函数的概念精编版

1、最新资料推荐“函数的概念”教学设计南京师大附中陶维林一、内容和内容解析“函数”是中学数学的核心概念.在初中，学生已经学习过函数概念.初中建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数.其中x称为自变量.这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系.从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式.后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性， 而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制.如果只根据变

2、量观点，那么有些函数就很难进行深入研究.例如1,当日有理数时， /工一当虎无理数时.对这个函数，如果用变量观点来解释，会显得十分勉强，也说不出x的物理意义是什么.但用集合、对应的观点来解释，就十分自然.进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A中的任意一个 数x,在集合B中都有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么就称f: A-B为从集合A到集合 B的一个函数，记作y= f (x) , xC A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的集合 if (x) xe a叫做函数的值域

3、.这个概念与初中概念相比更具有一般性.实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的.不同点在于，表述方式不同高中明确了集合、 对应的方法.初中虽然没有明确定义域、 值域这些集合，但这是客 观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点.与初中相比，高中引入了抽象的符号f (x) . f (x)指集合B中与x对应的那个数.当x确定时，f (x)也唯一确定.另外，初中并没有明确函数值域这个概念.函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：两个数集间有一种确定的对应关系f,即对于数集A中每一个x,数集B中都有唯一确定的y和它对应.涉及两个数集 A, B,而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个

4、” “唯一确定”.也就是，对于集合 A中的数，不能有的在 集合B中有数与之对应，有的没有，每一个都要有.而且，在集合B中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应.函数概念中涉及的集合 A, B,对应关系f是一个整体，是集合 A与集合B之间的一 种对应关系，应该从整体的角度来认识函数.二、目标和目标解析(1)通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关 系的重要数学模型.能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素.(2)会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域.(3)通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力.教

5、学的重点是，在研究已有函数实例 (学生举出的例子) 的过程中，感受在两个数集 A, B之间所存在的对应关系 f,进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念.然后 再进一步理解它.三、教学问题诊断分析(1)对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深.教学 中，可以通过反例让学生加以认识.比如有一位学生的考试情况是这样的序号颂*3a4490P咏因病缺考9和集合 A=1, 2, 3, 4, 5, 6, B = 90, 93, 98, 92, f:每次考试成绩.就不能表示一个函数.因为对于集合A中的元素“ 4”，在集合B中就没有元素与它对应.(2)忽视“数集”二字，把一般的

6、映射关系理解为函数.比如高一(2)班的同学组成集合 A,教室里的座椅组成集合 B,每一位同学都有唯一的一 个座椅，班上还有空椅子.这能否算作一个函数的例子，为什么？(3)对为什么集合 B不是函数的值域不理解.让学生感受到，有时，为了研究方便或者 确定一个函数的值域暂时有困难，使得C = f (x) |xC AB更加合理.(4)当函数关系具有解析式表示时，f (x)当然可以用x的解析式表示出来.学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示.可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可.但这不是本节课的重点， 应该放在下一节课“函数的表示”中解决.只要注意所列举的例子不

7、光 是有解析式的即可.(5)本课的难点是：对抽象符号 y= f (x)的理解.可以通过具体函数让学生理解抽象的f (x) .比如函数f (x) = x2, A= I, x|- 2< x< 2).f( 1)=1, f(1.5)=2.25, f( 2)=4, f (2)无定义.f (x) =x2, xC A.最终，让学生明白，f (x)是集合B中的一个数，是与集合 A中的x对应的那个数.当 x取具体数字时，f (x)也是一个具体的数.四、教学基本流程五、教学过程设计3最新资料推荐1.用集合、对应定义函数问题1同学们在初中已经学习过“函数”，请你举几个函数的具体例子.设计意图：通过具体例

8、子，让学生回顾初中学习过的函数概念，把握内涵.教师根据所举例子的具体情况，引导学生列举分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数.如果学生所列举的例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再列举些用图象、表格表示对应关系的函数.教师可以举例（教科书第 15页的例2）例1图1的兰色曲线记录的是 2009年2月20日自上午9: 30至下午3: 00上海证券 交易所的股票指数的情况.股票指数是时间的函数吗？图1例2国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生 活质量越高.下表中恩格尔系数随时间的变化而变化的情况表明，“八五”计

9、划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.ItM t年1算"1993*'1994 r19期19附1997r1993*19gg2000*'2001城尊唐混的尊福抬系基53和52850.U49加49加格外46.444 5,41.投为37.SP城镇居民的恩格尔系数（）是时间（年）的函数吗?教师也可以参与举例 （例3,备用），以说明函数概念中的 x的取值范围构成一个集合, 对应关系、以及y的取值构成的集合.例3 （教科书第15页例1） 一枚炮弹发射后，经过 26s落到地面击中目标.炮弹的射 高为845m,且炮弹距地面高度 h （单位：m）随时间t （单位：s）变化的规律是

10、h=130t 5t2. (*)炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？教师利用教科书第15页例1中的函数图象（图2）解释:随着点P位置的改变，点 P的横坐标x与纵坐标y都在变化，但无论点 P在哪个位置， 点P的横坐标x总对应唯一的纵坐标 y.由此，使学生体会到，函数中的函数值 y的变化总 是依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定.集B= h|0W hW845,从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t,按照对应关系（*）,在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.在学生举例后，与学生共同研究问题2.问题2你凭什么说，你举出的例子表示一个函数呢？请说给我们大家听听.大家也思 考一下，

11、他们所举的是函数的例子吗？为什么？设计意图：让举例的同学分别解释他们所举例子的含义，为什么用这个例子来说明函 数.挖掘背后的思维过程，暴露学生对函数本质的理解状况.函数是初中已有过的内容，引导学生用初中的定义解释所列举的例子，可以了解学生对函数概念的掌握情况.突出“两个变量x, y”，对于变量 x的“每一个”确定的值，另一个变量y有“唯一”确定的值与 x对应，“ y是x的函数”.并要求学生指出对应关系f是什么？ x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个集合做准备.问题3前面我们学习了 “集合”，你能用“集合”以及对应的语言刻画函数概念吗?设计意图：引导学生把初中学习

12、过的函数概念与高一刚学习的过的集合知识联系起来， 用集合的观点解释过去的概念，获得对函数概念的新认识.获得新的函数定义方式：设A, B是两个非空数集.如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合 A中的任意一个数x,在集合B中有唯一确定的数 f (x)和它对应，那么就称对应f: AfB为集合A到集合B的一个函数，记作y = f (x) , xC A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做 函数值，函数值的集合f (x) | xC A叫做函数的 值域.若C=f (x) | xCA,则 CCB.师生共同就每一个例子，找出集合A, B分别是什么，对应关系 f指什么？

13、突出“三要素”.问题4在这个定义中，你认为哪些是关键词？怎样理解这个概念呢？设计意图：促使学生抓住概念中的关键词，多方面理解概念，抓住本质.同时，指出函 数的要素为定义域、对应关系、值域.由于对于一个函数，当定义域确定、对应关系确定后， 值域也随之确定，因此，两个函数相等的条件是定义域以及对应关系相同.2.认识函数的定义域，值域，对应关系小练习：(1)填写下列表格:函数a一次函数4二次函数/反比例函数口对应关系/定义域小0值域一(2)能否说f (x) =x2 4x是实数集R到实数集R的函数?(3)已知函数f (x) = + .求f （一）;f （x4）的定义域；（4）下列函数中哪个是与 y=x

14、相同的函数，为什么？丫: 0 2；v= （）3;（）;y=.你能否举一个看起来相似，实质是两个不同的函数的例子.设计意图：感受定义域的重要性，体验函数的三个要素.两函数相同，相同.再问：你举这个例子想说明什么？3.介绍区间的概念在研究函数时，常常需要表示它的定义域、值域这些实数的集合.我们把集合1 .x|a< x< b）写成a, b）,即1x|aw xv bj =a, b）.a, b）称为左闭右开的区间.以下教师问学生该如何表示，叫做什么区间（不是教师直接告诉）：Lx|awxw bJ写成a, b,称为闭区间.l.x|a<x< b写成（a, b）,称为开区间.ix|avxw b写成la, b,称为右闭左开的区间.实数a, b都叫做区间的端点.实数集R可以用区间表示为（一8,十8）.当且仅当三要素a, +0°);i.x| x>a）可以用区间表示为a, +°o J , I. x| x>a）可以用区间表示为（t.x| xw a)可以用区间表示为(一巴a, i.x| xv a)可以用区间表示为(一巴 a).区间可以用数轴上的点表示.问：若有人问“你区间什么？"你怎么回答？区间是