高等数学课件：5-2 定积分的性质 中值定理

1、 高等数学高等数学( (上上) )第二节第二节 定积分的性质定积分的性质 积分中值定理积分中值定理规定规定1）当当 ba 时时，0)( badxxf； 2）当当 ba 时时， abbadxxfdxxf)()(。 在下面的性质中，假定定积分都是可积的在下面的性质中，假定定积分都是可积的 . 高等数学高等数学( (上上) )证证 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 badxxf)( badxxg)( badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)( 性质性质1(线性性线性性)iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 高等数学高等数学( (上上

2、) )证证 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 badxxfk)( babadxxfkdxxkf)()( 性质性质1（ 为常数）为常数）k 高等数学高等数学( (上上) )从从几何上意义几何上意义考虑考虑xyo)(xfy abc badxxf)( bccadxxfdxxf)()( 假假设设 bca 性质性质2(区间可加性区间可加性) 高等数学高等数学( (上上) ),)()()(bciicaiibaiixfxfxf2200cos xdx0注注 不论不论 ， 的相对位置如何的相对位置如何, , 上式总成立上式总成立.

3、.abc 高等数学高等数学( (上上) )证证iinixf )(lim10 badxxf)(则则 0)( dxxfba. . )(ba 性质性质3如如果果在在区区间间 ,ba 上上0)( xf， , 0)( xf, 0)( if),2, 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixfiinixf )(lim10 .0)( badxxf 高等数学高等数学( (上上) )则则 dxxfba )( dxxgba )(. . )(ba 如如果果在在区区间间 ,ba 上上)()(xgxf ， 推论推论1(不等式性不等式性)21321lnlnxdxxdxxx当当)(xf在在区区间间 ,ba 上上非非负负

4、连连续续且且 0)(xf badxxf)( 高等数学高等数学( (上上) )dxxfba )(dxxfba )( )(ba 推论推论2 如果如果 f 在在 a , b 上可积上可积 , ,则则 f 在在 a , b 上也可积上也可积 , , 并有并有, )()()(xfxfxf ,)()()(dxxfdxxfdxxfbababa 即即dxxfba )(dxxfba )(. 高等数学高等数学( (上上) ) )()()(abMdxxfabmba 证证Mxfm )( bababaMdxdxxfdxm)()()()(abMdxxfabmba 推论推论3 (估值定理估值定理) 设对于任意的设对于任意的

5、 x a , b ,有有Mxfm)( 高等数学高等数学( (上上) )解解xxf3sin31)( , 0 x1sin03 x31sin31413 xdxdxxdx 003031sin31413sin31403 dxx 估估计计积积分分dxx 03sin31的的值值。 例例1题目可修改。题目可修改。 高等数学高等数学( (上上) )3sin31403 dxx例例 高等数学高等数学( (上上) )22sin2124dxxx2,4)4()()2(fxff,sin)(xxxf 2sincos)(xxxxxf 2)tan(cosxxxx , 0 高等数学高等数学( (上上) )22)4()(2)2(fx

6、ff422)(4224dxxf22sin2124dxxx 高等数学高等数学( (上上) )dxxxnn24sinlim22sin2xxnnnxx22sin2nnndxxx224sin2424022lim2limnnnn 高等数学高等数学( (上上) )Mdxxfabmba )(1证证)()()(abMdxxfabmba 由闭区间上连续函数的由闭区间上连续函数的介值定理介值定理知知如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则在在 区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使 dxxfba )()(abf )(ba 性质性质5（定积分中值定理定积分中值定理）Mm ,设

7、设是是)(xf的最大值和最小值。的最大值和最小值。 高等数学高等数学( (上上) )在在区区间间 ,ba 上上至至少少存存在在一一个个点点 ，使使 badxxfabf)(1)( dxxfba )()(abf )(ba 即即.)()()()(babadxxgfdxxgxf推广的定积分中值定理推广的定积分中值定理: :设设 f Ca , b, , g可积可积.且且g在在a , b上不变号上不变号, ,则至少存在一点则至少存在一点a ,b使得使得)()()()(xMgxgxfxmg 高等数学高等数学( (上上) )积分中值定理的几何解释：积分中值定理的几何解释：ab )( f)( f的的一一个个矩矩

8、形形的的面面积积 ，使得曲边梯形的面积，使得曲边梯形的面积 等于底为等于底为 b a ，而而高高为为 xyo在在区区间间,ba上上至至少少存存在在一一点点 dxxfabfba )(1)( 高等数学高等数学( (上上) )例例 3 设设)(xf可导，且可导，且1)(lim xfx， 求求dttfttxxx 2)(3sinlim. 解解由积分中值定理知有由积分中值定理知有,2, xx使使dttfttxx 2)(3sin),2)(3sinxxf dttfttxxx 2)(3sinlim)(3sinlim2 f )(3lim2 f . 6 高等数学高等数学( (上上) ).)()(),1 , 0(:,

9、)(2)1(, 1 , 0)(1210ccfcfcdxxxffxf 使使得得证证明明且且满满足足上上可可导导在在、设设).(2)()1 (),4 , 2(:,)() 1()2(, 4 , 2)(2432 ffdxxfxfxf 使使得得则则且且上上可可导导在在、设设 高等数学高等数学( (上上) )移移项项立立得得。使使得得用用罗罗尔尔定定理理，知知：对对令令解解、由由积积分分中中值值定定理理和和, 0)()(),1 , 0()1 ,(),()(:21, 0),(21)(2)1()(2)1(1210 cfcf ccxxfxFfffdxxxff .)()(),1 , 0(:,)(2)1(, 1 , 0)(1210ccfcfcdxxxffxf 使使得得证证明明且且满满足足上上可可导导在在、设设 高等数学高等数学( (上上) ).(2)()1 (),4 , 2(:,)() 1()2(, 4 , 2)(2432 ffdxxfxfxf 使使得得则则且且上上可可