平面向量基本定理及坐标表示

1、5.2 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 要点梳理要点梳理 基础知识基础知识 自主学习自主学习 1.1.两个向量的夹角两个向量的夹角 （1 1）定义）定义 已知两个已知两个非零非零 向量向量aa 和和bb , ,作作 = =OAaa ， = =OBbb ，则，则AOBAOB = =叫做向量叫做向量a a 与与bb 的夹角的夹角. . (2) (2)范围范围 0 0180180aa 与与bb 同向时，同向时， 向量夹角向量夹角的范围是的范围是 , ,180180 0 0aa 与与bb 反向时，夹角反向时，夹角= . = . 夹角夹角= ;= ; (3) (3)向量垂直向量垂直

2、 b b 9090 aa 与与bb 垂直垂直, ,记作记作aa 如果向量如果向量aa 与与bb 的夹角是的夹角是 ，则，则 . . 2.2.平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 （1 1）平面向量基本定理）平面向量基本定理 定理：如果定理：如果ee1 1, ,ee2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线 向量，向量，有且只有有且只有一对实一对实 那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量aa , , ?1 1e1 1+ + ?2 2e2 2 数数 , , , ,使使aa = . = . ?1 1?2 2 其中，不共线的向量其中，不共线的向量ee1 1

3、, ,ee2 2叫做表示这一平面内所有叫做表示这一平面内所有基底基底 向量的一组向量的一组 . . (2)(2)平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个互相垂直互相垂直 的向量，叫做把向量的向量，叫做把向量 正交分解正交分解. . (3)(3)平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与在平面直角坐标系中，分别取与xx 轴、轴、yy 轴方向相同轴方向相同 的两个单位向量的两个单位向量ii , ,jj 作为基底，对于平面内的一个向作为基底，对于平面内的一个向 量量aa , ,有且只有一对实数有且只有一对实数xx , ,yy , ,使使a

4、a = =xx ii + +yy jj , ,把有序数对把有序数对 ( (xx , ,yy ) ) ( (xx , ,yy ) ) x x 叫做向量叫做向量aa 的坐标，记作的坐标，记作aa = = ，其中，其中 叫叫aa 在在x x y y 叫叫aa 在在yy 轴上的坐标轴上的坐标. . 轴上的坐标，轴上的坐标， 终终 设设 = =OAxx ii + +yy jj ，则向量，则向量 OA的坐标（的坐标（xx , ,yy ) )就是就是 点点 AA 的坐标的坐标 ，即若，即若 = =OA（xx , ,yy ），则），则AA 点坐标为点坐标为 （xx , ,yy ） 反之亦成立反之亦成立. .（

5、O O是坐标原点）是坐标原点） , ,3.3.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 （1 1）加法、减法、数乘运算）加法、减法、数乘运算. . （2 2）向量坐标的求法）向量坐标的求法 已知已知AA （xx1 1，yy1 1），），BB （xx2 2，yy2 2），则），则 =( =(ABxx2 2- -xx1 1, ,yy2 2- -终点终点的坐标减去的坐标减去 yy1 1),),即一个向量的坐标等于该向量即一个向量的坐标等于该向量 始点始点 的坐标的坐标. . (3) (3)平面向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示 设设aa =(=(xx1 1, ,yy1 1),),bb =(=(xx

6、2 2, ,yy2 2),),其中其中bb 0 0, ,则则aa 与与bbxx1 1yy2 2- -xx2 2yy1 1=0 =0 ?b ? . . ?aa = = 基础自测基础自测 1.1.（20082008辽宁文，辽宁文，5 5）已知四边形已知四边形ABCDABCD的顶点的顶点 AA （0 0，2 2）、）、BB （-1-1，-2-2）、）、CC （3 3，1 1）, ,且且 = = BC 2 2 AD,则顶点则顶点DD 的坐标为的坐标为 17(2 ,?) A. A. B. B. (2 , ) 22 C.(3,2) C.(3,2) D.(1,3) D.(1,3) （ A ） 解析解析 AA

7、 (0,2),(0,2),BB (-1,-2),(-1,-2),CC (3,1), (3,1), BC =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). =(3,1)-(-1,-2)=(4,3). 设设DD （xx ，yy ),), =( =(BCADADxx , ,yy -2), =2 , -2), =2 , 7 (4,3)=(24,3)=(2xx ,2,2yy -4).-4).xx =2,=2,yy = . = . 22.2.已知已知aa =(4,2),=(4,2),bb =(=(xx ,3),3),且且aa bb ，则，则xx 等于（等于（ B ） A.9 A.9 B.6 B.6 C.5 C.

8、5 D.3 D.3 解析解析 aa bb ，12-212-2xx =0=0，xx =6. =6. 3.3.已知两点已知两点AA （4 4，1 1），），BB （7 7，-3-3），则与），则与 AB同向同向的单位向量是的单位向量是 A （ ） ?4 A. A. ( ,?)554? C. C. (?, )5 5 解析解析 AA （4 4，1 1），），BB （7 7，-3-3），）， = =（3 3， ABAB3? -4 -4），）， 与与 同向的单位向量为同向的单位向量为 ?( ,?).AB|AB|55?4B. B. (?, )5 54?D. D. ( ,?)554.4.（20082008安徽

9、理，安徽理， 3 3）在平行四边形在平行四边形 ABCDABCD中，中，ACAC为一条对角线，若为一条对角线，若 = = = =（1 1，3 3），），AB（2 2，4 4），），AC则则 BD等于等于 （ B ） A. A.（-2-2，-4-4） B.B.（-3-3，-5-5） C. C.（3 3，5 5） D.D.（2 2，4 4） 解析解析 如图所示，如图所示，AD ?BC?AC?AB?（-1-1，-1-1），）， 所以所以BD ?AD?AB?（-3-3，-5-5）. . 15.5.已知向量已知向量aa = =（8, 8, xx ），），bb =(=(xx ,1),1)，其中，其中xx

10、0 0，若，若( (aa - - 24 4 2 2bb )()(2 2aa + +bb ) )，则，则xx 的值为的值为 . . 1 解析解析 aa -2-2bb = =（8-28-2xx , , xx -2-2），），2 2aa + +bb =(16+=(16+xx , ,xx +1), +1), 2 由已知由已知( (aa -2-2bb )()(2 2aa + +bb ),),显然显然2 2aa + +bb 0 0，故有（，故有（8-28-2xx , , 1 xx -2-2）= = ?(16+(16+xx , ,xx +1) +1) 2?(16+(16+xx ) ) 8-2 8-2xx =

11、 = ?xx =4 (=4 (xx 0). 0). ?1 xx -2=-2= ?( (xx +1)+1) 2题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 题型一题型一 平面向量基本定理平面向量基本定理 【例例1 1】如图所示，在平行四边形】如图所示，在平行四边形ABCDABCD中，中， M M ，NN 分别为分别为DCDC ，BCBC 的中点，已知的中点，已知 = =AMcc ， ANdd ，试用，试用cc ，dd 表示表示 = = . . AB，AD 、 有难度，可换一有难度，可换一思维启迪思维启迪 直接用直接用cc 、dd 表示表示AB AD个角度，由个角度，由 表示表示 ，进而解方程组可，进而解方

12、程组可AB、ADAM、AN求求 . AB、AD解解 方法一方法一 设设 = =ABaa ，AD = =bb ， 则则aa = = =AN?NBdd + +（ ?12bb ） bb = = =AM?MDcc +( +( ?12aa ) ) 将代入得将代入得aa = =dd +( )+( )?112 c?(?a)? , ,a ?4223d ?3c代入得代入得 b ? c?(?12)(43d ?23c)?43c?23d. 方法二方法二 设设 = = = =bb . . ABaa ，AD因因M M ，NN 分别为分别为CDCD ，BCBC 的中点，的中点， 11所以所以BN DM?aa ， ?bb ，

13、2221 cc = =bb + + aa aa = (2= (2dd - -cc ) ) 32因而因而 ?12 dd = =aa + + bb bb = (2= (2cc - -dd ), ), 2322即即 = = = = （2 2cc - -dd ）. . AB（2 2dd - -cc ），），AD33 探究提高探究提高 平面向量基本定理从理论上说明平面内任平面向量基本定理从理论上说明平面内任何一个向量都可以用一组基底表示何一个向量都可以用一组基底表示.这就是说这就是说 AB、 AD一定能用一定能用cc 、dd 表示表示.本题用方程的思想使问题得本题用方程的思想使问题得以解决以解决. 知能

14、迁移知能迁移1 1 如图所示，在如图所示，在ABCABC中，点中，点 O O是是BCBC 的中点，过点的中点，过点O O的直线分别交的直线分别交 直线直线ABAB 、ACAC 于不同两点于不同两点M M 、NN ， 若若 AB?mAM,AC?nAN ,则则mm+ +nn 的值的值 为为 . . 1 解析解析 设设AB = =aa ， = =bb ， ACMO?AO?AM?（aa + +bb ）- - 2 1a ? (1?1)a?1b,m2m2 同理同理 NO?12a?(112?n)b 由由 MO NO得得 = = MO?NO ?1?1?1 ? 即即 ?2 m2 ?(1 2?1n)? ?1 2

15、整理得整理得mm+ +nn =2. =2. 答案答案 2 2 题型二题型二 向量的坐标运算向量的坐标运算 【例例2 2】已知点】已知点AA （1 1，0 0）、）、BB （0 0，2 2）、）、CC （-1-1， - 2 - 2），求以），求以AA 、BB 、CC 为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个顶点顶点DD 的坐标的坐标. . 思维启迪思维启迪 “以以AA 、BB 、CC 为顶点的平行四边形为顶点的平行四边形”可可 以有三种情况：（以有三种情况：（1）（3）ABDCABDC. . AB?DC得得 ABCDABCD，则由，则由 ABCDABCD；（；（2）ADBCADBC；

16、 解解 设设DD的坐标为（的坐标为（xx , ,yy ）. . (1) (1)若是若是 (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-( (0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(xx , ,yy ), ), 即即(-1,2)=(-1-(-1,2)=(-1-xx ,-2-,-2-yy ), ), -1- -1-xx =-1, =-1, -2- -2-yy =2. =2. xx =0,=0,yy =-4. =-4. DD 点的坐标为（点的坐标为（0 0，-4-4）（如图中的）（如图中的DD1 1）. . （2 2）若是）若是AD?CB得得 ADBCADBC，则由，则由 （xx ，yy ）- -（1 1

17、，0 0）= =（0 0，2 2）- -（-1-1，-2-2），）， 即即( (xx -1,-1,yy )=(1,4).)=(1,4).解得解得xx =2,=2,yy =4. =4. DD 点坐标为（点坐标为（2 2，4 4）（如图中的）（如图中的DD2 2）. . （3 3）若是）若是ABDCABDC，则由，则由 AB?CD得得 （0 0，2 2）- -（1 1，0 0）= =（xx , ,yy ）-(-1,-2), -(-1,-2), 即即(-1,2)=(-1,2)=(xx +1,+1,yy +2).+2).解得解得xx =-2,=-2,yy =0. =0. DD 点的坐标为（点的坐标为（

18、-2-2，0 0）（如图中的）（如图中的DD3 3）. . 综上所述，以综上所述，以AA 、BB 、CC 为顶点的平行四边形的第四个为顶点的平行四边形的第四个 顶点顶点DD 的坐标为（的坐标为（0 0，-4-4）或（）或（2 2，4 4）或（）或（-2-2，0 0）. . 探究提高探究提高 （1）要加强对向量的坐标与该向量起）要加强对向量的坐标与该向量起点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应点、终点的关系的理解，以及对坐标运算的灵活应用用. （2）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，）向量的坐标运算是向量运算的数量表达形式，更能利用代数知识解决，也是向量被广泛应用的基更能利用代数知识

19、解决，也是向量被广泛应用的基础础. 知能迁移知能迁移2 2（20092009辽宁文，辽宁文， 1313）在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy 中，四边形中，四边形ABCDABCD的边的边ABAB DCDC ，ADAD BCBC . .已知已知AA （-2-2，0 0），），BB （6 6，8 8），），CC （8 8，6 6），则），则DD 点的坐点的坐标为标为(0,-2) (0,-2) . . 解析解析 设设DD 点的坐标为（点的坐标为（xx , ,yy ）, ,由题意知由题意知BC , , ?AD 即（即（2 2，-2-2）=(=(xx +2,+2,yy ) )，所以，所以xx =

20、0,=0,yy =-2=-2,DD (0,-2). (0,-2). 题型三题型三 平行向量的坐标运算平行向量的坐标运算 【例例3 3】 （1212分）平面内给定三个向量分）平面内给定三个向量aa =(3,2),=(3,2),bb = = (-1,2),(-1,2),cc =(4,1).=(4,1).回答下列问题：（回答下列问题：（ 1 1）若（）若（ aa + +kk cc ）(2(2bb - -aa ) )，求实数，求实数kk ; ; (2) (2)设设dd =(=(xx , ,yy ) )满足满足( (dd - -cc )()(aa + +bb ) )且且| |dd - -cc |=1,|

21、=1,求求dd . . （1）由两向量平行及两向量平行的条件）由两向量平行及两向量平行的条件思维启迪思维启迪 得出关于得出关于kk 的方程，从而求出实数的方程，从而求出实数kk 的值的值. （2）由两向量平行及）由两向量平行及|dd -cc |=1得出关于得出关于xx ,yy 的两个方的两个方程，解方程组即可得出程，解方程组即可得出xx ,yy 的值，从而求出的值，从而求出dd . 解解 （1 1）（aa + +kk cc ）（2 2bb - -aa ），）， 又又aa + +kk cc =(3+4=(3+4kk ,2+,2+kk ),2),2bb - -aa =(-5,2), =(-5,2)

22、, 2 2(3+4(3+4kk )-(-5)-(-5)(2+(2+kk )=0, )=0, kk =- . =- . 1613 （2 2）dd - -cc =(=(xx -4,-4,yy -1),-1),aa + +bb =(2,4), =(2,4), 又又( (dd - -cc )()(aa + +bb ) )且且| |dd - -cc |=1, |=1, 4( 4( xx -4)-2(-4)-2(yy -1)=0 -1)=0 ( (xx -4)-4)2 2+(+(yy -1)-1)2 2=1, =1, 2 2分分4 4分分6 6分分8 8分分 ?5?5?x?4?x?4?55解得解得 ?或?

23、.?y?1?2 5?y?1?2 5?55?1010分分 20?5 5?2 520?5 5?2 5 12 12分分 ? d ?(,)或d ?(,).5555 探究提高探究提高 向量平行的坐标公式实质是把向量问题转向量平行的坐标公式实质是把向量问题转 化为实数的运算问题化为实数的运算问题.通过坐标公式建立参数的方通过坐标公式建立参数的方 程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程程，通过解方程或方程组求得参数，充分体现了方程 思想在向量中的应用思想在向量中的应用. 知能迁移知能迁移3 3 已知点已知点O O（0 0，0 0），），AA （1 1，2 2），），BB （4 4，5 5）且）且 O

24、P?OA?tAB, （1 1）求点）求点P P在第二象限时，实数在第二象限时，实数tt 的取值范围；的取值范围； （2 2）四边形）四边形OABPOABP 能否为平行四边形？若能，求出能否为平行四边形？若能，求出相应的实数相应的实数tt ; ;若不能，请说明理由若不能，请说明理由. . 解解 O O（0 0，0 0），），AA （1 1，2 2），），BB （4 4，5 5），）， = = = =（4-14-1，5-25-2）= =（3 3，3 3）. . OA（1 1，2 2），），AB （1 1）设）设P P（xx ，yy ），则），则 = =OP（xx ，yy ），若点），若点P P在第

25、二在第二象限，象限， x x0 0 且且( (xx , ,yy )=(1,2)+)=(1,2)+tt (3,3), (3,3), 则则 yy 0 0 xx =1+3=1+3tt 1+3 1+3 yy =2+3=2+3tt 2+3 2+3, , tt 0 0 tt 0, 0, ?2?t1（2 2）因为）因为3? ? = =3.OA（1 1，2 2），）， PB?OB?OP（?3-33-3tt ，若四边形若四边形OABPOABP 为平行四边形，则为平行四边形，则 3-3 3-3tt =1 =1 OA?PB. 3-3 3-3tt =2,=2,无解，无解， 四边形四边形 OABPOABP 不可能为平行

26、四边形不可能为平行四边形. . tt ），），3-33-3 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 方法与技巧方法与技巧 1.1.坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形结坐标的引入使向量的运算完全代数化，成了数形结合的载体，也加强了向量与解析几何的联系合的载体，也加强了向量与解析几何的联系. . 2.2.中点坐标公式：中点坐标公式：P P1 1（xx1 1, ,yy1 1）, ,P P2 2( (xx2 2, ,yy2 2),),则则P P1 1P P2 2中点中点x1?x2y1?y2P P的坐标为的坐标为 (,).22 在在ABCABC中，若中，若AA （xx1 1，yy1 1），），BB

27、（xx2 2，yy2 2），）， x1?x2?x3 C C（xx3 3，yy3 3），则），则ABCABC的重心的重心G G 的坐标为的坐标为 (,3y1?y2?y3).3失误与防范失误与防范 1.1.要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式要区分点的坐标与向量的坐标的区别，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中上它们完全一样，但意义完全不同，向量的坐标中同样有方向与大小的信息同样有方向与大小的信息. . 2.2.在处理分点问题比如碰到条件在处理分点问题比如碰到条件“若若 P P是线段是线段ABAB 的分的分点，且点，且| |PAPA |=2|=2|PBPB |”|”时，时

28、，P P可能是可能是ABAB 的内分点，也的内分点，也可能是可能是ABAB 的外分点，即可能的结论有：的外分点，即可能的结论有： AP?2PB . 或或 AP? ?2PB .3.3.数学上的向量是自由向量，向量数学上的向量是自由向量，向量x=(=(aa , ,bb ) )经过平移经过平移后得到的向量的坐标仍是（后得到的向量的坐标仍是（aa , ,bb ）. . 定时检测定时检测 一、选择题一、选择题 1.1.（20092009湖北文，湖北文，1 1）若向量若向量aa =(1,1),=(1,1),bb =(-1,1), =(-1,1), cc =(4,2),=(4,2),则则cc = = A.3

29、 A.3aa + +bb C.- C.-aa +3+3bb （ B ） B.3B.3aa - -b b D.D.aa +3+3b b 解析解析 设设cc = =xx aa + +yy bb , ,则则(4,2)=(4,2)=xx (1,1)+(1,1)+yy (-1,1), (-1,1), 4= 4=xx - -yy , , xx =3. =3. 故故cc =3=3aa - -bb . . 2= 2=xx + +yy . . yy =-1. =-1. 2.2.若若aa =(2cos=(2cos 且且aa bb ，则，则tan tan ?,1),1),bb =(sin ,1), =(sin ,1

30、), ? 等于等于 A.2 A.2 （ A ） 11B. B. C.-2 C.-2 D. D. ?22 解析解析 aa bb ，2cos2cos ?1=sin1=sin ?. .tantan ?=2. =2. 3.3.已知向量已知向量aa =(1,2),=(1,2),bb =(0,1),=(0,1),设设uu = =aa + +kk bb , ,vv =2=2aa - -bb ，若，若 uu vv ，则实数，则实数kk 的值为的值为 A.-1 A.-1 1B. B. ?22 （ B ） D.1 D.1 1C. C. 解析解析 uu = =（1 1，2 2）+ +kk （0 0，1 1）= =（

31、1 1，2+2+kk ），）， vv = =（2 2，4 4）- -（0 0，1 1）= =（2 2，3 3），又），又uu vv ， 1 1 13=23=2（2+2+kk ），得），得kk = . = . ?24.4.（20092009重庆文，重庆文， 4 4）已知向量已知向量 aa =(1,1),=(1,1),bb =(2,=(2,xx ).).若若aa + +bb 与与4 4bb -2-2aa 平行，则实数平行，则实数xx 的值是的值是 A.-2 A.-2 B.0 B.0 C.1 C.1 D.2 D.2 （ D ） 解解析析 aa + +bb =(3,1+=(3,1+xx ),4),4b

32、b -2-2aa =(=(6,4x-6,4x-2),2),aa + +bb 与与4 4bb - -2 2aa 平行，则平行，则4 4xx -2=2(1+-2=2(1+xx ),),xx =2. =2. 5.5.已知向量已知向量 = = = =（2 2，-1-1），）， = =OA（1 1，-3-3），），OBOC（mm+1+1，mm-2-2），若点），若点AA 、BB 、CC 能构成三角形，则能构成三角形，则实数实数mm应满足的条件是应满足的条件是 A. A.mm-2 -2 C. C.mm1 1 1B.B.mm 2 （ C ） D.D.mm-1 -1 解析解析 若点若点AA 、BB 、CC 不

33、能构成三角形，则只能共线不能构成三角形，则只能共线. . (2 (2AB?OB?OA?，-1)-1)-（1 1，-3-3）=(1=(1，2)2)， AC?OC?OA?（mm+1+1，mm-2-2）- -（1 1，-3-3）= =（mm，mm+1+1）. . 假设假设AA 、BB 、CC 三点共线，三点共线， 则则1 1( (mm+1)-2+1)-2mm=0,=0,即即m=m=1. 1. 若若AA 、BB 、CC 三点能构成三角形，则三点能构成三角形，则mm1. 1. 6.6.已知已知O O为原点，为原点，AA 、BB 是两定点，是两定点， = =aa ， = =bb ，且点，且点OAOBP P

34、关于点关于点AA 的对称点为的对称点为QQ，点，点QQ关于点关于点BB 的对称点为的对称点为RR ，则则 等于等于PR （ ） C A. A.aa - -bb B.2B.2（aa - -bb ） C.2 C.2（bb - -aa ） D D. bb - -a a 解析解析 设设OA = =aa = =（xx1 1，yy1 1），），OB = =bb = =（xx2 2，yy2 2），）， 则则AA （xx1 1，yy1 1），），BB （xx2 2，yy2 2）. . 设设P P（xx ，y y），则由中点坐标公式可得），则由中点坐标公式可得 QQ（2 2xx1 1- -xx ,2,2yy1

35、1- -yy ）, ,RR (2(2xx2 2-2-2xx1 1+ +xx ,2,2yy2 2-2-2yy1 1+ +yy ). ). (2 (2PR?OR?OP?xx2 2-2-2xx1 1,2,2yy2 2-2-2yy1 1) ) =2( =2(xx2 2, ,yy2 2)-2()-2(xx1 1, ,yy1 1),),即即 =2 =2PR（bb - -aa ）. . 二、填空题二、填空题 7.7.（20092009广广东东理理，1010）若若平平面面向向量量aa ，bb 满满足足(-1,1) (-1,1) | |aa + +bb |=1,|=1,aa + +bb 平行于平行于xx 轴，轴

36、，bb =(2=(2，-1),-1),则则aa = = 或（或（-3-3 ，1 1） . . 解析解析 | |aa + +bb |=1,|=1,aa + +bb 平行于平行于xx 轴，故轴，故aa + +bb =(1,0)=(1,0)或或（-1-1，0 0）,aa =(1,0)-(2,-1)=(-1,1)=(1,0)-(2,-1)=(-1,1)或或aa (-1,0) (-1,0) - -（2 2，-1-1）= =（-3-3，1 1）. . 8.8.已知向量已知向量aa =(2=(2xx +1,4),+1,4),bb =(2-=(2-xx ,3),3)，若，若aa bb ，则实数，则实数1xx

37、的值等于的值等于 2. . 1 解析解析 由由aa bb 得得3(23(2xx +1)=4(2-+1)=4(2-xx ),),解得解得xx = . = . 29.9.已知向量集合已知向量集合 M M =aa | |aa = =（1 1，2 2）+ + ?（3 3，4 4），）， （4 4，5 5），）， ?R ，NN =bb | |bb = =（-2-2，-2-2）+ +?R ，(-2,-2) (-2,-2) 则则M M NN = . = . 解析解析 由由(1,2)+ (1,2)+ ?2 2(4,5), (4,5), ?1 1(3,4)=(-2,-2)+ (3,4)=(-2,-2)+ ?1?

38、3?1? ?2?4?2?1? ?1 得?，解得?,2?4? ?2?5?0122? M M NN =(-2,-2). =(-2,-2). 三、解答题三、解答题 10.10.已知已知AA (1,-2),(1,-2),BB （2 2，1 1），），CC （3 3，2 2），），DD （-2-2， 3 3），以），以 AB， AC为一组基底来表示为一组基底来表示 AD? . . BD?CD 解解 =(1 =(1AB，3)3)，AC =(2 =(2，4)4)，AD =(-3 =(-3，5)5)， = =BD（-4-4，2 2），），CD = =（-5-5，1 1），）， AD ?BD?CD?（-3-3，5 5）+ +（-4-4，2 2）+ +（-5-5，= =（-12-12，8). 8). ）1 1根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对根据平面向量基本定理，必存在唯一实数对mm, ,n n 使得使得 AD?BD?CD?m