小学奥数771容斥原理之重叠问题一专项练习及答案解析

1、一） 7-7-1. 容斥原理之重叠问题教学目标1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；知识要点掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算求两个集合并 集的元素的个数， 不能简单地把两个集合的元素个数相加， 而要从两个集合个数之和中减去重复 计算的元素个数， 即减去交集的元素个 （ ，相当于中文 “和”或者“或”的数， 用式子可表示成： 读作“并”其中符号“ BAB A B A则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原” 读作“交”，相当于中文 “且”的意思 ）意思；符号“，即阴影表示大圆部分，表示大圆与小圆的公共部分，记为：理图示

2、如下: 表示小圆部分，BACBA，即阴表示大圆与小圆的公共部分，记为：表示小圆部分，表示大圆部分，: 面积图示如下 BACBA影面1 先包含 B A 重叠部分计算了次，多加了次；1BA2再排除 2B A AB次的重叠部分减去把多加了1BA的元素的个数， 可分以下两步进行： 包含与排除原理告诉我们， 要计算两个集合的并集 BABA 、的一切元素都“包含”意思是把（第一步：分别计算集合的元素个数，然后加起来，即先求B、BA、AB A ） ；进来，加在一起 （ 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去意思是“排除”了重复计算的元素个数）BAC二、三量重叠问题 类又是既是类元素的个数类元素个数类

3、元素个数类与类、类元素个数的 总和 CC BB B AAA 类类、同时是类、类的元素个数既是类又是类的元素个数既是类又是类的 元素个数 CCCBABA 图示如下： 的元素个数 用符号表示为： CBAC A C AB BC ABC AB先再排除：2C A ABBCABC的元素的个数，图中小圆表示的元素的个数，中圆表示 BA 大圆表示的元素的个数 C 1 包含： C A B 次次，、重叠了多加了重叠部分、 1ACBCBA 2次，但是在进行重叠部分重叠了 CAB CBA 3计算时都被减掉了 CC ABAB 3再包含： CCA ABB AB CAB C来帮助分析思考 （ 在解答有关包含排除问题时，我们

4、常常利用圆圈图韦恩图） 1ofpage 8 教师版 题库 . 容斥原理之重叠问题（一） 1-7-7例题精讲两量重叠问题小明喜欢：踢足球、上网、游泳、音乐、 语文、数学； 小英喜欢：数学、英语、 音乐、陶艺、跳 】用圆分别表示小明、小英的爱好，如图所示，则图中阴影部分表【题型】填空【难度】 1 星【考点】两量重叠问题3 题【关键词】希望杯，四年级，二试，第阴影部分是两人都爱好的：数学、音乐 【解析】【答案】数学、音乐；当从右向左报数时， 18 四（ 1）班全体同学站成一排，当从左向右报数时，小 华报： 2】【例名。13. 那么该班有学生 小华报： 【题型】填空 1星 【考点】两量重叠问题 【难度

5、】 题【关键词】希望杯，四年级，二试，第 2 。班学生人数为： （名）该 【解析】 30 13 1 18 名【答案】 30CAB人两个人， 有实验小学四年级二班， 参加语文兴趣小组的有人， 参加数学兴趣小组的有 3】 【例292812 小组都参加 这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【题型】解答 【难度】 1 星【考点】两量重叠问题重合的部圆表示参加数学兴趣小组的人，与如图所示，圆表示参加语文兴趣小组的人， 【解析】 BBAA 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组 ） 表示同时参加两个小组的人 图中分 （阴影部分 CA 圆不含阴影的部分表示只参 加数学兴趣小；图中 （人）未参加数学兴趣小

6、组的人，有 1612 28 B 人 ）（ 组未参加语文兴趣小 组的人，有 17 12 29 ） （ 方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有： 人 4517 16 12 方 法二：根据包含排除法，直接可得： 两个小组都参加的人，参加语文或数学兴趣小组的人参加数学兴趣小组的人参加语文兴趣小组的人人 ）（ 即： 45 291228 人【答案】 45人学画画，【巩固】 芳草地小学四年级有题库. 容斥原理之重叠问题（一）人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画人学钢琴，教师版375843 画的分别有多少人？ 2ofpage1-7-7ABC【题型】解答星 【考点】两量重叠问题 【难度】 1 包含与排除题

7、，画图是一种很直观、 简捷的方法，可以帮助解决问题，画图时注意把不同的对解 【解析】象与不同的区域对应清楚建议教师帮助学生画图分析，清楚的分析每一部分的含义圆不含 阴影的表示既学钢琴又学画画的人，图中圆表示学画画的人，圆表示学钢琴的人，如图， CAAB 圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人， 有：，图中人 ）部分表示只学画画的人， 有：（ 637 43 B ）（ 人 2137 58 【答案】人 21写完数学作业的有写完语文作业的有人， ）班有名学生， 在一节自习课上， 四（二 【巩固】 3048 人，语文数学都没写完的有人 620 问语文数学都写完的有多少人？ 只写完语文作业的有多少人？ 【题型】

8、解答【难度】 1 星【考点】两量重叠 问题至少完成了一科作业，根据包含排除原理，两科作业都完成的学生人 ） 由题意，有 （ 【解析】 42 48 6 （有：人 ）830 20 42 （人） 只写完语文作业的人数写完语文作业的人数-语文数学都写完的人数，即 22 308 人【答案】 22人，则这个班既会 2830人，会拉小提琴的有（ 1）班有 46 人，其中会弹钢琴的 有四 【巩固】 人。弹钢琴又会拉小提琴的至少有【题型】填空星 【考点】两量重叠问题 【难度】 1 题【关键词】希望杯，四年级，二试， 第 6 46-34=12 人那么两项都会的至少有至少一项不会的最多有 （46-30）+（46-2

9、8）=34, 【解析】【答案】人 12AB【题型】 填空 1 星 【考点】 两量重叠问题 【难度】 题【关键词】 希望杯， 四年级， 二试， 第 4BA45 30，15 整除的数，即 15，50 到 50 这个自然数中能被 3×5【解析】 阴影部分是和 1 共有的，即 ，【答案】 154530其中同学们踊跃报名参加， 学校为了丰富学生的课余生活， 组建了乒乓球俱乐部和篮球俱乐部， 】【例 5人既报人报名参加了篮球俱乐部，但学校最后发现有 50 人报名参加乒乓球俱乐部，有 321429 人什么俱乐部都没报名， 问该学校 名参加了乒乓球俱乐部， 又报名参加了篮球俱乐部， 还有 23 名

10、学生共有3ofpage 8 教师版题库. 容斥原理之重叠问题（一） 1-7-7【题型】填空 1星 【考点】两量重叠问题 【难度】 题4年级，第 5【关键词】 学而思杯， 人 【解析】 72323 429 50 321 人【答案】 723这人两个小组都参加了 人，有人， 某班共有人， 参加美术小组的有参加音乐小组的有 【例 6】 5234612 个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？ 【题型】 解答星 【考点】两 量重叠问题 【难度】 1 知全班总人数，从反面思考，找出参加美术或音乐小组的人数，只需 用全班总人数减去这个人已 】 【解析 数，就得到既没参加美术小组也没参加音乐小组的人数

11、 根 据包含排除法知，该班至少参加了一是数的人音乐小组该班未参加美术或，人个小组的总数为（人）所以 305 12 23 ） （人16 46 30 【答案】人 16 人两项比人参加了数学竞赛， 人参加了作文比赛，四年级一班有人，其中 【巩固】 26451222 赛都参加了一班有多少人两项比赛都没有参加？ 【题型】 解答 【难 度】 1星【考点】两量重叠问题，所以，两项比赛都没有人） 由包含排除法可知，至少参加一项比赛的人数是： （【解析】 36 26 22 12 ） 参加的人数为： （人945 36 人【答案】 9 人，两种都能表演的有 18 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10 人，能

12、表演跳舞的有【巩固】人这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？7 【题型】解答 1 星 【考点】两量重叠问题 【难度】 人 ）（ 【解析】 根据包含排除法，这个表演队能登台表演歌舞的人数为： 21 18 710 人 【答案】 2114 人有直尺，有三角板的人中，男生是个学生，每人恰有三角板或直尺中的一种，287】 全班50【例人。人，那么有直尺的女生有 人，若已知全班共有女生 31 【题型】填空 1【考点】两量重叠问题 【难度】星 8 题【关键词】华杯赛，初赛，第 （人）。，那么有直尺的女生有 31-8=23 其中女生有三角板的学生共 50-28=22 （人），22-14=8 （人）【解析】【答案

13、】人 23人人做对， 第二部分有 某次英语考试由两部分组成， 结果全班有 人得满分， 第一部分有 8【例 】 192512 有错，问两部分都有错的有多少人？只做对两部只做对第一部分全第二部分的对的分的两部分都有错的【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示参加考试的人数，圆表示第一部分对的人数圆表示第二部分对的人数， BA 长方形中阴影部分表示两部分都有错的人数 已知第一部分对的有人，全对的有人，可知只对第一部分的有：（人） 又因为第二部分有13 25122512 人有错，其中第一部分对第二部分有错的有人，那么余下的（人） 必是第一部分和第二部分 619

14、1319 13 均有错的，两部分都有错的有人6【答案】人 64pageof 8 教师版 题库 . 容斥原理之重叠问题（一） 1-7-7例 9 】 对全班同学调查发现，会游泳的有人，会打篮球的有人两项都会的有人，两项都不会 102520 的有人这个班一共有多少人？两项会游会打都会泳的篮球的的两项都不会的【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全班人数，圆表示会游泳的人数，圆表示会打篮球的人数，长方 形中阴 BA 影部分表示两项都不会的人数由图中可以看出， 全班人数至少会一项的人数两项都不会的人数， 至少会一项的人数为： （人） ， 全班人数为： （ 人）

15、449 3535 1020 25 【答案】人 44【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有人，参加军棋比赛的有人，有人两项比赛 182832 都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？两项只参加只参加比赛象棋比围棋比都参赛的赛的加的 AB【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 如图，圆表示参加象棋比赛的人，圆表示参加军棋比赛的人，与重合的部分表示同时参 BBAA 加两项比赛的人图中圆不含阴影的部分表示只参加象棋比赛不参加军棋比赛的人， 有 A（ 人） ；图中圆不含阴影的部分表示只参加军棋比赛不参加象棋比赛的人，有1432 18 B（人） 由此得到参加棋类比赛的人

16、有（人） 42 28 18 1018 10 14 或者根据包含排除法直接得： （人） 42 28 1832 【答案】人 42 【例 10】 在人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有人，桃 18746 又没采杏的有人，问：只采了杏的有多少人？既没采樱既采樱桃 AB 又采杏的既没采樱桃又没采杏的【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示全体采摘人员人， 圆表示采了樱桃的人数， 圆表示采了杏的人数 长 46BA 方形中阴影部分表示既没采樱桃又没采杏的人数由图中可以看出， 全体人员是至少采了一种的人数与两种都没采的人数之和， 则至少采了一种的 人数为： 只采了樱桃的人

17、数两种都采了的人数只采了杏的人数，所以，（ 而至少采了一种的人数人） ，40 466 只采了杏的人数为： （ 人） 15 740 18【答案】人 15【例 11】 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中块玻璃不是甲组擦的，块玻璃不是乙组 5268 擦的， 且甲组与乙组一共擦了块玻璃 那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？60【考点】两量重叠问题【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 68 块玻璃不是甲组擦的，说明这块玻璃是乙、丙两组擦的；块玻璃不是乙组擦的，说明这 5268525pageof 8 教师版 题库 . 容斥原理之重叠问题（一） 1-7-7块玻璃是甲、丙两组擦的块因甲乙两组

18、共擦了圆表示甲、丙两组擦的块玻璃如图，用圆表 示乙、丙两组擦的块玻璃， 605268 BA 块玻璃乙组块 ） 丙组擦了玻璃，那么 （块） ，这是两个 丙组擦的玻璃数 （3068 52 60 60 60 230 块） 玻璃擦了： （块） 玻璃，甲组擦了： （2268 30 38 30 52 ） 玻璃，丙组擦了块玻璃。块 ）玻璃，乙组擦了： （ 块【答案】甲组擦了： （3830 6852 30 22 30 幅画不是五年级的，五、幅画不是六年级的，有15】 育 才小学画展上展出了许多幅画，其中有16【例 12 幅画，其他年级的画共有多少幅？六年级共展出 25 甲丙乙 AB【题型】解答星 【考点】两量

19、重叠问题 【难度】 2 幅画不是 1516，通过通过 16 幅画不是 六年级的可以知道，五年级和其他年级的画作数量之和是【解析】1，那也就是说五年级的画比六年级多五年级的可以知道六年级和其他年级的画作数量之和是 1512 幅，六年级画作有幅画，进而可以求出五年级画作有13 幅，我们还知道五、六年级共展出25 幅幅，那么久可以求出其他年级的画作共有 3 幅【答案】 3 人，人，数学得分 分以上的 】 名学生参加数学和语文考试，其中语文得分 分以上的 【例 139595472114 分以上的有多少人？ 人问：两门都在 两门都不在分以上的有 959522 语文两门数 学分9595分95分以上以上以上

20、的的的 AB两门都不在 95分以上的【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答【解析】 如图，用长方形表示这名学生，圆表示语文得分分以上的人数，圆表示数学得分以 959547 BA 上的人数，与重合的部分表示两门都在分以上的人数，长方形内两圆外的部分表示两 门都 95BA 不在分以上的人数 95 由图中可以看出，全体人数是至少一门在分以上的人数与两 门都不在分以上的人数之和，则至少一门 9595 在分以上的人数为： （ 人） 根据包含排除法，两 门都在分以上的人数为： 2547 22 9595（人） 1025 1421 【答案】人 10【巩固】 有位旅客，其中有人既不懂英语又不懂俄语

21、，有人懂英语，人懂俄语问既懂英语831001075 又懂俄语的有多少人？ 【考点】两量重叠问题 【难度】 2 星 【题型】解答 【关键词】迎春杯【解析】 方法一：在人中懂英语或俄语的有：（ 人） 又因为有人懂英语，所以只懂俄语90100 10 10075 的有： （人） 从位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的（ 人）就68158315 83 90 75 是既懂英语又懂俄语的旅客 方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：（人） 6890ABA BAB 75 83【答案】人 686pageof 8教师版题库. 容斥原理之重叠问题（一） 1-7-7人，完成作业的情况有三种： 一种

22、是完成语文作业没完成数学作业； 一种个班一 14】【例 48 是完成数学作业没完成语文作业； 一种是语文、 数学作业都完成了 已 知做完语文人 这些人中语文、 数学作业都完成的有多少人； 做完数学作业的有 作业的有 3742 人？ 【题型】解答【难度】 2 星 【考点】两量重叠问题妨用下图来表示： 析】 不 【解线段表示全班人数，线段表示做完语文作业的人数，线段数学都做完的人数 DC 人，即做完数学作业的有人， 即根 37AC 3742DB 42 ）表示做完数学作业的人数，ACDBAB 重叠部分则表示语文、 据题意，做完语文作业的有 （ 人 79DBAC 37 42 ）（ 人 48AB）, 所

23、以，数学、语文作业都做完的有人 式减式，就有（人 3148 31DC 79 【答案】人 31 人在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定 时科技活动四年级科技活动组共有 【巩固】 63 人，装配好一架飞机比赛中，老师 到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有 42 人每个同学都至少完成了一 项活动问：同时完成这两项活动的模型的同学有 34 同学有多少人？ 【题型】 解答【考点】两量重叠问题【难度】 2 星，所以必有人同时完成了这两项活动由于每个同学都至少完成了一项活因， 【解析】 6376 76 42 34 完成了两项活动 （动，根据包含排除法知， （ 完 成了两项活动的人数 ） 全组人数，即 7

24、634 42 （ 由减法运算法则知，完成两项活动的人数为 人） 也可画图分析的人数 ）1376 63 63 【答案】人 13 老师到时清 科技活动小组有人在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中， 【巩固】 55 人每个同学都至少点发现：制作好一架飞机模型的同学有人，制作好一艘舰艇的 同学有 3240 完成了一项制作问两项制作都完成的同学有多少人？ 2 星【考点】两量重叠 问题 【题型】解答【难度】 ACB 由于每个同学都至少完成了一项制作， ，所以必有人两项制作都完成了 ，【解析】 因为 55 727240 32 完成了两项制作根据包含排除法可知：全组人数完成了两项制作的人数，即7255 40 32 的人数所以，完成了两