四点共圆一复习课程

1、第二十四讲四点共圆（一）【知识要点】四点共圆的判定方法：1、若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）。2、若一个四边形的一组对角的和等于180度，则这个四边形的四个顶点共圆。3、若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆。4、若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点 共圆。5、若AB、CD两线段相交于 P点，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆。6、若AB、CD两线段延长后相交于 P点，且PA PB PC PD,则A、B、C、D四点共圆。7、若四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘

2、积，则四边形的四个顶点共圆。【典例精讲】例1、锐角 ABC的三条高AD、BE、CF交于H,在A、B、C、D、E、F、H七个点中.能组成四 点共圆的组数是（）A、4组 B 、5组 C 、6组D、7组例2、如图，A、B、C、D四点在同一圆上， AD的延长线与 BC的延长线交于 E点，且EC ED。（1）证明：CD/ AB ；（2）延长CD到F ,延长DC到G ,使得EF EG ,证明：A、B、G、F四点共圆.例3、如图，在梯形ABCD中，ADBC,点E, F分别在边AB , CD上，设ED与AF相交于点G,若B, C, F , E四点共圆，求证： AG GF DG GE .例4、已知点A(2,0)

3、, B(3,5),直线l过点B与y轴交于点C(0, c),若0、A、B、C四点共圆，则c的值为()A、22528R 一5、17、无法求出例5、在圆内接等腰三角形ABC的底边 BC上任取二点 D、E,延长 AD、AE分别交圆于 F、G,求证：AD AF AE AG.例6、如图，D, E分别是AB, AC边上的点，且不与顶点重合，已知 AE m, AC n , AD , AB为方程x2 14x mn 。的两根.(1)证明：C , B , D , E四点共圆；(2)若 A90,m4,n 6,求C, B, D, E四点所在圆的半径.例7、如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为 E ,

4、弦BM与CD交于点F .(1)证明：A、E、F、M 四点共圆；(2)证明：AC2 BF BM AB2.例8、如图，在平行四边形 ABCD中， BAD为钝角，且 AE BC , AF CD .(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于 M、N .求证：BM ND.例9、如图所示，I为 ABC的内心，求证： BIC的外心O与A、B、C四点共圆.例10、A、B、C三点共线，O点在直线外，O1, O2, O3分别为 OAB, OBC , OCA的外心.求证:O , Oi, O2 , O3四点共圆.例11、如图，在 ABC中，AD, BE分别是 A, B的角平分线，O是AD与

5、BE的交点，若C , D, O,E四点共圆，DE 3,则 ODE的内切圆半径为多少？例12、如图，点F是 ABC外接圆弧 BC的中点，点 B、 E、D、F四点共圆.D、E在边AC上，使得AD AB, BE EC。证明:例13、如图,(1)求证：(2)若 KEAH ACE、H、MEH , CE,EB BC, AE、K四点共圆；3求线段KM的长.BH BM .C例14、在 ABC的边AB , BC, CA上分另» D , E , F .使得DE BE, FE CE ,又点O是 ADF的外，(1)证明：D , E, F , O四点共圆；(2)证明：O在 DEF的平分线上.AOFDE例15、

6、如图，CD为 ABC外接圆的切线， AB的延长线交直线CD于点D , E、F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC AE（1）证明：CA是（2）若 DB BEDC AF , B、E、F、C 四点共圆.ABC外接圆的直径；EA,求过B、E、F、C的圆的面积与ABC外接圆面积的比值.例16、如图，锐角 点.（1）求证：A ,ABC的内心为D ,过点A作直线BD的垂线，垂足为D, F, E四点共圆；（2）若 C 50 ,求 DEFF，点E为内切圆D与边AC的切 的度数.11例17、如图，在正 ABC中，点D, E分别在边BC、AC上，且BD BC , CE -CA, AD , BE相 33交于点P,求证

7、：（1） P, D, C, E四点共圆；（2） AP CP.PE【强化训练】1、如图，AB是。O的直径，弦BD , CA的延长线相交于点 E, EF垂直BA的延长线于点F .求证：（1） BE DE AC CE CE2； （2） E, F, C, B 四点共圆.2、如图，已知AP是。O的切线,P为切点， AC是。的割线，与。O交于B, C两点，圆心 O在 PAC的内部，点M是BC的中点.（1）证明A, P, O, M四点共圆；（2）求 OAMAPM的大小.3、如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线， 切点分别为B、C, F , AC的延长线交BE于E . AD DC , D为

8、垂足.（1）求证：A、D、F、B四点共圆;DC的延长线交（2）求证：EFBE于FB .4、如图，已知 ABC中的两条角平分线 AD和CE相交于H , B 60 , F在AC上, 且 AE AF.(1)证明：B, D, H, E四点共圆；(2)证明：CE平分 DEF .5、如图，已知BA是。的直径，AD是。O的切线，割线 BD、BF分别交。O于C、E ,连接AE、CE .求证：BE BF BC BD .D6、如图，O O与。P相交于A、B两点，圆心P在O O上，O O的弦BC切。P于点B, CP及其延长线交 。P于D, E两点，过点E作EF CE,交CB的延长线于点 F . (1)求证：B、P、

9、E、F四点共圆；(2)若CD 2, CB 2J2,求出由四点B、P、E、F所确定圆的直径.PD与AO的延长线相交7、如图所示，已知 PA切圆O于A,割线PBC交圆O于B、C, PD 于点E ,连接CE并延长交圆O于点F ,连接AF .(1)求证:B, C,E, D 四点共圆；（2）当 AB 12 , tan EAF2»时，求圆3O的半径.8、如图， ABC是直角三角形，ABC 90 .以AB为直径的圆 O交AC于点E点D是BC边的中点，连OD交圆O于点M (1)求证：O, B, D, E四点共圆；(2)求证：2DE2 DM AC DM AB.9、如图所示，在RtABC中， ACB 9

10、0 ,点O为三角形外的一点， 以O为圆心，OC为半径的圆与边 AB相 切，切点为E,圆O与边BC相交于D点，直径EF与边BC交于G点，连接AG .求证：AG/ED .10、如图，在 AGF中， AGF是直角，B是线段 AG上一点,半圆于点C ,延长AC交FG于E .(1)求证 D、C、E、F四点共圆;GCD是。O的割线，过点G作AB的垂线,十 2GA的估,求的值.11、如图所示，AB是。交AC的延长线于点E ,O的直径，G为AB延长线上的一点,交AD的延长线于点F ,过G作。O的切线，切点为 H .求证：（1） C, D, F, E 四点共圆；（2） GH 2 GE GF .12、如图,上一点，且DE2EF EC。(1)求证:A、P、D、F 四点共圆。(2)若 AE 6, DE EB4,求PA的长.13、如图，由。于E