变化率与导数

1、创新设计创新设计1.1变化率与导数变化率与导数变化率问题变化率问题导数的概念导数的概念11.111.2内容标准1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵1课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计知识点1函数的变化率 定义 实例 平均速度； 曲线割线的斜率 平均函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为 变化f（x2）f（x1）y，简记作：x x2x1率 函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是瞬时函数f(x)从x到xx的平均变化率瞬时速度：物体在某00变化在 x0 时的极限，即 率 f（x0 x）f（

2、x0）ylim lim ?x?0?x? 0 xx一时刻的速度；切线斜率 2课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【预习评价】若一质点的运动方程为st21，则在时间段1，2中的平均速度是_（2 1）（1 1）解析 v3. 2122答案33课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计知识点2函数f(x)在xx0处的导数?x? 0y函数yf(x)在xx0处的 瞬时变化率 lim xf（x0 x）f（x0）lim 称为函数yf(x)在xx0处xyf(x )或y|的导数，记作 0 x x0 ，即f(x0)limx f（x0 x）f（x0）lim. x?x? 0?x? 0?x? 04课前预习课堂互动课堂反馈

3、创新设计创新设计【预习评价】设f(x)2x1，则f(1)_f（1x）f（1）lim解析 f(1)? x?0 x2（1x）1（211）lim 2. ?x?0 x答案25课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计题型一平均变化率【例1】已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当x越来越小时，函数h(x)在区间1，1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)yh(1x)h(1) 4.9(x) 3.3x， yx4.9x3.3. 26课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计y当x2 时，4.9x3.31

4、3.1； xy当 x1 时，x4.9x3.38.2； y当 x0.1 时，4.9x3.33.79； xy当 x0.01 时，x4.9x3.33.349. (2)当 x越来越小时，函数f(x)在区间1，1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3. 7课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律方法 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量 yf(x2)f(x1) (2)再计算自变量的改变量 xx2x1. yf（x2）f（x1）(3)得平均变化率x. x2x18课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【训练1】求函数f(x)3x22在区间x0，x0 x上的平均变化率，并求当x02，x0

5、.1时平均变化率的值f（x0 x）f（x0）解 函数f(x)3x2在区间x0，x0 x上的平均变化率为（x0 x）x023（x0 x）x222（3x02） 6x0 x3（x）6x03x. x当x02，x0.1 时，函数y3x2 在区间2，2.1上的平均变化率为 6230.112.3. 229课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计题型二物体运动的瞬时速度【例2】一辆汽车按规律s2t23(时间单位：s，位移单位：m)做直线运动，求这辆汽车在t2 s时的瞬时速度解 设在t2 s 附近的时间增量为 t，则位移的增量 s2(2t) 3(22 3)8t2(t) . 222sslimlim(82t)8，

6、因为t82t，?t? 0t?t? 0所以这辆汽车在t2 s 时的瞬时速度为 8 m/s. 10课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律方法求瞬时速度是利用平均速度“ 逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；s(2)求时间t0到t0t之间的平均速度v， ts(3)求limt的值，即得tt0时的瞬时速度 ?t? 011课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【训练2】一质点按规律s(t)at22t1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t1 s时的瞬时速度为4 m/s，求常数a的值解 ss(1t )

7、s(1) a(1t) 2(1t)1(a3) 2a(t) (2a2)t， 2stat2a2. slim在t1 s 时，瞬时速度为2a2，即2a24，a1. ?t? 0t12课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计方向1求函数在某点处的导数【例31】求函数f(x)3x22x在x1处的导数222解 y3(1x) 2(1x)(31 21)3(x) 4x， y3（x） 4xx3x4， xylimlim(3x4)4. y|x=1?x?0 x?x?0213课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计方向2已知函数在某点处的导数求参数1【例 32】 已知函数yaxx在x1 处的导数为 2，求a的值 ?1?1x解

8、ya(1x)?a1?ax， ?1x?1xxax1xy1xa， x1x?1?y?limlim?a1x?a12，从而a1. x?x? 0?x? 014课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计规律方法 求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量 yf(x0 x)f(x0)； yf（x0 x）f（x0）(2)求平均变化率； xxy(3)取极限，得导数f(x0)lim. x?x? 015课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计【训练3】利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解 由导数的定义知，函数在x2 处的导数 f（2x）f（2）2f(2)lim，而f(2x)

9、f(2)(2x) 3(2x)x?x? 0(2 32)(x) x， 22（x） x于是f(2)limlim(x1)1. x?x? 0?x? 02 16课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计课堂达标课堂达标1如果质点M按规律s3t2运动，则在时间段2，2.1中相应的平均速度是()A4B4.122C0.41D3（32.1 ）（32 ）解析 v4.1. 0.1答案B17课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计f（x0h）f（x0）lim2函数f(x)在x0处可导，则?( ) n? 0hA与x0，h都有关 B仅与x0有关，而与h无关 C仅与h有关，而与x0无关 D与x0，h均无关 答案B18课前预习课

10、堂互动课堂反馈创新设计创新设计3若质点A按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为(A6B182)C542D81s3（3t） 33解析 因为 tt18t3（t）slim183t，所以18. tt?t? 02答案B19课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计4若一物体的运动方程为s7t28，则其在t_时的瞬时速度为1.s7（tt） 8（7t8）解析 t7t14t， t1当lim (7t14t)14t1 时，t. 141 答案 14?t? 02220课前预习课堂互动课堂反馈创新设计创新设计5已知函数f(x)x，则f(1)_ f（1x）f（1）解析 f(1)lim x?x? 0limlim ?x? 01x1 x112. 1x1?x?