高等数学课件：5-6 广义定积分

1、 高等数学（上）高等数学（上）第六节第六节 反常积分反常积分一、无穷区间上的反常积分一、无穷区间上的反常积分 adxxf)( babdxxf)(lim 高等数学（上）高等数学（上）当极限存在时，称反常积分当极限存在时，称反常积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，称反常积分时，称反常积分发散发散. . bdxxf)( baadxxf)(lim类似地类似地 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim 高等数学（上）高等数学（上） 例例1 计算广义积分计算广义积分 . .222xxdx021) 1(1limaadxxbbdxx021) 1(

2、1lim0) 1arctan(limaax bbx0) 1arctan(lim解解222xxdx00 高等数学（上）高等数学（上）例例2 计算广义积分计算广义积分 21sin12dxxx解解 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb1 高等数学（上）高等数学（上）4计算反常积分时,可推广N-L公式.例如 adxxf)()()(lim)(aFbFxFba )()(xfxF 其其中中 高等数学（上）高等数学（上）例例 3 3 证证明明反反常常积积分分 11dxxp当当1 p时时收收敛敛，当当1 p时时发发散散.

3、. 证证 当当 时时1 p 11dxxp 11dxx 1ln x 11dxxp 111pxp 1,111,ppp当当 时时1 p 高等数学（上）高等数学（上）)( !0NnndxexIxnn010dxexnexxnxn1nnI0 xnndexI 高等数学（上）高等数学（上）二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分 badxxf)( badxxf )(lim0 高等数学（上）高等数学（上） badxxf)( badxxf)(lim0)(xf在区间在区间,ba上除点上除点)(bcac 外连续，而外连续，而 在点在点c的邻域内无界，则定义的邻域内无界，则定义 badxxf)( cadxxf)(

4、bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0 高等数学（上）高等数学（上）20)2)(1(xxdx22323110dxxx)1121(lim10010写成1012lnxx 高等数学（上）高等数学（上）例例5 计算广义积分计算广义积分 . .)0(022 axadxa解解 2201limxaaxax 为为被被积积函函数数的的奇奇点点 . . axadx022 axadx0220limaax0arcsin2 高等数学（上）高等数学（上）例例6 计算广义积分计算广义积分 . . 21ln xxdx解解 21ln xxdx21)ln(ln x 故原广义积分发散故原广义积分发散

5、. .思考思考 积分积分 的奇点是哪几点？的奇点是哪几点？ 101lndxxx1lnlim1 xxx, 11lim1 xx1 x不是奇点不是奇点, , 101lndxxx的奇点是的奇点是. 0 x 高等数学（上）高等数学（上）注意注意 积分中有无奇点？积分中有无奇点？0 x实际上实际上是奇点是奇点, ,.,110102发发散散而而 xxdx 11112021xxdx 112xdx计算计算这个解法是错的这个解法是错的, , 1122001xdxx.原原积积分分发发散散 高等数学（上）高等数学（上）01)(dxexsxs1100s)() 1(sss!) 1(nn0s)(s 高等数学（上）高等数学（上）).10