![高中数学 第一章 空间几何体学案 新人教A版必修2_第1页](http://file3.renrendoc.com/fileroot_temp3/2021-12/27/428d4855-34dc-4c02-a471-cccae52d1a44/428d4855-34dc-4c02-a471-cccae52d1a441.gif)
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文档简介
1、§1.1.1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征学习目标: 1. 感受空间实物及模型,增强学生的直观感知; 2. 能根据几何结构特征对空间物体进行分类; 3. 理解多面体的有关概念; 4. 会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征.学习过程:一、课前准备(预习教材 P2 P4,找出疑惑之处)引入:小学和初中我们学过平面上的一些几何图形如直线、三角形、长方形、圆等等,现实生活中,我们周围还存在着很多不是平面上而是“空间”中的物体,它们占据着空间的一部分,比如粉笔盒、足球、易拉罐等.如果只考虑这些物体的形状和小,那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间大几何体.它们具有千姿百态的形状,有着不同的几
2、何特征,现在就让我们来研究它们吧! 二、新课导学 探索新知探究 1:多面体的相关概念问题:观察下面的物体,注意它们每个面的特点,以及面与面之间的关系.你能说出它们相同点吗? 新知 1:由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,如面 ABCD;相邻两个面的公共边叫多面体的棱,如棱 AB;棱与棱的公共点叫多面体的顶点,如顶点 A.具体如下图所示:AA1D1C1B1DCB探究 2:旋转体的相关概念问题:仔细观察下列物体的相同点是什么?新知 2:由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫旋转体,这条定直线叫旋转体的轴.如下图的旋转体:探究3.
3、棱柱的结构特征问题:你能归纳下列图形共同的几何特征吗? 新知 3:一般地,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱(prism). 棱柱中,两个互相平行的面叫做棱柱的底面,简称底;其余各面叫做棱柱的侧面;相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.(两底面之间的距离叫棱柱的高)试试 1:你能指出探究 3 中的几何体它们各自的底、侧面、侧棱和顶点吗?你能试着按照某种标准将探究 3 中的棱柱分类吗?新知 4:按底面多边形的边数来分,底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱按照侧棱是否
4、和底面垂直,棱柱可分为斜棱柱(不垂直)和直棱柱(垂直). 试试 2: 探究 3 中有几个直棱柱?几个斜棱柱?棱柱怎么表示呢? 新知 5:我们用表示底面各顶点的字母表示棱柱,如图(1)中这个棱柱表示为棱柱探究 4:棱锥的结构特征问题:探究 1 中的埃及金字塔是人类建筑的奇迹之一,它具有什么样的几何特征呢?新知 6:有一个面是多边形,其余各个面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥(pyramid).这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高;棱锥也可以按照
5、底面的边数分为三棱锥(四面体)、四棱锥等等,棱锥可以用顶点和底面各顶点的字母表示,如下图中的棱锥 S - ABCD .探究 5:棱台的结构特征问题:假设用一把大刀能把金字塔的上部分平行地切掉,则切掉的部分是什么形状?剩余的部分呢? 新知 7:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分形成的几何体叫做棱台(frustum of a pyramid).原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.其余各面是棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫侧棱,侧面与两底面的公共点叫顶点 .两底面间的距离叫棱台的高 .棱台可以用上、下底面的字母表示,分类类似于棱锥. 试试 3:请在下图中标出棱台的底面
6、、侧面、侧棱、顶点,并指出其类型和用字母表示出来. 反思:根据结构特征,从变化的角度想一想,棱柱、棱台、棱锥三者之间有什么关系? 典型例题例 由棱柱的定义你能得到棱柱下列的几何性质吗?侧棱都相等,侧面都是平行四边形;两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形;过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.仿照棱柱,棱锥、棱台有哪些几何性质呢?三、总结提升 学习小结 1. 多面体、旋转体的有关概念; 2. 棱柱、棱锥、棱台的结构特征及简单的几何性质. 知识拓展 1. 平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱;2. 正棱柱:底面是正多边形的直棱柱3. 正棱锥:底面是正多边形并且顶点在底面的射影是底面正多边形中心
7、的棱锥4. 正棱台:由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分) 1. 一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成( )A棱锥 B棱柱 C平面D长方体2. 棱台不具有的性质是( )A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点3. 已知集合 A=正方体,B=长方体,C=正四棱柱,D=直四棱柱,E=棱柱,F=直平行六面体,则( )A. A Í B Í C Í D Í F Í E B. A Í C Í B Í F Í D Í E
8、 C. C Í A Í B Í D Í F Í E D.它们之间不都存在包含关系4. 长方体三条棱长分别是 AA¢ =1 AB =2, AD = 4 ,则从 A 点出发,沿长方体的表面到 C的最短矩离是_. 5. 若棱台的上、下底面积分别是 25 和 81,高为 4,则截得这棱台的原棱锥的高为_. 课后作业1一个棱柱是正四棱柱的条件是( ).A.底面是正方形,有两个侧面是矩形 B.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱2下列说法中正确的是( ). A. 以直角
9、三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径3下列说法错误的是( ).A. 若棱柱的底面边长相等,则它的各个侧面的面积相等B. 九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱D. 三棱柱的侧面为三角形4用一个平面去截正方体,所得的截面不可能是( ).A. 六边形B. 菱形C. 梯形 D. 直角三角形5下列说法正确的是( ).A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C. 过圆锥顶点
10、的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形6设圆锥母线长为l,高为,过圆锥的两条母线作一个截面,则截面面积的最大值为 . 7若长方体的三个面的面积分别为6,3,2,则此长方体的对角线长为 . 8. 在边长 a 为正方形 ABCD 中,E、F 分别为AB、BC 的中点,现在沿 DE、DF 及 EF 把ADE、CDF 和BEF 折起,使A、B、C 三点重合,重合后的点记为 P .问折起后的图形是个什么几何体?它每个面的面积是多少?§1.1.2 圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征学习目标:1. 感受空间实物及模型,增强学生的直观感知; 2. 能根据几何结构特征对空间
11、物体进行分类; 3. 能概述圆柱、圆锥、圆台台体、球的结构特征; 4. 能描述一些简单组合体的结构. 学习过程:一、课前准备(预习教材 P5 P7,找出疑惑之处)复习:_多面体,_ _ 叫旋转体.棱柱的几何性质:_是对应边平行的全等多边形,侧面都是_,侧棱_且_,平行于底面的截面是与_全等的多边形;棱锥的几何性质:侧面都是_,平行于底面的截面与底面_,其相似比等于_. 引入:上节我们讨论了多面体的结构特征,今天我们来探究旋转体的结构特征. 二、新课导学 探索新知探究 1:圆柱的结构特征问题:观察下面的旋转体,你能说出它们是什么平面图形通过怎样的旋转得到的吗?圆柱用表示 新知 1;以矩形的一边所
12、在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体,叫做圆柱(circular cylinder),旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线,如图所示:圆柱用表示它的轴的字母表示,图中的圆柱可表示为 OO¢ .圆柱和棱柱统称为柱体.探究 2:圆锥的结构特征问题:下图的实物是一个圆锥,与圆柱一样也是平面图形旋转而成的. 仿照圆柱的有关定义,你能定义什么是圆锥以及圆锥的轴、底面、侧面、母线吗?试在旁边的图中标出来. 新知 2:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其
13、余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆锥.圆锥也用表示它的轴的字母表示.棱锥与圆锥统称为锥体. 探究 3:圆台的结构特征问题:下图中的物体叫做圆台,也是旋转体.它是什么图形通过怎样的旋转得到的呢?除了旋转得到以外,对比棱台,圆台还可以怎样得到呢? 新知 3;直角梯形以垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫圆台(frustum of a cone). 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分也是圆台. 圆台和圆柱、圆锥一样,也有轴、底面、侧面、母线,请你在上图中标出它们并把圆台用字母表示出来. 棱台与圆台统称为台体.反思:结合结构特征,从变化的角度思考,
14、圆台、圆柱、圆锥三者之间有什么关系?探究 4:球的结构特征问题:球也是旋转体,怎么得到的?新知 4:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体(solid sphere),简称球;半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径;球通常用表示球心的字母 O 表示,如球 O .探究 5:简单组合体的结构特征问题:矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成?灯管呢?新知 5:由具有柱、锥、台、球等简单几何体组合而成的几何体叫简单组合体.现实生活中的物体大多是简单组合体.简单组合体的构成有两种方式:由简单几何体拼接而成;由简单几何体截去或挖去一部分而成. 典型例题例 将
15、下列几何体按结构特征分类填空:集装箱运油车的油罐排球羽毛球魔方金字塔三棱镜滤纸卷成的漏斗量筒量杯地球一桶方便面一个四棱锥形的建筑物被飓风挂走了一个顶,剩下的上底面与地面平行;棱柱结构特征的有_;棱锥结构特征的有_;圆柱结构特征的有_;圆锥结构特征的有_;棱台结构特征的有_;圆台结构特征的有_;球的结构特征的有_;简单组合体_三、总结提升 学习小结 1. 圆柱、圆锥、圆台、球的几何特征及有关概念; 2. 简单组合体的结构特征. 知识拓展圆柱、圆锥的轴截面:过圆柱或圆锥轴的平面与圆柱或圆锥相交得到的平面形状,通常圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是三角形. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)
16、1. RtDABC 三边长分别为 3、4、5,绕着其中一边旋转得到圆锥,对所有可能描述不对的是( )A.是底面半径 3 的圆锥 B.是底面半径为 4 的圆锥C.是底面半径 5 的圆锥 D.是母线长为 5 的圆锥 2. 下列命题中正确的是( ). A.直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是旋转体 C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D.通过圆台侧面上一点,有无数条母线 3. 一个球内有一内接长方体,其长、宽、高分别为 5、 4、3,则球的直径为_4. 用一个平面截半径为 25cm 的球,截面面积是49p cm2 ,则球心到截面的距离为多少?1右图的几何
17、体是由下面哪个平面图形旋转得到的( ). A. B. C. D.2下列几何体的轴截面一定是圆面的是( ). A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台3把直角三角形绕斜边旋转一周,所得的几何体是( ).A. 圆锥 B.圆柱 C. 圆台 D.由两个底面贴近的圆锥组成的组合体快乐4水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的表面展开图,若图中“2”在正方体的前面,则这个正方体的后面是( ). A0 B6 C快 D乐5圆锥的底面半径为r,高为h,在此圆锥内有一个内接正方体,则此正方体的棱长为()A. B. C. D. 6三棱柱的底面为正三角形,侧面是
18、全等的矩形,内有一个内切球,已知球的半径为R,则这个三棱柱的底面边长为 . 7(07年安徽.理15)在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下各种几何形体的4个顶点,这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号).矩形;不是矩形的平行四边形;有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;每个面都是等边三角形的四面体;每个面都是直角三角形的四面体.能力提高8正四棱锥(棱锥底面是正方形,侧面都是全等等腰三角形)有一个内接正方体,它的顶点分别在正四棱锥的底面内和侧棱上. 若棱锥的底面边长为a,高为h,求内接正方体的棱长. 9一个四棱台的上、下底面均为正方形,且面积分别为、,侧面是全等的等腰梯形
19、,棱台的高为h,求此棱台的侧棱长和斜高(侧面等腰梯形的高).10如右图,图是正方体木块,把它截去一块,可能得到的几何体有、的木块.(1)我们知道,正方体木块有8个顶点,12条棱,6个面,请你将图、的木块的顶点数、棱数、面数填入下表: 图号顶点数棱数面数8126(2)观察你填出的表格,归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系.(3)看图中正方体的切法,请验证你所得的数量关系是否正确?§1.2.1 中心投影与平行投影§1.2.2 空间几何体的三视图教学目标:1. 了解中心投影与平行投影的区别; 2. 能画出简单空间图形的三视图; 3. 能识别三视图所表示的空间几何
20、体;一、课前准备(预习教材 P11 P14,找出疑惑之处)复习 1:圆柱、圆锥、圆台、球分别是_绕着 _、_绕着_、_绕着_、_绕着_旋转得到的复习 2:简单组合体构成的方式:_和_二、新课导学 探索新知正视图 侧视图探究 1:中心投影和平行投影的有关概念俯视图问题:中午在太阳的直射下,地上会有我们的影子,晚上我们走在路灯旁身后也会留下长长的影子,你知道这是什么现象吗?为什么影子 有长有短?新知 1:由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影. 其中光线叫投影线,留下物体影子的屏幕叫投影面. 光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影,中心投影的投影线交于一点.
21、在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影,平行投影的投影线是平行的. 在平行投影中,投影线正对着投影面时叫正投影,,否则叫斜投影思考:中午太阳的直射是什么投影?路灯、蜡烛的照射是什么投影?试试:在下图中,分别作出圆在中心投影和平行投影中正投影的影子结论:中心投影其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化;平行投影其投影的大小与这个平面图形的形状和大小是完全相同探究 2:柱、锥、台、球的三视图问题:我们学过的几何体(柱、锥、台、球),为了研究的需要,常常要在纸上把它们表示出来,该怎么画呢?能否用平行投影的方法呢?新知 2:为了能较好把握几何体的形状和大小,通常对几何体作三个角度的正投影.一种
22、是光线从几何体的前面向后面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的正视图;一种是光线从几何体的左面向右面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的侧视图;第三种是光线从几何体的上面向下面正投影得到投影图,这种投影图叫几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图称为几何体的三视图.一般地,侧视图在正视图的右边,俯视图在正视图的下边.三视图中,能看见的轮廓线和棱用实线表示, 不能看见的轮廓线和棱用虚线表示. 下图是一个长方体的三视图. 思考:仔细观察上图长方体和下图圆柱的三视图,你能得出同一几何体的三视图在形状、大小方面的关系吗?能归纳三视图的画法吗?小结: 1. 正视图反映物体的长度和高度,俯视图反
23、映的是长度和宽度,侧视图反映的是宽度和高度; 2.正视图和俯视图高度相同,俯视图和正视图长度相同,侧视图和俯视图宽度相同; 3.三视图的画法规则:正视图、侧视图齐高,正视图、俯视图长对正,俯视图、侧视图宽相等,即“长对正”、“高平齐”、“宽相等”;正、侧、俯三个视图之间必须互相对齐,不能错位。探究 3:简单组合体的三视图。问题:下图是个组合体,你能画出它的三视图吗?小结:画简单组合体的三视图,要先观察它的结构,是由哪几个基本几何体生成的,然后画出对应几何体的三视图,最后组合在一起.注意线的虚实 典型例题例 1 画出下列物体的三视图:例 2 说出下列三视图表示的几何体:例3. 作出下图中两个物体
24、的三视图三、总结提升 学习小结1. 平行投影与中心投影的区别; 2. 三视图的定义及简单几何体画法:正视图(前往后)、侧视图(左往右)、俯视图(上往下);画时注意长对正、高平齐、宽相等3. 简单组合体画法:观察结构,各个击破 知识拓展画三视图时若相邻两物体表面相交,则交线要用实线画出;确定正视、俯视、侧视的方向,同一物体放置的方向不同,所画的三视图可能不同 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)1. 下列哪种光源的照射是平行投影( )A.蜡烛 B.正午太阳 C.路灯 D.电灯泡2. 右边是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.四棱锥 B.圆锥 C.三棱锥 D.三棱台AB.CD3. 如
25、图是个六棱柱,其三视图为( ) A B C D4. 画出下面螺母的三视图5. 下图依次是一个几何体的正、俯、侧视图,6. 一个正方体的五个面展开如图所示,请你在图中合适的位置补出第六个面来.(画出所有可能的情况)基础达标1如果一个几何体的正视图是矩形,则这个几何体不可能是( ).A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥2右图所示为一简单组合体的三视图,它的左部和右部分别是( ).A. 圆锥,圆柱 B. 圆柱,圆锥 C. 圆柱,圆柱 D. 圆锥,圆锥3右图是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( ).正视图左视图俯视图4一个几何体的某一方向的视图是圆,则它不可能是( )
26、.A. 球体 B. 圆锥 C. 圆柱 D.长方体5如图,一个封闭的立方体,它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一,现放置成如图的三种不同的位置,则字母A,B,C对面的字母分别为( ).A. D,E ,F B. F,D ,E C. E, F,D D. E, D,F6一个几何体的三视图中,正视图、俯视图一样,那么这个几何体是 . (写出三种符合情况的几何体的名称) 7右图是某个圆锥的三视图,请根据正视图中所标尺寸,则俯视图中圆的面积为_,圆锥母线长为_.2030俯视图正视图左视图308. 用若干个正方体搭成一个几何体,使它的正视图与左视图都是如右图的同一个图. 通过实际操作,并讨论
27、解决下列问题:(1)所需要的正方体的个数是多少?你能找出几个?(2)画出所需要个数最少和所需要个数最多的几何体的俯视图. §1.2.3 空间几何体的直观图教学目标:1. 掌握斜二测画法及其步骤; 2. 能用斜二测画法画空间几何体的直观图.一、课前准备AB.CD(预习教材 P16 P19,找出疑惑之处)复习 1:中心投影的投影线_;平行投影的投影线_.平行投影又分_投影和_投影复习 2:物体在正投影下的三视图是_、_、 _;画三视图的要点是_ 、_ 、_引入:空间几何体除了用三视图表示外,更多的是用直观图来表示.用来表示空间图形的平面图叫空间图形的直观图.要画空间几何体的直观图,先要学
28、会水平放置的平面图形的画法.我们将学习用斜二测画法来画出它们.你知道怎么画吗? 二、新课导学 探索新知探究 1:水平放置的平面图形的直观图画法问题:一个水平放置的正六边形,你看过去视觉效果是什么样子的?每条边还相等吗?该怎样把这种效果表示出来呢?新知 1:上面的直观图就是用斜二测画法画出来的,斜二测画法的规则及步骤如下: (1)在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴,建立直角坐标系,两轴相交于 O .画直观图时,把它们画成对应的 x¢ 轴与 y¢ 轴,两轴相交于点 O¢ ,且使 Ðx¢O¢y¢ = 45 &
29、#176;(或135 °).它们确定的平面表示水平面;(2) 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x¢ 轴或 y¢ 轴的线段;(3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半;(4) 图画好后,要擦去 x 轴、 y 轴及为画图添加的辅助线(虚线) 典型例题例 1 用斜二测画法画水平放置正六边形的直观图讨论:把一个圆水平放置,看起来象个什么图形? 它的直观图如何画?结论:水平放置的圆的直观图是个椭圆,通常用椭圆模板来画.探究 2:空间几何体的直观图画法问题:斜二测画法也能画空间几何
30、体的直观图,和平面图形比较,空间几何体多了一个“高”,你知道画图时该怎么处理吗?例 2 用斜二测画法画长 4cm、宽 3cm、高 2cm 的长方体的直观图.新知 2:用斜二测画法画空间几何体的直观图时,通常要建立三条轴: x 轴, y 轴, z 轴;它们相交于点 O ,且 ÐxOy = 45 °, ÐxOz = 90 °;空间几何体的底面作图与水平放置的平面图形作法一样,即图形中平行于 x 轴的线段保持长度不变,平行于y 轴的线段长度为原来的一半,但空间几何体的 “高”,即平行于 z 轴的线段,保持长度不变. 动手试试1. 用斜二测画法画底面半径为4 c
31、m ,高为3 cm 的圆柱.2.如下图,是一个空间几何体的三视图,请用斜二测画法画出它的直观图正视图 侧视图 俯视图3.由三视图画出物体的直观图小结:由简单组合体的三视图画直观图时,先要想象出几何体的形状,它是由哪几个简单几何体怎样构成的;然后由三视图确定这些简单几何体的长度、宽度、高度,再用斜二测画法依次画出来.三、总结提升 学习小结 1. 斜二测画法要点建坐标系,定水平面;与坐标轴平行的线段保持平行;水平线段( x 轴)等长,竖直线段( y 轴)减半;若是空间几何体,与 z 轴平行的线段长度也不变. 2. 简单组合体直观图的画法;由三视图画直观图. 知识拓展 1. 立体几何中常用正等测画法
32、画水平放置的圆.正等测画法画圆的步骤为:(1)在已知图形 O 中,互相垂直的 x 轴和 y 轴画直观图时,把它们画成对应的 x¢ 轴与 y¢ 轴,且使 Ðx¢O¢y¢ = 1200 (或 60 0 );(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x¢ 轴或 y¢ 轴的线段3)平行于 x 轴或 y 轴的线段,长度均保持不变2. 空间几何体的三视图与直观图有密切联系:三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸),直观图是对
33、空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构想象实物的形象. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 一个长方体的长、宽、高分别是 4、8、4,则画其直观图时对应为( )A. 4、8、4 B. 4、4、4 C. 2、4、4 D.2、4、22.利用斜二测画法得到的三角形的直观图是三角形平行四边形的直观图是平行四边形正方形的直观图是正方形菱形的直观图是菱形,其中正确的是( )A. B. C. D.3. 下图是一个几何体的三视图请画出它的图形为_4. 等腰梯形 ABCD 上底边 CD=1,腰 AD=CB= 2 ,下底 AB=3,按平行于上、下底边取 x 轴,则直观图 A¢B
34、62;C ¢D¢ 的面积为_基础达标1下列说法正确的是( ).A. 相等的线段在直观图中仍然相等B. 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行C. 两个全等三角形的直观图一定也全等D. 两个图形的直观图是全等的三角形,则这两个图形一定是全等三角形2对于一个底边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图面积是原三角形面积的( ). A. 2倍 B. 倍C. 倍 D. 倍45023如图所示的直观图,其平面图形的面积为( ).3A. 3 B. 6 C. D. 4已知正方形的直观图是有一条边长为4的平行四边形,则此正方形的面积是( ).A. 16 B. 16或
35、64 C. 64 D. 以上都不对5一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20m、5m、10m,四棱锥的高为8m,若按1500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ).A4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm C4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm6一个平面的斜二测图形是边长为2的正方形,则原图形的高是 .7利用斜二测画法得到的图形,有下列说法:三角形的直观图仍是三角形;正方形
36、的直观图仍是正方形;平行四边形的直观图仍是平行四边形;菱形的直观图仍是菱形. 其中说法正确的序号依次是 . §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(1)教学目标1. 理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式; 2. 能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.一、课前准备(预习教材 P23 P25,找出疑惑之处)复习:斜二测画法画的直观图中,x¢ 轴与 y¢ 轴的夹角为_,在原图中平行于 x 轴或 y 轴的线段画成与_和_保持平行;其中平行于 x 轴的线段长度保持_,平行于 y 轴的线段长度 引入:研究空间几何体,除了研究结构特征和视图以外,还得研究
37、它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积,表示几何体表面的大小;体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢?二、新课导学 探索新知探究 1:棱柱、棱锥、棱台的表面积问题:我们学习过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(下图),你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗?结论: 正方体、长方体是由多个平面围成的多面体,其表面积就是各个面的面积的和,也就是展开图的面积.新知 1:棱柱、棱锥、棱台都是多面体,它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积. 试试 1:想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子,它们的表面积如何计算?探究 2:圆柱、圆锥、圆台的表面积问题:根
38、据圆柱、圆锥的几何特征,它们的侧面展开图是什么图形?它们的表面积等于什么?你能推导它们表面积的计算公式吗?新知 2:(1)设圆柱的底面半径为 r ,母线长为 l 则它的表面积等于圆柱的侧面积(矩形)加上底面积(两个圆),即 S = 2p r 2 + 2p rl = 2p r(r + l)(2)设圆锥的底面半径为 r ,母线长为 l ,则它的表面积等于圆锥的侧面积(扇形)加上底面积(圆形),即 S = p r 2 + p rl = p r (r + l).试一试 2:圆台的侧面展开图叫扇环,扇环是怎么得到的呢?(能否看作是个大扇形减去个小扇形呢)你能试着求出扇环的面积吗?从而圆台的表面积呢?新知
39、 3:设圆台的上、下底面半径分别为 r¢ , r 母线长为 l ,则它的表面积等上、下底面的面积(大、小圆)加上侧面的面积(扇环),即 S = p r ¢2 + p r 2 + p (r ¢l + rl ) = p (r ¢2 + r 2 + r ¢l + rl )反思:想想圆柱、圆锥、圆台的结构,你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗? 典型例题例 1 已知棱长为 a ,各面均为等边三角形的四面体 S - ABC ,求它的表面积.例 2如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm ,盆底直径15 cm ,底部渗水圆孔直径为 1.5cm ,盆壁长15
40、 cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要多少油漆( p 取 3.14,结果精确到 1 毫升)? 动手试试练 1. 一个正三棱锥的侧面都是直角三角形,底面边长为 a ,求它的表面积.练 2. 粉碎机的上料斗是正四棱台形状,它的上下底面边长分别为 80 mm 、440 mm ,高(上下底面的距离)是 200 mm , 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.三、总结提升 学习小结 1. 棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式;2. 将空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题最基本、最常用的方法 知识拓展当柱体、锥体
41、、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时,它们的展开图是一些规则的平面图形,表面积比较好求;当它们不是特殊的几何体,比如斜棱柱、不规则的四面体时,要注意分析各个面的形状、特点,看清楚题目所给的条件,想办法求出各个面的面积,最后相加 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)1. 正方体的表面积是 64,则它对角线的长为 2. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是( )A B C D3. 一个正四棱台的两底面边长分别为 m , n (m > n) ,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为 ( )A BC D4. 如果圆锥的轴截面是正三角形,则该
42、圆锥的侧面积与表面积的比是_5. 已知圆台的上、下底面半径和高的比为144,母线长为 10,则圆台的侧面积为_AA1D1C1B1DCB6如图,在长方体中,AB =3 ,BC =4 ,CC1 = 5 ,求沿着长方体表面 A 到 C 1 的最短路线长.基础达标1用长为4,宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱,此圆柱轴截面面积为( ).A. 8 B. C. D. 2圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为,则圆台较小底面的半径为( ). A. 7 B. 6 C. 5 D. 33一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是( ).A. B. C. D.4一个直
43、棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)面是菱形,棱柱的对角线长分别是9cm和15cm,高是5cm,则这个直棱柱的侧面积是( )cm2.A. 160 B.320 C. D. 5四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是( ).A BCD6如图,已知圆柱体底面圆的半径为,高为2,分别是两底面的直径,是母线若一只小虫从A点出发,从侧面爬行到点,则小虫爬行的最短路线的长度是 (结果保留根式)7已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为1:2,则它们的高之比为 . 8六棱台的上、下底面均是正六边形,边长分别是8 cm和18
44、 cm,侧面是全等的等腰梯形,侧棱长为13 cm,求它的表面积. §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积(2)教学目标:1. 了解柱、锥、台的体积计算公式;2. 能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和解决有关实际问题一、课前准备(预习教材 P25 P26,找出疑惑之处)复习 1:多面体的表面积就是_加上_复习 2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 _、_、_;若圆柱、圆锥底面和圆台上底面的半径都是 r ,圆台下底面的半径是 r¢,母线长都为 l ,则 S圆柱 = _ S圆锥 = _, S圆台 = _引入:初中我们学习了正方体、长方体、圆柱的体积公式V = Sh( S
45、为底面面积,h 为高),是否柱体的体积都是这样求呢?锥体、台体的体积呢?二、新课导学 探索新知新知:经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅原理)柱体体积公式为:V = Sh ,( S 为底面积, h 为高)锥体体积公式为:V = Sh , S 为底面积,h 为高)台体体积公式为:( S ¢ , S 分别为上、下底面面积, h 为高) 补充:柱体的高是指两底面之间的距离;锥体的高是指顶点到底面的距离;台体的高是指上、下底面之间的距离. 典型例题例 1 如图(1)所示,三棱锥的顶点为 P ,PA, PB, PC 是 它 的 三 条 侧 棱 , 且 PA, PB, PC 分 别 是 面PBC,
46、 PAC, PAB 的垂线,又 PA = 2 ,PB = 3, PC = 4 ,三棱锥 P - ABC 的体积V变式:如图(2),在边长为 4 的立方体中,求三棱锥 B¢ - A¢BC ¢ 的体积小结:求解锥体体积时,要注意观察其结构特征,尤其是三棱锥(四面体),它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积法,通常运用此法可以求点到平面的距离(后面将会学习),它会给我们的计算带来方便.例 2 高 12 cm 的圆台,它的中截面(过高的中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积为 225 p cm2 ,体积为 2800cm 3 ,求截得它的圆锥的体积.变式:
47、已知正六棱台的上、下底面边长分别为 2 和 4,高为 2,求截得它的的正六棱锥的体积.小结:对于台体和其对应锥体之间的关系,可通过轴截面中对应边的关系,用相似三角形的知识来解.例3有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8g / cm 3 ) 六角螺帽共重5.8g ,已知底面是正六边形,边长为 12 mm ,内孔直径为 10 mm ,高为 10 mm ,问这堆螺帽大约有多少个( p 取 3.14).动手试试在中,AB=BC=2,。.若将绕BC旋转一周,求所形成的旋转体的体积三、总结提升 学习小结1. 柱体、锥体、台体体积公式及应用,公式不要死记,要在理解的基础上掌握;2. 求体积要注意顶点、底面
48、、高的合理选择. 知识拓展祖暅及祖暅原理祖暅,祖冲之(求圆周率的人)之子,河北人,南北朝时代的伟大科学家. 柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)1. 圆柱的高增大为原来的 3 倍,底面直径增大为原来的 2 倍,则圆柱的体积增大为原来的( )A.6 倍B.9 倍C.12 倍D.16 倍2. 已 知 直 四 棱 柱 相 邻 的 三 个 面 的 面 积 分 别 为则它的体积为( )A B C 6 D 43. 各棱长均
49、为 a 的三棱锥中,任意一个顶点到其对应面的距离为( )A B C D 4. 一个斜棱柱的的体积是 30 cm 3 ,和它等底等高的棱锥的体积为_5. 已知圆台两底面的半径分别为 a, b (a > b) ,则圆台和截得它的圆锥的体积比为_基础达标1已知圆柱与圆锥的底面积相等,高也相等,它们的体积分别为和,则( ).A. B. C. D. 2三棱锥VABC的底面ABC的面积为12,顶点V到底面ABC的距离为3,侧面VAB的面积为9,则点C到侧面VAB的距离为( ).A. 3 B. 4 C. 5 D. 63若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中,量得水面的高度为6cm,若将这些水倒入
50、轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是( ).A. B. C. D. 4矩形两邻边的长为a、b,当它分别绕边a、b旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为( A. B. C. D. 俯视图主视图左视图5如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形,则其体积是( ). A B . C. D . 6已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直,且长度分别为1cm,2cm,3cm,则此棱锥的体积_.§1.3.2球的体积和表面积教学目标1. 了解球的表面积和体积计算公式; 2. 能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.一、课前准备(预习教材 P27 P28,找出疑惑之处)复习:柱体包括 _和 _,它的体积公式为_;锥体包括_和_,它的体积公式为_;台体包括_和_它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为_二、新课导学 探索新知新知:球的体积和表面积球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形,它的体积和表面积的求法涉及极限思想 (一种很重要的数学方法).经过推导
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