )()baf xxf ba 性质性质7 ( (定积分第二中值定理）定积分第二中值定理）若若( )

13、, ,f xC a b 则至少存在一点则至少存在一点, ,ba 使使上可积且不变号，上可积且不变号，在在,)(baxgxxgfdxxgxfbabad)()()()( 设设)(xf可可导导，且且1)(lim xfx， 求求 ttfttxxxd)(3sinlim2 . 例例7解解由积分中值定理知由积分中值定理知, 有有,2, xx使使ttfttxxd)(3sin2 3sin( )(2),f xxttfttxxxd)(3sinlim2 32 limsin( )f )(33sinlim6 f 6116 例例8 2100d)(2)1(xxfxf使使证证明明：至至少少存存在在一一点点),1 , 0( .)

14、()( ff 分析分析 )()(ff 0)()( ff0 )( xxxf上可微，且上可微，且在在设设1 , 0)(xf证证)()(xxfxF 令令上上可可导导，且且在在则则1 ,0)(xF 210d)(2)1()1(xxxffF210 ，由由定定积积分分中中值值定定理理，知知 )021()(2d)(2210 fxxxf使使)()( Ff )()1( FF 1 ,01 , 用用罗罗尔尔定定理理，知知对对于于上上在在)(,1 ,xF )1 ,0()1( ， .)()( ff 即即0 )()( xxxfF例例9求时间段求时间段0，T内自由落体的平均速度内自由落体的平均速度. 解解 已知自由落体速度为

15、已知自由落体速度为tgv 故所求平均速度故所求平均速度 v2211TgT 2Tg Tttg0d01 Totgv vTt221TgS 内容小结内容小结定积分的实质：特殊和式的极限定积分的实质：特殊和式的极限定积分的思想和方法：定积分的思想和方法：分割分割化整为零化整为零求和求和积零为整积零为整取极限取极限精确值精确值定积分定积分求近似以直（不变）代曲（变）求近似以直（不变）代曲（变）取极限取极限01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1. 用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :nnnnnIn) 1(sin2sinsin1lim解解10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn

16、) 1( 0 x或或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx2.如何用定积分表示下述极限如何用定积分表示下述极限 nnnnnnIn) 1(sinsin2sin1lim提示提示:nknnkI1sinlim1nnnnnsin1limnnnn) 1(sin1lim0dsin1xx极限为 0 !.121dxx解解12, nqqq代表小区间为代表小区间为iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii利用定义计算定积分利用定义计算定积分其长度其长度)1(11 qqqqxiiii备用题备用题例例1-1将将等等份份，1,2n分点为分点为（）1,2,in 取取1,iiq ）（

17、ni, 2 , 1 niq1)1(1,iiqq 在在上上连连续续，必必可可积积分分. .( )1,2f x1(21),nn1lim(21)xxx 121lim1xxx ln2, 1lim(21)nnnln2, 211dxx 011limniiix 1lim(21)nnnln2. 1()niiif x 取取nq12 ) 1( qn 设函数设函数在区间在区间 1 1, ,0 0 上连续，且取正值上连续，且取正值证证nnnnfnfnf21limnnnnfnfnfe21limln试试证证12limnnnfffnnn .10)(lndxxfe利用对数的性质得利用对数的性质得例例2-1极限运算与极限运算与

18、对数运算换序对数运算换序nifnnine1ln1lim)(xf 10d)(lnxxf故故12limnnnfffnnn .10d)(ln xxfe将将1 , 0n等分，等分， 分点为分点为)(lnxf在在1 ,0上连续，故上连续，故,nixinnifnin1)(lnlim1 nnifnin1)(lnlim1 )(lnxf在在1 , 0区间区间上的积分和上的积分和：为(1,2, )in 121lim)2(ppppnnnnnipn1lim1nixxpd10iix例例2-2 用定积分表示下列极限用定积分表示下列极限:ninnin111lim) 1 (121lim)2(ppppnnn解解ninnin111lim) 1 (nninin11lim1iixxxd110 x01ni 1ni利用利用,133) 1(233nnnn得得133) 1(233nnnn1) 1( 3) 1( 3) 1(233nnnn1131312233两端分别相加两端分别相加, 得得1)1(3 n)21