北京市海淀区高三数学一模理科试题及答案

1、海淀区高三年级第二学期期中练习学(理科)2018.4本试卷共4页，150分,考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无 效.考试结束后，将答题纸交回第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。(1)已知集合/=0,8=xl-lo<2,且/2次 则。可以是(B) 0(D) 2(2)已知向量。=(1,2), “(-1,0),则(AX-U2)(3)执行如图所示的程序框图，输出的5值为(A)2(08(B) 6(D) 10(D)(l,4)(4)如图，网格纸上小正方形的边长为1,若四边形48co及其内 部

2、的点组成的集合记为且如，切为M中任意一点，则y-x的最大值为(A) 1(0-1(B) 2(D) -2(5)已知明 6为正实数，m %>i, b>r是“原+吸>0”的(A)充分而不必要条件(C )充分必要条件(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件高三年级(数学-理科)第1页(共4天)(6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转 动，用垂直于竖直墙面的水平光线照射，该正方体在竖直墙面 上的投影的面积记作S,则S的值不可能是 (A)l勺5 (C)l(D)l32(7)下列函数/(x)中，其图象上任意一点P(x, y)的坐标都满足条件 y <1x1的函数

3、是(A)/(x) = ?(B)/(x) = 6(C)/(x) = er-l(D)/(x) = ln(x+l)(8)已知点W在例G：(x-1尸+(M尸=1与 点N在圆GG+»+仅+1)匕上，则下列说法错误的是(A )苏赤的取值范圉为-3-272, 0(B )OM +苏附取值范围为0,2(C)|加一百|的取值范围为272-2, 275+2(D)若凉一苏，则实数4的取值范围为-3-24, -3+诩第二部分(非选择题，共11所)二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)复数.1+1x1(10)已知点(2,0)是双曲线C： -/= 1的一个顶点,则C的离心率为. ax 5 2z*x =

4、2 + cos09(11)直线(，为参数)与曲线,0(。为参数)的公共点个数为.y = /y = sin&IT(2)在4疑0中，若 c = 2, a = 73, LA - - % 则 §inC = cos2C =.6(13)一次数学会议中，有五位教师来自4 B, C三所学校,其中4学校有2位，8学校有2位, C学校有1位.现在五位教师排成一排照相，若要求来自同一所学校的教师不相邻，则共有种不同的站队方法.x, xNa,(14)设函数/(4) = /-3x, x< a.若/(X)有两个零点，则实数a的取值范围是；若a W -2,则满足/(x) +/(x-l)>-3的

5、x的取值范围是高三年级(数学-理科)第2页(共4页)三、解答跑共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （15）（本小题13分）已知/（x） = 273 sinxcwx + 2cos2r - 1.（i）求“n的值；（n）求的单调递增区间.（16）（本小题13分）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒 繁殖和传播.科学测定,当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传 播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度.第季度第二季度第三季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地

6、54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%h%（1 ）从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖 和传播的概率；（n）从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空 气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X求X的分布列；（UI ）若+方=108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的最大 值和最小值.（只需写出结论）（17）（本小题14分）已知三帔锥P-/18C （如图1）的平面展开图（如图2）中，四边

7、形为边长为的正方 形，48E和ABC/均为正三角形.在三棱锥尸-48C中：（I ）证明：平面以CJL平面4C;（口 ）求二面角A-PC-B的余弦值；（HI）若点M在棱PC上，满足上=L 2E2，点N在棱BP上,且CPL3 3求”的取值他围.图1甫三年级（数学-理科）第3页（共4页）(18)(本小题13分)已知函数/二上二.x + a(I )当=0时，求函数/的单调递增区间；(U )当 > 0时,若函数/3)的最大值为；，求。的值.(19)(本小题14分)已知椭圆C：+A= 1 (gb>0)的离心率为之 且点犯1)在椭圆。上.设与OT平行的 / b2直线/与椭圆C相交于P,。两点，直

8、线7P, 7。分别与工轴正半轴交于M, N两点.(I )求椭恻C的标准方程；，(II)判惭Qm|+|oM的值是否为定值，并证明你的结论.(20)(本小题13分)Ia.l。1.2 a.n !阪I幺2in1是由1，2, 3,，”2组成的行力列的数表(每个数恰 d.l q.2 %”好出现一次)，”4 2且“£ N：若存在1 WtW，1使得知既见第，行中的最大值，也是第_/列中的最小值，则称数表/为一个“N-数表”，为数表 4 的一个“N-值”.对任意给定的，所有“N-数表”构成的集合记作Q.(I)判断下列数表是否是“N-数衣”.若是，写出它的一个“N-值”12 3(14 7/二)4 5 6

9、 ,8“ 8 2 5 » 7 8 9'6 9 3(II )求证：若数表4是“N-数表”,则4的“N-值”是唯一的； (111 )在Q中随机选取一个数表乂，记力的“N-值”为X,求X的数学期望风.高三年级(数学-理科)第4页(共4页)海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理）参考答案与评分标准一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案CADBADDB二、填空题共6小题，每小题5分，共30分题号91011121314答案1 i诬22731T348(73,73x 1注：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2

10、分三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。15.（本题满分13分）(I)f (-)2 .3sincos 6622cos 一 62 3分(n) f(x) x3sin 2x cos2x2sin(2 x ) 6因为函数y sinx的单调递增区间为 2k-,2k ( k Z),令 2k 2x 2k ( k Z ),解得 k x k (kZ)36故f(x)的单调递增区间为k ,k (k Z) 13分3616.(本题满分13分)(I )设事件A:从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气 月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用A表示事件抽取的月份为第i月，则A, A2, A3, A4, A

11、5, A6, A7, As, A9, A10, A11, A12共 12 个基本事件,A AzAAAAoAi共6个基本事件, 所以，P(A) 162 2. 4分(n)在第一季度和第二季度的 6个月中，甲、乙两地 空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有 2月和6月，故X所有可能的取值为0, 1, 2.115C：62C；C：8C；P(X。)C2 « g, P(X 1)京帝 P(X 2)C 666随机变量X的分布列为X012P28151515(田)M的最大值为58%,最小值为54%. 13分17.(本题满分14分)(I )方法1 ：CP设AC的中点为O,连接BO, PO.由题意

12、PA PB PC 应，PO 1, AO BO CO 1因为在PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为 在 POB 中，PO 1 , OB 1 , PB 72所以PO OB因为 AC I OB O, AC,OB 平面 ABC所以PO平面ABC因为PO 平面PAC 4分所以平面PAC 平面ABC方法2:CPB设AC的中点为O,连接BO, PO.因为在PAC中，PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为 PA PB PC , PO PO PO , AO BO CO所以 POA© POB© POC所以 POA POB POC 90所以PO OB因为 AC I

13、 OB O, AC,OB 平面 ABC所以PO平面ABC因为PO 平面PAC 4分所以平面PAC 平面ABC方法3:设AC的中点为O,连接PO,因为在 PAC中，PA PC,所以PO AC设AB的中点Q,连接PQ, OQ及OB.因为在OAB中，OA OB, Q为AB的中点所以OQ AB.因为 在 PAB中，PA PB, Q为AB的中点所以PQ AB .因为 PQI OQ Q, PQ,OQ 平面 OPQ所以 AB平面OPQ因为 OP 平面OPQ所以 OP AB因为 ABI AC A, AB, AC 平面 ABC所以PO 平面ABC因为PO 平面PAC所以平面PAC 平面ABC13 13(n)由

14、PO平面ABC , OB AC ,如图建立空间直角坐标系，则O(0,0,0) , C(1,0,0), B(0,1,0), A( 1,0,0), P(0,0,1) 由OB 平面APC ,故平面APC的法向量为 Our (0,1,0),uuruur由 BC (1, 1,0) , PC (1,0, 1)设平面PBC的法向量为rn (x,y,z),则unr由n Bur 0得:令 x 1 ,得 y 1 , z 1(1,1,1)r uurr uuu n ob cos n,OB uuur|n| |OB|（田）18.(I)由二面角A PC B是锐二面角,所以二面角A PCB的余弦值为与uur 设BNuuuu

15、BMuur ANuuuBPuuir BCuur AB入 uuur 令BM得（1所以uuuu CMuuir BNuurBCuur AB1,则uuuCPuuu BP(1, 1,0)(1,1,0)(0,1,0,1) (1, 1,)1,1) (1,1uurAN(1) (11 23,3 时，BN J2L,-BP 4 5（本题满分13分）a 0时,f(x)的单调递增函数,故 f'(x) *ln x14分1xln x1 ln x2x2x令 f '(x) 0 ,得 0 x e故f（x）的单调递增区间为（0,e）(n)方法 1 ： f 1(x)x aa .In x 1 一 In xx x22(x

16、 a) (x a)令 g(x) 1 a In x x则 g'(x)-2 -二 0x x x由 g(e)a 0, g(ea1) 1 -ar (1 a) a (4t 1) 0 eeea 1.故存在 x0 (e,e ) , g(x0) 0)时，g(x) 0故当 x (0,x0)时，g(x) 0;当 x (%,x（0,x。）x0(x0,)f '(x)0f(x)/极大值故 f (x0) ! eXo ln XoXo aln Xo1 e2Xoe13分故a的值为e2.(n)方法2: f(X)的最大值为的充要条件为对任意的x (o,)，上二且存在 ex a eIn x 1、一一Xo (o,),使

17、得一-三，等价于对 任意的X (o,), a e2inx x且存在xo a eXo (o,),使得 a e2 in Xo Xo,等价于g(x) e2 in x x的最大值为a.2eQ g'(x) - 1 , X令 g'(x) o,得 X e2.X(o,e2)2 e(e2,)g'(x)og(x)/极大值故 g(x)的最大值为 g(e2) e2in e2 e2 e2,即 a e2. 13分(19)(本小题14分)41a2 b2(I )由题意222a bc ,c3e a 2解得：a 2 2 , b 2 , c .6故椭圆C的标准方程为2 5 1 5分(n)假设直线TP或TQ的

18、斜率不存在，则 P点或Q点的坐标为(2, 1),直线l的方程为 y 1 2(x 2),即 y 2x 2 .联立方程2 y21一 x21，得 x2 4x 4 0,2此时，直线l与椭圆C相切，不合题意故直线TP和TQ的斜率存在.方法1：设 P(Xi, yi) , Q(X2, y2),则y11直线 TP：y 1 J(x 2), x( 2 y2 1直线TQ：y x2 t 1 3(x 2)414分故|OM | 2 也，|ON|y1 1x2 2y2 111由直线OT：y £x,设直线pQ：y -x t (t 0)联立方程,2_ 2x 2tx 2t4 0当 0时，x1x22t , x1 x22t2

19、 4|OM| |ON14" xn)X 21 x1 t 12x2 2g (t 2)(x1 x2)4(t 1)24x1x2 2(t 1)(x1x2) (t 1)2t2 4 (t 2)( 2t) 4(t 1)1212-(2t4) -(t 1) ( 2t) (t 1)42方法2:设P（为，yi）, QU*）,直线TP和TQ的斜率分别为匕和k2,11由OT：y 4,设直线pQ：y r t（t0）联立方程,2i-x2ix22tx 2t2 4 0t当 0时，x1x22t , x1 x22t2 4yiiy ix1 2x2 2ixi t i2xi 2i x2 t i2x2 2xix2 (t 2)(xi

20、x2)4(t i)(xi2)(x22)_ 2_2t 4 (t2)( 2t) 4(t i)(xi2)(x22)0故直线TP和直线TQ的斜率和为零故 TMN TNM故 TM TN故T在线段MN的中垂线上，即MN的中点横坐标为214分故 |OM| |ON| 420. (本题满分13 分)(1) A是“ N数表”，其“ N值”为3, B不是“ N数表”.3分(n)假设ai,j和ai',j,均是数表A的“ N值”， 若 i i ' ，则ai,jmaxai,1,ai,2,., ai,nmax ai',1,ai',2,., ai',n ai',j' ；

21、 若 j j' ，则ai,jmina1,j,a2,j,.,an,j mina1,j',a2,j',.,an,j'ai',j' ；若i i', j j',则一方面ai,jmaxai,1,ai,2,., ai,nai,j' min a1,j',a2,j',., an,j'ai',j' ，另一方面ai',j'maxai',1,ai',2,., ai',nai',j min a1,j,a2,j,., an,jai,j ；矛盾 . 即若数表 A

22、是“ N 数表”，则其“ N 值”是唯一的 . 8 分1：对任意的由1, 2, 3,，361组成的19行19列的数表A ()1919.定义数表B (",)9 19如下，将数表A的第i行，第j列的元素写在数表B的第j行,第i列，即bj,i ai,j （其中 1 i 19 ， 1 j 19）显然有： 数表B是由1, 2, 3,，361组成的19行19列的数表 数表 B 的第 j 行的元素，即为数表A 的第 j 列的元素 数表 B 的第 i 列的元素，即为数表A 的第 i 行的元素 若数表A中，2是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值 则数表B中，bj,i是第i列中的最大值，也是第j行中的最小值.定义数表C （Cj,i）19 19如下，其与数表B对应位置的元素的和为362,即cj,i 362 bj,i （其中1