初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题09含绝对值符号的一次方程[精品]

1、专题 09 含绝对值符号的一次方程阅读与思考绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程， 简称绝对值方程 解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是：1 .形如|ax b| c（c0）的最简绝对值方程这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax b c或ax b c.2含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解解绝对值方程时， 常常要用到绝对值的几何意义、 去绝对值符号法则、 常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法例题与求解【例 1】 方程 | x 5| 2x 5 的

2、解是 （四川省竞赛试题）解题思路： 设法脱去绝对值符号，将原方程转化为一般的一无一次方程求解【例 2】 方程 | x 1| x 3| 4 的整数解有（ ） A. 2个B. 3个C. 5个D.无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）解题思路： 借助数轴，从绝对值的几何意义入手能获得简解【例 3】 已知： 有理数 x 、 y 、 z 满足 xy 0 ， yz 0 并且 | x | 3 ， | y | 2 ， | z 1| 2 求 x y z 的值（北京市“迎春杯”竞赛试题）解题思路： 本题关键在于确定 x 、 y 、 z 的符号三者的符号有联系，可围绕其中一个数分类讨论【例 4】 解下列方程：（ 1） |

3、x |3x 1| 4；（天津市竞赛试题）（ 2） |x3|x1|x 1 ；（北京市“迎春杯”竞赛试题）（ 3） |x1| x5|4（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：解多重绝对值方程的基本方法是：根据绝对值定义，从内向外化简原方程；零点分段讨 论法是解多个绝对值方程的有效手段.【例5】 已知|x 2| |1 x| 9 |y 5| |1 y|,求x y的最大值与最小值.（江苏省竞赛试题）解题思路：已知等式可化为：|x 2| |x 1| |y 1| | y 5| 9 ,再根据绝对值的几何意义探求 x、y的取值范围，进而可得 x y的最大值与最小值.【例6】 当1, m 0时，试判定关于x的方程|1

4、 x| mx的解的情况.（上海市竞赛试题）解题思路：由于1, m 0,且|1 x|0 ,就有x, 0 ,进而计算.能力训练A级1 .方程|5x 6| 6x 5的解是.（重庆市竞赛试题）1 31x12 .万程|y 2| |2y | 0的解是，方程3（|x| 1） -1的解是3 553 .已知 |3990x 1995| 1995,那么 x .（北京市“迎春杯”竞赛试题）4 .巳知|x| x 2,那么19x99 3x 27的值为.（“希望杯”邀请赛试题）5 .若方程 1002x 10022 | 10023 的解分另是 X、x2，则 x1 x2 .（“希望杯”邀请赛试题）6.满足(a b)2 (b a

5、) |ab|ab (ab定不满足的关系是).B.abC.D. a b7.有理数a、b满足|ab|a).B.C.abD. at>- 08.若关于x的方程|2x3|0无解,|3x4|0只有一个解,|4x 5|k 0有两个解,则m, n , k的大小关系是).B.C.D. m k（“希望杯”邀请赛试题）9.方程 | x 5| x0的解的个数为（).B.无数个C.D. 3个（“祖冲之杯”邀请赛试题）10.若关于x的方程l|x2|1| a有三个整数解，则a的值是（).B.C. 1D. 3（全国初中数学联赛试题）11 .解下列方程:一、 _ 1(1) 4 2|-x 1|23;，1c |-x 1| x

6、 3；2(3) |x |2x 1| 3;（五城市联赛试题）(4) |2x 1| |x 2| |x 1| .（全国通讯赛试题）12.求关于x的方程|x 2111a 0 （0 a 1）的所有解的和.（陕西省竞赛试题）B级1 .关于x的方程|a|x |a 1| x的解是x 0,则a的值是；关于x的方程 |a|x |a 1| x的解是x 1 ,则有理数a的取值范围是 .2 .若0 x 10,则满足条件|x 3| a的整数a的值共有 个，它们的和是 （“希望杯”邀请赛试题）3 .若a 0, b 0 ,则使| x a | | x b | a b成立的x的取值范围是 .（武汉市选拔赛试题）4 .已知I a|

7、1,那么包_|a 1|5 .若有理数x满足方程|1|x|,那么化简|x 1|的结果是（).A. 1B.C. x 1D. 1 x6 .适合关系式|3x4|3x2|6的整数x的值有（).A. 0B.C.D.大于2的自然数7 .如果关于x的方程|x1|x1|a有实根.那么实数 a的取值范围是（).A. a 0B.C. aTD. a- 2（武汉市竞赛试题）8.巳知方程|x| ax 1有一个负根，而没有正根，那么 a的取值范围是（).A. a 1B. a 1C. a1D. a 1（全国初中数学联赛试题）9 .设a、b为有理数，且方程|x a| b| 3有三个不相等的解，求 b的值.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）10 .当a满足什么条件时，关于 x的方程|x 2| |x 5| a有一解？有无数多