高等数学课件：3 三重积分的计算-1

1、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系1三重积分的计算三重积分的计算化三重积分为累次积分柱面和球面坐标下三重积分的计算2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2.),)(,(,Mzyx求求上上连连续续在在体体密密度度为为域域设设有有一一物物体体占占有有空空间间区区 实例实例:不均匀物体的质量问题不均匀物体的质量问题xyzoiv),(iiizyx一、三重积分的定义一、三重积分的定义解解将物体分割成若干小块，将物体分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀物体，则看作均匀物体，则 iiiiivzyxM ),( niiiiivzyxM10),(lim 物体的质量物

2、体的质量M2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3 dvzyxfzyxf),(,),(记记上上的的三三重重积积分分在在称称此此极极限限值值为为 极极限限作作和和式式作作乘乘积积任任取取个个小小区区域域为为任任意意分分割割上上的的有有界界函函数数有有界界闭闭区区域域是是设设niiiiiniiiiiiiiiiiiinvzyxfvzyxfvzyxfvzyxvvvnzyxf10121),(lim)4(),(:)3(),(),()2(,:)1(.)(),( 的任意取法的任意取法分法及点分法及点对任意的对任意的体体积积元元素素积积分分区区域域被被积积函函数数其其中中，dvzyxf ),(,max2

3、1niddd 定义定义2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4 niiiiivzyxfdvzyxf10),(lim),( 即即)(),(),(可可积积上上的的三三重重积积分分在在上上连连续续在在若若 zyxfzyxf.),(:物物理理意意义义实实例例可可写写成成 dvzyxM !,这这里里不不重重复复仍仍然然成成立立于于三三重重积积分分二二重重积积分分的的五五条条性性质质对对vdvdvzyxf 11),(,时时当当特别特别定理定理注2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5, 的平面来划分的平面来划分用平行于坐标面用平行于坐标面在直角坐标系中，如果在直角坐标系中，如果.lkjiz

4、yxv 则则三三重重积积记记为为 dxdydzzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .积元素积元素叫做直角坐标系中的体叫做直角坐标系中的体其中其中dxdydz2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6二、三重积分的计算二、三重积分的计算 ) )转转化化成成三三次次定定积积分分( (将将: :方方法法1 1先先一一后后二二dxdydzdvdvzzyyxx 是是小小长长方方体体体体积积体体积积元元素素许许多多小小区区域域分分成成把把用用三三组组平平面面000, dxdydzzyxfdvzyxf),(),(2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7xyzo D1z2z2S1S

5、),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿出穿出穿入，从穿入，从从从21zz函数，则函数，则的的只看作只看作看作定值，将看作定值，将先将先将zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF

6、,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx于两点情形于两点情形相交不多相交不多的边界曲面的边界曲面直线与闭区域直线与闭区域内部的内部的轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz )(2xyy abD)(1xyy 注2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9其中 为三个坐标例例1. 计算三重积分,dddzyxx12zyx所围成的闭区域 .1xyz121解解:zyxxddd)1(01021d)21 (dxyyxxxyxz210d1032d)2(41xxxxyxz210)1(021x

7、y10 x )1(021dxy10d xx481面及平面2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10解解由由 22222xzyxz, 得得交交线线投投影影区区域域, 122 yx2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11故故 ： 22222221111xzyxxyxx,.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxd

8、yzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14abbzaDyxz),(:xyzvzyxfd),(baZDyxzyxfdd),(ZDbayxzyxfzdd),(dzzD ( , , )d dzDzf x y zxyzd记作2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17 zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原式原式