杆件的扭转理论天-ppt课件

1、3-1 3-1 直杆的改动直杆的改动根本概念根本概念1何谓直杆改动何谓直杆改动直杆在两端遭到作用于杆断面的大小相等方向相直杆在两端遭到作用于杆断面的大小相等方向相反的力矩扭矩作用，那么发生改动。反的力矩扭矩作用，那么发生改动。2普通直杆改动变形的特点普通直杆改动变形的特点 截面发生改动变形截面发生改动变形截面有能够发生翘曲截面有能够发生翘曲3直杆改动划分直杆改动划分圆断面杆的改动、非圆断面杆的改动圆断面杆的改动、非圆断面杆的改动 薄壁杆件改动薄壁杆件改动 开口、闭口薄壁杆件改动开口、闭口薄壁杆件改动2按杆件断面外形划分为：按杆件断面外形划分为： 1按翘曲变形能否受约束划分：按翘曲变形能否受约束

2、划分： 自在改动与非自在改动自在改动与非自在改动u自在改动自在改动u纯改动：纯改动：u非自在改动非自在改动u约束改动：约束改动：假设一等断面杆仅在两端遭到扭矩作假设一等断面杆仅在两端遭到扭矩作用，并不受其他任何约束，杆在改动用，并不受其他任何约束，杆在改动时可以自在变形。翘曲一致。时可以自在变形。翘曲一致。假设杆在遭到扭矩作用后，由于支座假设杆在遭到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在改动时不能自或其他约束存在使它在改动时不能自在变形在变形 。翘曲不一致。翘曲不一致dx式中式中 为扭矩，为扭矩， 为为断面半径，断面半径， 为为断面的断面的“极惯性矩极惯性矩 断面最大剪应力为：断面最大剪应力

3、为：tmaxM rJ tM2rd / 432Jd/ 3-1tMddxGJ 设设 为杆的扭角，那么单位为杆的扭角，那么单位长度的扭角长度的扭角 即扭矩为：即扭矩为：d/ dx 3-2圆断面杆的自在改动圆断面杆的自在改动研讨杆件的改动问题就是在给定的扭矩下求出杆件的改动应力与研讨杆件的改动问题就是在给定的扭矩下求出杆件的改动应力与变形扭角。满足刚周边假定条件。如以下图：最简单的等断变形扭角。满足刚周边假定条件。如以下图：最简单的等断面圆杆面圆杆 Mt Mt xlmax 如图：内径为和外径为如图：内径为和外径为 d=2r 和和 D=2R的空心的空心圆断面圆断面 如图可见断面剪力分布如图可见断面剪力分

4、布极惯性矩为：极惯性矩为： JDd 4432ttrM rM RJJ R及及 JDdD t 4431324式中式中 为薄壁管壁厚中心线的直径；为薄壁管壁厚中心线的直径； 为壁厚为壁厚D( Dd )/ 12t( Dd )/ 2内径及外径处的内径及外径处的剪应力分别为：剪应力分别为：对于薄壁杆件，对于薄壁杆件， r 与与R相差不大，可近似以为相差不大，可近似以为 与与 差不多相等差不多相等r R 由此：由此：式中式中 为薄壁管壁中心线所包围的面积为薄壁管壁中心线所包围的面积ttMMD ttJA 122AD / 214剪流为：剪流为：Rr3-33-4非圆断面的自在改动非圆断面的自在改动假设杆件断面不是

5、圆形，那么改动变形特征假设杆件断面不是圆形，那么改动变形特征 有所不同，其有所不同，其主要差别在改动时段面不在坚持主要差别在改动时段面不在坚持 平面而发生平面而发生“翘曲翘曲(warping)翘曲问题翘曲问题与圆截面自在改动的最大区别：与圆截面自在改动的最大区别： 在自在改动条件下，因杆改动不受妨碍，所以各段面在自在改动条件下，因杆改动不受妨碍，所以各段面 的翘的翘曲都一样，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且曲都一样，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线。仍为直线。但翘曲是自在的但翘曲是自在的应力分布不同应力分布不同如图：狭长矩形断面矩形段面长边或高度如图：狭长矩形断

6、面矩形段面长边或高度h与短边或高度与短边或高度t之比为大于之比为大于5的扭率：的扭率：tMGJ 31Jht3 tmaxM tJ 称为断面的称为断面的“改动惯性矩改动惯性矩变形变形断面在长边周界中点的剪应力最大，为：断面在长边周界中点的剪应力最大，为： 狭长矩形断面的变形及应力分布狭长矩形断面的变形及应力分布尺度比：尺度比：应力分布及最大剪应力应力分布及最大剪应力t23Mht 3-2 薄壁杆件的自在改动薄壁杆件的自在改动(a) (e)(d)(c)(b)薄壁杆件的定义薄壁杆件的定义薄壁杆件的划分：薄壁杆件的划分：开口薄壁杆件开口薄壁杆件闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件本章学习的目的：本章学习的目的：求解位

7、移及应力求解位移及应力开口薄壁杆件的自在改动开口薄壁杆件的自在改动 一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自在改动。在自在改动时，杆件断面不能坚持平面而发生自在改动。在自在改动时，杆件断面不能坚持平面而发生翘曲。如图生翘曲。如图a：工字形梁改动时的变形情况。：工字形梁改动时的变形情况。 可见梁的上下翼板相互转动了一个角度即扭角，梁的可见梁的上下翼板相互转动了一个角度即扭角，梁的断面不再为平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。断面不再为平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。 薄壁杆件在改动时断面虽然发生翘曲，但在小变薄壁杆件在改动时断面虽然

8、发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件改动后在其原来平面中的投影形情况下可以假定杆件改动后在其原来平面中的投影外形与原断面外形一样，即外形与原断面外形一样，即 “刚周边假定。刚周边假定。 (b)变形的根本假定条件变形的根本假定条件刚周边假定：刚周边假定：假定条件对分析产生的影响：假定条件对分析产生的影响： 在计算杆件断面在其平面内的改动位移时可把断面当作一在计算杆件断面在其平面内的改动位移时可把断面当作一刚体一样发生平面运动，断面在改动时各组成部分的扭角一样。刚体一样发生平面运动，断面在改动时各组成部分的扭角一样。t1t2t3tMMMM，整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件整个工字形断面的扭矩

9、满足力的平衡条件截面的力平衡条件截面的力平衡条件123 截面的变形条件截面的变形条件工字形断面在改动后的变形情况工字形断面在改动后的变形情况:123ttttMMMM 截面的力平衡条件截面的力平衡条件123123ttttMMMMGJGJGJGJ 式中：式中：311131thJ 322231thJ 333331thJ ，；变形条件变形条件ttJ MMJ 11每个狭长矩形承当的扭矩每个狭长矩形承当的扭矩提示提示: 截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进展分配，截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进展分配， 刚度较大的矩形，接受较大的扭矩。刚度较大的矩形，接受较大的扭矩。ittiJ MMJ ttttM

10、MMM 123ttM JMJ 11t2t2M JMJ t3t3M JMJ 23ttttM JM JM JMJJJ 1截面的总改动惯性矩截面的总改动惯性矩JJJJh th th t 3331231 12 23 3111333n3i ii 1aJht3 推行到普通推行到普通n个狭长矩形：思索到实践个狭长矩形：思索到实践中薄壁型钢断面的各组成部分在衔接处经过中薄壁型钢断面的各组成部分在衔接处经过圆角连成一体，因此刚度略为添加，所以惯圆角连成一体，因此刚度略为添加，所以惯性矩普通公式为：性矩普通公式为：hi与与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短分别为第个狭长矩形断面的长边与短边的长度，系数边的长度，

11、系数 与型钢断面外形有关与型钢断面外形有关 (3-9)截面上的应力分布：截面上的应力分布：tM tJ1 1max11截面上最大应力出如今厚度最大的矩形的长边中点处。截面上最大应力出如今厚度最大的矩形的长边中点处。右图为工字形断面在自在改动时的右图为工字形断面在自在改动时的 剪应力分布情况剪应力分布情况其分布规律为：其分布规律为：沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线处为零。处为零。tJ MJ1tJ 11tM tJ 1ti it iiiM tM tJJ maxlsJt ds 3013 恣意曲线外形的开口薄壁断面亦可以看作恣意曲线外形的开口薄壁断面亦可以看作 是狭长矩是狭长矩

12、形断面组合的结果图形断面组合的结果图a，故其改动惯性矩亦可用公式，故其改动惯性矩亦可用公式3-9推行得到：推行得到：式中式中s s为沿薄壁断面中心线的坐标为沿薄壁断面中心线的坐标;s1;s1为薄壁断面为薄壁断面的长度。的长度。 开口薄壁断面的改动惯性矩与壁厚的三次方成正比例开口薄壁断面的改动惯性矩与壁厚的三次方成正比例,因此壁因此壁厚的大小对改动惯性矩的影响甚为显著，即开口薄壁杆件的壁厚厚的大小对改动惯性矩的影响甚为显著，即开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭才干越小，反之薄壁添加，抗扭才干大大添加。越小，其抗扭才干越小，反之薄壁添加，抗扭才干大大添加。：ts1杆件在改动时断面中的剪应力将沿着断面构

13、成剪应力流。杆件在改动时断面中的剪应力将沿着断面构成剪应力流。用用 表示。表示。由于壁厚很小，故可以为剪应力沿壁厚不变，由于壁厚很小，故可以为剪应力沿壁厚不变， 闭口薄壁杆件的自在改动闭口薄壁杆件的自在改动f 其主要特征是：其主要特征是：ft t如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端遭到扭矩如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端遭到扭矩 M t作用而发生改动。作用而发生改动。X轴为型心轴。轴为型心轴。MtMt0 dxxf0s dsf薄壁杆件自在改动时，断面上恣意点的剪应力与壁厚的乘薄壁杆件自在改动时，断面上恣意点的剪应力与壁厚的乘积一直不变。积一直不变。 由平衡条件：由平衡条件：dxxdsyzxo现杆

14、件中取出现杆件中取出 的一微块如图，在微块的断面上有剪流的一微块如图，在微块的断面上有剪流 dxds 及及fdsfdxdsdxxff ffds dxs 剪力流等于常数剪力流等于常数o杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于扭矩，如今把剪流对断面与扭矩，如今把剪流对断面与x轴的交点左图中轴的交点左图中O点取矩，那么有：点取矩，那么有： tMrdsffrds Ards2 tMAf 2AMtft2 式中式中r为剪流为剪流f到到O 点的垂直间隔；点的垂直间隔；rds为断面上为断面上 ds长度与长度与O点之间所构成点之间所构成的三角形面积的两倍；的三角形面积的

15、两倍； rds沿断面周长的积分那么为断面中心线所围成沿断面周长的积分那么为断面中心线所围成的面积的两倍，我们用的面积的两倍，我们用2A表示之，即表示之，即这就是闭口薄壁杆件自在改动时的剪流计算公式，称为这就是闭口薄壁杆件自在改动时的剪流计算公式，称为 布雷特布雷特Bredt公式。公式。于是得于是得 或或rfdsA(3-12)(3-13) 以下用资料力学中的以下用资料力学中的“单位力法推导联络扭角与剪应力的单位力法推导联络扭角与剪应力的“ 环流方程环流方程 将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一形状，如图将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一形状，如图 a ；同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第

16、二形状，如图同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二形状，如图b。 dsdx 为了计算应变能，在杆中思索为了计算应变能，在杆中思索 的微块，的微块，dxds MtMt11lds (a)(b)于是第二形状外力单位扭矩对第一形状变形扭角的功于是第二形状外力单位扭矩对第一形状变形扭角的功 1那么有应变能为那么有应变能为 :dx=第二形状的内力对第一形状应变的功即应变第二形状的内力对第一形状应变的功即应变能。能。为第二形状中的剪应力为第二形状中的剪应力 ; 为第一形状杆中的剪切角为第一形状杆中的剪切角 ldxtds00 At2/10 G/ lldsAGldxAGdsdxtds00022 dsAGl 21

17、所以：所以：于是得：于是得：或或此式为环流方程式。将此式为环流方程式。将3-13式代入后，即得闭口薄壁自在改动的式代入后，即得闭口薄壁自在改动的扭率为：扭率为：(3-14)dsds2AG2AG1 1闭口薄壁自在改动的扭率为：闭口薄壁自在改动的扭率为：闭口薄壁自在改动的剪应力：闭口薄壁自在改动的剪应力：AtMAMtftt2,2dsAG21024221GJMtdsGAMdsAtMAGttttdsAJ204环流方程式环流方程式闭口薄壁断面闭口薄壁断面的改动惯性矩的改动惯性矩(3-15)(3-16) batbatbtaabJ 22202224对于宽为对于宽为a ，高为，高为b，厚度为，厚度为t 的盒形

18、薄壁断面的盒形薄壁断面,由由3-16式得：式得：a(3-17)bt对于直径为对于直径为D1，壁厚为，壁厚为t的圆管，由的圆管，由3-16得得t tD D4 4t tD D4 4D D4 4J J3 31 11 12 21 10 0左边左边ABCF为第为第 区，剪流为区，剪流为右边右边CDEF为第为第 区，剪流为区，剪流为213fff 将其分为两区：将其分为两区：方向如图，于是两个区公共壁即方向如图，于是两个区公共壁即CF 中的剪流为方向向上中的剪流为方向向上任取图中任取图中 O点，建立力矩等于扭矩点，建立力矩等于扭矩 Mt的方程式：的方程式： 1f2f左图为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁左图

19、为双闭室断面。设此双闭室断面的薄壁杆件在扭矩杆件在扭矩Mt作用下发生自在改动，此时，作用下发生自在改动，此时，断面中每一段的剪流断面中每一段的剪流 常数的结论常数的结论依然成立。下面计算这个剪力流大小。依然成立。下面计算这个剪力流大小。 tCFCDEFFABCMrdsffrdsfrdsf 2121 tf 式中式中 为剪流到点为剪流到点O的垂直间隔；积分号下面字母为积分的道路。的垂直间隔；积分号下面字母为积分的道路。上式可改写为：上式可改写为： AFBC ED1f2fO1212121212FABCCDEFCFCFFABCCFCDEFCFFABCCFCDEFFCtf rdsf rdsf rdsf

20、rdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsrdsfrdsfrdsM 12AtMfAfA22112222A可得：可得：(3-18) AFBC D1f2fOE补充方程式：补充方程式： 变形的根本条件变形的根本条件 扭率相等扭率相等213fff 此方程有两个未知数和，所以不能求解，为此列补充方程式。此方程有两个未知数和，所以不能求解，为此列补充方程式。 AFBCD1f 2fOE1f2f令令 ， 可得：可得：联立方程联立方程3-18和和3-19，即可求出，即可求出 ， 和扭率。和扭率。式中式中 为为CDEF段的壁厚段的壁厚同理对第同理对第 区有：区有：式中式中 为为FABC段的壁厚；段的

21、壁厚； 为为CF 段的壁厚。段的壁厚。 FABCCFdstffdstfGA321111121 CDEFFCdstffdstfGA321222221 2t 21 FCCDEFCFFABCdstffdstfAdstffdstfA321222321111113t1t 1f2f(3-19)现详细计算现详细计算 一简单的例子。如下图的一简单的例子。如下图的等厚度双闭室断面，这时公式等厚度双闭室断面，这时公式3-18将为：将为：tMfafa 221222 2212aMfft tafftafAtafftafA2122113131 2221133ffffff 2214aMfft 或或3-20公式公式3-19将

22、为：将为：或或3-21公式公式3-21给出给出 ，代入，代入3-20中，即得：中，即得： 21ff 1f2ftaa/2a0213 fff因此，断面中面壁上的剪流为因此，断面中面壁上的剪流为 。此杆扭率为：此杆扭率为：3830taJ 这个改动惯性矩与宽为这个改动惯性矩与宽为2a，高为，高为a，厚度为，厚度为t的单的单闭室断面得改动惯性矩一样，这是由于所论的双闭室断面得改动惯性矩一样，这是由于所论的双闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在闭室断面的中间壁上没有剪应力，因此中间壁在改动中不起作用，所以其改动惯性矩就和上述的改动中不起作用，所以其改动惯性矩就和上述的单闭室断面一样。单闭室断面一样。

23、0322183342132GJMtGaMtaaMGataGAfttt 此双壁室断面的此双壁室断面的改动惯性矩为：改动惯性矩为：薄壁杆断面有两个及两个以上以上的闭口构成，求薄壁杆断面有两个及两个以上以上的闭口构成，求出自在改动时的剪力流、扭率、断面改动惯性矩出自在改动时的剪力流、扭率、断面改动惯性矩1、建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩、建立断面中每一室的剪流的力矩之和等于扭矩的方程式；的方程式；2、建立各室扭率一样的方程式、建立各室扭率一样的方程式.3、联立求解剪流、联立求解剪流 和扭率和扭率 。4、在最后得出了扭率之后，将扭率写成、在最后得出了扭率之后，将扭率写成的式子，式中的式子，式

24、中 就是所结论面的改动惯性矩。就是所结论面的改动惯性矩。0/ GJMt0Jf20422bsiedAJBHbdBbttttt A=BH-bd 由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗由于在同样的外形及壁厚情况下闭口断面比开口断面有更大的抗扭刚度，所以假设杆件断面既有闭口又有开口部分，那么在计算改动扭刚度，所以假设杆件断面既有闭口又有开口部分，那么在计算改动惯性矩时常可以不计开口部分的面积。单壁的集装箱断面惯性矩时常可以不计开口部分的面积。单壁的集装箱断面,如图如图a就是这种例子。为使弦侧在改动中发扬作用，目前有将集装箱船做成就是这种例子。为使弦侧在改动中发扬作用，目前有将集装箱船

25、做成双壁的，如图双壁的，如图b。bdBtbtstitetdH如图如图b，断面成了多闭式的，其抗扭刚度提高很多。计算时可将，断面成了多闭式的，其抗扭刚度提高很多。计算时可将其中的纵绗等略去而近似当作一闭室来处置。其中的纵绗等略去而近似当作一闭室来处置。(a)(b) 抗扭弯抗扭弯矩为：矩为：式中式中(3-22)3.1 计算图示薄壁断面的改动惯性矩单位：计算图示薄壁断面的改动惯性矩单位：mma ab b433334 .268 . 088 . 0201653131cmthJiii433336 .602 . 1151352 . 1703131cmthJiii4 45 52 22 20 02 22 22

26、20 00 0t t2 2t tt tcmcm10102.7752.775131.68131.683023.23023.24 4t tdsds4A4AJ J131.68131.680.8)0.8)(20(202 22 240401.61.61 1t tdsds3023.2cm3023.2cm0.8)0.8)(20(2041.641.64040A At tdsds4A4AJ J, ,GJGJM Mt tdsdsG G4A4AM Mdsds2At2AtM M2AG2AG1 1闭口薄壁杆件：闭口薄壁杆件：3.2 设有两根同样长度的直杆，两端手扭矩发生自在改动，一设有两根同样长度的直杆，两端手扭矩发生

27、自在改动，一杆为闭口断面，另一杆为开口断面，如以下图。不断杆为闭口断面，另一杆为开口断面，如以下图。不断a=40cm，t=2cm，此两杆在一样的扭矩作用下扭角相差多少倍？，此两杆在一样的扭矩作用下扭角相差多少倍？3 30 00 0( (倍倍) )2 24 44 40 03 3t ta a4 43 3a at t3 34 4t ta aJ JJ JG GJ JM Mt tG GJ JM Mt t两两者者扭扭转转角角之之比比( (4 4a a) )t t3 31 1t th h3 31 1扭扭转转惯惯性性矩矩J Jb b) )为为开开式式薄薄壁壁断断面面，t ta at t4 4a a) )4 4

28、( (a at td ds s4 4A A面面，扭扭转转惯惯性性矩矩J J解解：a a) )为为闭闭式式薄薄壁壁断断2 22 22 22 23 33 30 00 0a ab ba ab b3 3i i3 3i ii i3 32 22 22 20 03.3 比较正方形管与圆管截面的杆件如以下图，假设二者的壁厚及断面比较正方形管与圆管截面的杆件如以下图，假设二者的壁厚及断面面积均一样，在遭到同样大小的扭矩作用时，哪一个杆件的改动剪应力大，面积均一样，在遭到同样大小的扭矩作用时，哪一个杆件的改动剪应力大，大多少倍？大多少倍？倍应力大，大扭矩相同时正方形管剪倍积相同正方形管与圆管截面面）（）（圆方方圆圆方圆方238. 1)(238. 14)2(4)2()(4422AA222222222tRattRtRRatatRatRtAMttAMtAMtftaata/2a/21f 2f3f3.5 计算以下图所示三闭室薄壁断面的改动惯性矩，假定计算以下图所示三闭室薄壁断面的改动惯性矩，假定壁厚壁厚t为常数。为常数。解：假定见刘方向为图示方向，各点编号如图解：假定见刘方向为图示方向，各点编号如图ACBDHEFGtDEFGG