四川理工学院2014级研究生有限元分析复习题参考答案

1、简答题（20分）1、在推导弹性力学基本方程的平衡微分方程、几何方程和物理方程中分别运用了弹性力学的哪些基本假设？ （ 5分）平衡微分方程利用了连续性假定和小变形假定几何方程也利用了连续性假定和小变形假定物理方程 利用了连续性假定、完全弹性假定、均匀性假定、各向同性假定 2、弹性力学的应力分量在物体内部和边界上应满足什么条件才可能是解？应满足什么条件才是客观的、真实存在的唯一的解？ （5分）3、试写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构（物理）方程。 （5分）解：平衡方程：e4 v ndx dy几何方程：外=磊耳6工cy物理方程:J与一 "（0 + 6）%）1% =后%1片万口1/犷=石

2、,4、在弹塑性力学中，用张量符号表示的方程2" " 0所代表的物理意义是什么？写出方程的j 1 ,IJ全称。（5分）二、计算题（80分）1、对于无体力的平面应力问题,如果一组连续的位移函数u u（x,y）、v v（x, y）可作为问题的解，试证明该位移函数必须满足2其中，2 x为泊松比。（20分）2、建筑在水下的墙体受水压、 的比重为 。设应力函数为集中力和集中力偶作用，如图所示。已知墙体的端部与水平面等高，水-323Ay Bx Cxy Dx y3Ex。试求墙体的应力分重。（20分）x3、已知一弹性力学问题的位移解为：2/ 22、u Z_（x y）;2a式中a为已知常数。试

3、求应变分量，并指出它们能否满足变形协调条件（即相容方程）4、设如图所示三角形悬臂梁，只受自重作用，梁材料的容重为Ax3 Bx2y Cxy2 Dy3O若采用纯三次多项式:作应力函数，式中 A、=Ay3+By25、矩形截面柱体承受偏心载荷作用，如果不计柱体臼身重量，则若应力函数为试求应力分量。设 O点不动，且其任意微线元不转动，求轴线的挠曲线方程。6矩形截面柱侧面受均布载荷 q的作用，如图所示。试求应力函数及应力分量(不计体力)7、如下图所示：为一由二杆组成的结构(二杆分别沿X、丫方向)结构参数：E(1) E 2 106kg/cm2,A(1)2A 2cm2。试写出下列FEM分析(1)写出各单元的刚

4、度矩阵；(2)写出总刚度矩阵；(3)求出节点2的位移U2x、u2y ；(4)求各单元应力。(20分)建筑在水下的墙体受水压，轴向压力尸和侧向力尸作用，如图所示。已知墙体的端部与水平面等高，水的比重为乃侧向力与水平面距离为2儿设应力函数为伊9=A'十五?7+或试求y =3h墙体截面的应力分量e_ F根据边界条件hy在 了 = 士 一处* er, R -ry, / =-2"6在 =0处,=24F在y=0处，自%刀加=2产我，£ =/在尸10处，g 工守dx * F t4C7A + Dh，= -AP .所以Z）由，c-亲应力分量为F 12F24 F3P 6尸 2T 工 -

5、）厂% 2h病墙体轴续在M方向的位移表达式为妙n 16劲/ + 10幼.3.已知一弹性力学问题的位移解为士 （13分）十城）”经加一丝2a ； a ； <i ；式中z为已知常数，试求应变分量，并指出它们直结满足变形协调条件（即相容方程） 解：将位移分量代入几何方程得；由于应变分量是工的线性函数，固如它们必然满足变形协调条件:dy2 dx2 为效 箱,十流J _七 a?a 方,办也 d*十浜彳二出以 dx2 比: 法治士也+男.勾=2也 加Gx dy dz ） d 砂设如图所示三角形悬臂粱，只,受自重作用，梁材料的容重为？若采用葩三次多项式, 二4 +R 1,+Cjy3+ 5/作应力函数，

6、式中A. D. C、D为待定常赞您试乘此悬臂梁的应力解, （15分）Xy第，* 0式代入V,夕二0 知福足,可检应力函域.用近的庖力分量为： CSC Fy = D. F广丫 >a'<J = v -= 2Cx+ 6Dy&y2丐二翳一吊尸=644+2&-»% =-f= -2 殊-2Cydxqy边界条件士±3力界：)=0,内二。，%=0,代入上式得1且=b =心融界；，=求g% 良=% = 0, / = cos,第=-sina,贝i；-sin a(2cx + 6Dxtg 苗 + cos a(-2cxtg d) .= 0>cos at-yx

7、tg a) - sin a(-2cxtg a) = 0汽 tgyctg.L - U =-于是应力解为:2 i3.q - yxctga- 2/jctg%y = -yy'% 二一4ctg 口5 .（类似）矩形截面后体承受褊心裁荷作用，如果不计柱体自身重最，则若应力函敛为（P f=4t*bJ试求，a应力分量和应变分量;、，假设。点不动，且嚼点截面内的任意微分爱段不能转动，求其位移分量:c,轴线的位移一探曲线方程06 .（不全）矩形截面柱侧面受均布载荷q的作用，如图所示.试求应力函数及应力分量（不 计体力）.设应力函数为班=（月下“ + 15Km + 耿、叫=劭耳卜3%，g4.如图所示三角形悬

8、臂梁只受重力作用，而梁的密度为，试用纯三次的应力函数求解。O解：纯三次的应力函数为3ax12-bx y cxy,3 dy相应的应力分量表达式为2x -T xfx 2cx 6dy, y2-yfy 6ax 2by gy, xxy2 2bx 2cy x y这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。 力边界条件。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应上边，y 0, l 0, m 1,没有水平面力，所以有(xy)y 0 2bx 0对上端面的任意 x值都应成立，可见b 0同时，该边界上没有竖直面力，所以有(y)y 0 6ax 0对上端面的任意 x值都应成立，可见a 0因此，应力分量可以简化为x

9、2cx 6dy , y gy, xy 2cy斜面，y xtan , l cos 一 2sin , m cos cos ,没有面力，所以有lx mvx.0xyxyxtanm y l x0yxyyxtan由第一个方程，得2cx 6dxtan sin 2cxtan cos 4cxsin 6dxtan sin 0对斜面白任意x值都应成立，这就要求4c 6dtan 0由第二个方程，得2cxtan singxtan cos 2cxtan singxsin 0对斜面白任意x值都应成立，这就要求由此解得从而应力分量为gxcot设三角形悬臂梁的长为I,高为的分量为0,沿y方向的分量为2ctang 0 (1 分)

10、gcot (1 分)，d22 gycoth,则 tanglh 。因此,1.2gy, xy gycot所求根据力的平衡，固定端对梁的约束反力沿x在这部分边界上合成的主矢应为零,x方向xy应当，一，1.合成为反力一 glh 。2h0 xdyglcot22 gycot2 , 2-dy glhcot gh cot0hxldy 0gycot dy1.2.1gh cot glh22可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。6.如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为,在一边侧面上受均布剪力，试求应力分量。"X解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，即设x 0。由此可知将上式对y积分两次

11、，可得如下应力函数表达式x,y fi(x)y f2(x)将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得4 -4 -d f1(x) d f2(x)dx4dx4这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的 自由项都应该等于零，即y值都应该满足它），可见它的系数和4 -d f(x)4 -d f2(x)dx4_3_ 2_f1(x) Ax3 Bx2 Cx I ,_3_ 2f2(x) Dx3 Ex2 Jx Kdx4这两个方程要求代人应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得3232y( Ax Bx Cx) Dx Ex对应应力分量为y(6Ax 2B)6Dx 2E gyxyx y_

12、2 _3Ax2 2Bx C以上常数可以根据边界条件确定。左边，x 0, l 1, m 0,沿y方向无面力，所以有(xy)x0 C 0右边，x b, l 1, m 0,沿y方向的面力为q,所以有2 (xy)x b 3Ab 2Bb q上边，y 0, l 0, m 1,没有水平面力，这就要求xy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bn( xy)y 0dx 0将xy的表达式代入，并考虑到C=0,则有：(3Ax2 2Bx)dx Ax3 Bx2 b Ab3 Bb2 0by在这部分边界上合而0( xy)y 0 0dx °自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求 成的主矢量和主矩均为零，即bb0( y)y 0dx 0 ,0( y)y 0xdx 0将y的表达式代入，则有b