高等数学课件：3-9 曲率

1、 高等数学（上）高等数学（上）第五节第五节 曲率与曲率圆曲率与曲率圆一、弧微分一、弧微分 设设 在区间在区间 ( a , b ) 内具有连内具有连续导数，续导数， 为曲线上固定一点为曲线上固定一点. .)(xfy ),(000yxM 规定：依规定：依 增大的方向作为曲线的正向增大的方向作为曲线的正向. .x为曲线上的任一点为曲线上的任一点. .),(yxM令令)(0 xSMMS xy0M0 xxMxx M 有向弧段有向弧段：与曲线方向一致时：与曲线方向一致时 为正；当与曲线方向相反时为正；当与曲线方向相反时 为负，故为负，故 为为 的单调增函数的单调增函数SSxS 高等数学（上）高等数学（上）

2、 MMMMMMS00考虑考虑于是于是 22222xMMMMMMxMMxS 2222xyxMMMM 令令x0, 得得xy0M0 xxMxx M221)(yxs 高等数学（上）高等数学（上）由规定由规定所以所以2)(1)(xfxS 或或dxxfdS2)(1 （弧微分公式）（弧微分公式）0)( xs 高等数学（上）高等数学（上）二、曲率及其计算公式曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量量1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度越弧段弯曲程度越大切线转角越大大切线转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1、曲率的定

3、义曲率的定义1 )弧段弯曲程度与切线转角成正比，弧段弯曲程度与切线转角成正比，与弧与弧 高等数学（上）高等数学（上） S ) .M .MC0Myxo.sKMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（设曲线设曲线C 是光滑的，是光滑的，.0是基点是基点M,sMM （. 切切线线转转角角为为MM定义定义sKs 0lim曲线曲线C 在点在点M 处处的曲率的曲率,lim0存在的条件下存在的条件下在在dsdss .dsdK 问题：曲率的定义是否合理？考察常见图形：直线，圆。问题：曲率的定义是否合理？考察常见图形：直线，圆。 高等数学（上）高等数学（上）2、曲率的计算公式曲率的计算公式问题问题 (1) 直线的

4、曲率处处为零直线的曲率处处为零; ;(2) 圆上各点处的曲率处处相等圆上各点处的曲率处处相等. .,)(二二阶阶可可导导设设xfy ,tany ,12dxyyd .)1(232yyk ,arctan y 有有.12dxyds ?0 直直k?常数常数圆圆 k例例 求函数求函数 的曲率的曲率. .bkxy 高等数学（上）高等数学（上）,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx .)()()()()()(2322ttttttk ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 例例 求半径为求半径为R R的圆上任一点处的的曲率的圆上任一点处的的曲率. .Rk1 圆圆 高等数学

5、（上）高等数学（上）232222)(2rrrrrrK sin)(cos)(ryrx令令率公式立得。率公式立得。 高等数学（上）高等数学（上）MD三、曲率圆与曲率半径k1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲曲率率半半径径 定义定义 高等数学（上）高等数学（上）1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数点处的曲率互为倒数. .1,1 kk即即注意注意: :2.曲线上一点处的曲率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大, ,曲线在曲线在该点处的曲率越小该点处的曲率越小( (曲线越平坦曲线越平坦););曲率曲率半径越小半径越小, ,曲率越大曲率越大( (曲线越弯曲曲线越弯曲)