《理学量子物理》ppt课件

1、1一、力学量一、力学量算符的对易关系式算符的对易关系式对易则若称为算符的对易式定义BABAABBABA, 0, :,:CBCACBACABACBAABBA对易的性质.0, , , ,恒等式JacobiBACACBCBABCACBACBACBACABCBA2二、位置算符和动量算符的对易关系二、位置算符和动量算符的对易关系:?, xPxiPxixppxxxx, ipxxpxx ) ( 3 , 2 , 1,0,0,jippxxipxjijiijji1. 位置算符和动量算符位置算符和动量算符3三、与轨道角动量有关的对易式三、与轨道角动量有关的对易式:1. 位置算符和角动量算符位置算符和角动量算符yiL

2、xziLxLxzyx, , , 0, 2. 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符yzxzyxxxpiLppiLpLp, , , 0,仍旧成立轮换后以上各式经过,xzzyyx4,zyxzpxpzpzpy ,zxyzyxpxpzpzpyLL 证：证：,zyxyzzxzpxpzpzpzpxpypzpy yzzyzxxzppxzpxpzppzypzpy, yzxzppxzpzpy, yzyzxzxzppxzppzxpzpyppyz, yxpixpiy)()( xypypxi zLi 0,yxpp3. 角动量算符各分量之间对易关系角动量算符各分量之间对易关系5证明得到：zyxLiLL,xzyLiLL

3、,yxzLiLL,zxyLiLL,xyzLiLL,yzxLiLL,LiLL?,2xLL证明得到：; 0,222zyxLLLLLL2222zyxLLLL6一、一、共同本征函数共同本征函数定理2（逆定理）:如两算符对易，则它们有共同本征函数组，且此本征函数组构成完备函数组。 nk定理1：如果两算符有共同本征函数组 且 构成完备的函数组，则这两个算符对易。, 2 , 1,knnkknnknka,定义: 若态函数nk既是算符的本征态,又是算符B的本征态,则nk是算符A,B的共同本征态.7n共同本征态下，对应力学量同时有确定值；共同本征态下，对应力学量同时有确定值；n两算符对易，若体系态并非两算符对易，

4、若体系态并非共同本征态，则二者共同本征态，则二者均无确定值；均无确定值；n多个两两多个两两对易算符，也可以有完备的对易算符，也可以有完备的共同本征函共同本征函数组；数组；讨论：讨论：8二、二、力学量完全集力学量完全集),(21AAA),(21AAA力学量完全集中力学量的数目系统的自由度数例例 .,)2(1)(,2/3zyxrpipzyxppperppp同同时时有有确确定定值值：共共同同完完备备本本征征函函数数系系：两两两两对对易易；动动量量算算符符： 9一、一、量子力学中的测量问题量子力学中的测量问题求平均值的过程求平均值的过程1.要讨论力学量F的测量，首先必须知道被测力学量 的算符表示 。F

5、2.解本征值方程 ，如可求得相应本征值和本征函数，则处于 的本征态，本征值即测量值。 nnnFF3.如果不处于 的本征态，平均值即测量值。F计算平均值：nnncdcnn其中a）nnncF24.测量值的离散程度，用方均偏差表示222FFF5.同时测量问题（每个力学量都存在方均偏差）dFFb）10二、不确定度关系二、不确定度关系:1. 什么是不确定度关系什么是不确定度关系?不确定度关系，就是指在同一状态下不同力学量的均方偏差之间的关系。?, :的下限是什么对于各种不同的波函数即BA 对易如果Ba,A )0,的下限为的共同本征函数尽量接近可取BABA11不对易如果Bb,A )中的平均值它在必为厄米算

6、符,C可证明：CBA21CiABBABA,:的对易关系为和设算符BAdABBAiC)(*不确定度关系不确定度关系12中的平均值在、表示和、以CBACBABBBAAA,令：考虑恒正积分：证明过程： 02dBiAI为实参量13 dBiABiAI)()(*dBdABBAidAdABBAidBBdAA2*2*2*2)()()()()()()()()()()(14 CiBAABBAAABBBBAAABBA, 0222BCAI4/*222CBA4/*222xpxABBACBA2121不确定度关系不确定度关系狭义的不确定度关系狭义的不确定度关系15不确定关系的几点说明不确定关系的几点说明1.不确定关系是微观

7、粒子波粒二象性不确定关系是微观粒子波粒二象性 本性的反映本性的反映2. 不确定关系指出了经典理论的适用范围不确定关系指出了经典理论的适用范围不能同时确定，但如果不能同时确定，但如果 相对相对pr和pr 和pr和来说可以被忽略，则粒子的运动可以用经典理来说可以被忽略，则粒子的运动可以用经典理论来描述。论来描述。163. 不确定关系否定了微观粒子的不确定关系否定了微观粒子的“轨道运动轨道运动”0rr不可能完全确定不可能完全确定4. 4. 势能和动能不可能同时有确定值势能和动能不可能同时有确定值不能同时确定不能同时确定pr和不能同时确定不能同时确定 U rp 和和T T量子力学中不能用量子力学中不能

8、用E=T+U来讨论问题来讨论问题17例：若电子与质量例：若电子与质量 m = 0.01 Kg 的子弹，都以的子弹，都以 200 m/s 的速度沿的速度沿 x 方向运动，速率测量相对误差在方向运动，速率测量相对误差在 0.01% 内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达内。求在测量二者速率的同时测量位置所能达到的最小不确定度到的最小不确定度 x 。解：（1）电子位置的不确定度电子动量不确定度电子动量不确定度01.0PPx%01.0vme%01.02001011.931132smkg108 .118xPx2/m10897.23（2）子弹位置的不确定度01.0PPx%01.0mv14smkg100 .2子弹动量不确定度子弹动量不确定度m10636. 231xPx2/19原子直径原子直径1010-10-10m m，电子，电子m103x是原子大小的几亿倍。电子用轨道描写毫无道理