高等数学课件：3 向量的坐标

1、3 向量的坐标向量的坐标向量在轴上的投影与投影定理向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系3ouAB1轴同方向的单位向量，轴同方向的单位向量，是与是与设设ue.)(eABA

2、B 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系4证证,1uOA 例例 1 1 在在u轴上取定一点轴上取定一点o作为坐标原点设作为坐标原点设BA,是是u轴上坐标依次为轴上坐标依次为1u, 2u的两个点，的两个点，e是与是与u轴轴同方向的单位向量，证明同方向的单位向量，证明euuAB)(12 .,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同理，同理，OAOBAB 于是于是

3、2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系5空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系6空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的

4、投投影影.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系7空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在在轴轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那那么轴么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的的值，称为向量在轴值，称为向量在轴u上的投影上的投影.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系8ABjuPr.BA 向量向量AB在轴在轴u上的投影记为上的投影记为关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影等等于于向向量量的的模模乘乘以以轴轴与与向向量量的的夹夹角角的的余余弦弦：ABjuPr co

5、s| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系9定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系10关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB

6、CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系11二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标1M1P2M2P上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系12如果如果e是与是与u轴正向一致的单位向量，轴正向一致的单位向量，.)(12euu 设设a是是以以),(1111zyxM为为起起

7、点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各各作作垂垂直直于于三三个个坐坐标标轴轴的的平平面面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 212007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系13xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxM

8、M)()()(12121221 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系14kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系15向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxba

9、bababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系16解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为两已知为两已知点，而在点，而在AB直线上的点直线上的点M分有向线段分有向线段AB为为两部分两部分AM、MB，使它们的值的比等于某数，使它们的值的比等于某数)1( ，即，即 MBAM，求分点的坐标

10、，求分点的坐标.ABMxyzo2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系17由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为中点时，为中点时，,221xxx ,221yyy .221zzz 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系18非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M

11、 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系19xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系200222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向

12、余弦的坐标表示式2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系211coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系22例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系2

13、3例例 4 4 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.解解设向量设向量21PP的方向角为的方向角为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系24.32,3 设设2P的坐标为的坐标为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的坐标为

14、的坐标为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系25例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系26向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向

15、量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系27思考题思考题 设设jim ，kjn 2，求以向量，求以向量nm,为边的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系28思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度各各为为11, 3.mn2007年8月南

16、京航空航天大学 理学院 数学系29练练 习习 题题4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a则则_；2007年8月南京航空航天大学 理学院 数学系30 0b= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为