理论力学动量定理

1、动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述 从本章起将讲述动力学普遍定理动力学普遍定理，包括动量定理、动量矩定理、动能定理。 它们以简明的数学形式，表明两种量 一种是同运动同运动特征相关的量特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量同力相关的量(冲量、力矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 本章研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与动量的改变与力的冲量之间的关系力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理。质点系的质量中心称为质心质点系的

2、质量中心称为质心。定义质心 C 点的矢径为： 11-1 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力iMm i iCmrM rMzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,一一. 质点系的质心质点系的质心i iCm rrM于是其中在直角坐标上投影，得 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合，可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。如果物体的质量均匀分布，则其质心与形心的位置重合。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：( )( )( )0 , ()0 ()0iiiiOixiFmFm F或二、质点系的内力与外力二、质点系的内力与外

3、力外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系的力。内力内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。11-2 动量与冲量动量与冲量 1.1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的称为质点的动量。动量。 为瞬时矢量，方向与v 相同。单位：kg m/s。 一、动量一、动量2.2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。iipmv注意到i iCmrMr两边对时间求导，得CpM v即质点系的动量就等于其全部质量与质心速度的乘积质点系的动量就等于其全部质量与质心速度的乘积。连杆AB：2 52ABP

4、Cl 例例1曲柄连杆机构的曲柄OA以匀速度 转动，设OA=AB=l ，曲柄OA及连杆AB都是匀质杆，质量各为m ， 滑块B的质量也为m。求当 = 45时系统的动量。11 , 2Cm vl22, CABm vPC曲柄OA：（P为连杆AB的速度瞬心）33, CABm vPC滑块B：解解:52l2l1253125122222221010mlij1515sin45cos2cos45sin2222mlllillj1222mlij123CCCpmvmvmv系统的动量为11223(sincos) (cossin)() CCCCCmvivjvivjvi 2 2xpml 22ypml112Cvl252Cvl32

5、Cvl2力是变矢量：（包括大小和方向的变化）FIF ttddFI 0dtIF t1力是常矢量：F力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量。二冲量二冲量 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。元冲量元冲量：冲量冲量：冲量的单位：N s 与动量单位相同。2kg m/sskg m/s 11-3动量定理动量定理一质点的动量定理一质点的动量定理d()dmvFt即在某一时间间隔内，质点动量的增量等于作用于质点上的力在该时间内的冲量。Itmdd)d( Fv00dtmvmvF tI则得

6、质点的动量定理： 微分形式微分形式：即质点动量的微分等于质点上力的元冲量。 积分形式积分形式：由于二质点系的动量定理二质点系的动量定理( )( )d()dieiiiim vFFt( )( )d()dieiiiimvFFt()ddeipFt对整个质点系：对质点系内任一质点 i， 0iiF注意到d()iimv则得质点系的动量定理质点系的动量定理即质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力主矢）。矢量和（外力主矢）。diimvd p()d() deipFt简化为 质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的质点系动量的微

7、分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。矢量和。 在某一时间间隔内，质点系动量的增量等于这段时间内在某一时间间隔内，质点系动量的增量等于这段时间内作用于质点系上所有外力冲量的矢量和。作用于质点系上所有外力冲量的矢量和。 积分形式积分形式)(0eiIpp 微分形式微分形式()ddeipFt 故质点系的内力不能改变质点系的总动量，但可以引起质点系的内力不能改变质点系的总动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。系统内各质点动量的传递。eipieIdtF)()(dd 投影形式：投影形式：)(eixxFdtdp)(eiyyFdtdp)(eizzFdtdp)()(0t0eixexxdtFIixpp)(

8、)(0t0eiyeyydtFIiypp)()(0t0eizezzdtFIizpp若 ，则 为常矢量。( )0eiF0pp若，则 为常量。( )0eixF0 xxpp三三. 质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律()ddeipFt)(0eiIpp解解: 以活塞为研究对象，采用积分形式的动量定理。取坐标轴Ox向右为正，根据公式有xxxImvmv12在给定条件下21 dtxxtIFt(a)(b)例例2设作用在活塞上的力为F，按规律F=0.4mg (1- k t)变化，其中m为活塞的质量，k=1.6 s-1。已知 t1= 0 时活塞的速度 v1= 0.2 m /s，方向沿水平向右。试求 t2= 0.5

9、s时活塞的速度。将式(b)代入式(a)，得)21 (4 . 0)(2212tkmgtvvm21220.4(1)2kvvgtt2 00.4(1)dtmgktt220.4(1)2kmg tt 9.8 0.5(10.5)21.38 m/so10 3cos301050例例3 有一质量 m =10 kg的邮包从传送带上以速度v1= 3 m /s 沿斜面落入一邮车内，如图所示。已知邮车质量 M=50kg，原处于静止，不计车与地面间摩擦，求邮包落入车内后车的速度v2 。解解: : 将邮包、邮车分别视为两质点，组成一质点系。因作用于质点系上的外力水平方向上投影的代数和为零，故质点系的动量在水

10、平方向上的投影应保持不变，即 o12cos300()mvmM v解得o12cos30mvvmM0.433 m/s( )ddyeypFt 例例4如图所示物块 M1、 M2 ，重量各为W1、 W2 (W1W2)，挂在绳子两端，绳子绕在重量为W的均质滑轮上，设M1下降时其加速度为 a1 。求支座对滑轮的约束反力 FN 。解解: 两物块和滑轮组成一质点系。作用于质点系上的外力有重力W1、 W2 、 W 和支座对滑轮的约束反力 FN。设M1下降时速度为v1 ，应用质点系动量定理，在坐标轴 y上的投影式为：其中1 122ypm vm v 解得12N121WWFWWWag( )N12eyFFWWW121WW

11、vg 运动分析：运动分析：设经过 dt 时间后，流体AB运动到位置ab，则例例5流体流过弯管时，在截面A、B处平均流速分别为v1 、v2，求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流动是稳定的，流量Q为常量，密度为 。d aBabABaBBbAappppppp21 d d()aBaBBbAapppppQ tvv 解：解： 取截面A、B之间流体作为研究的质点系。受力分析受力分析如图示。由质点系动量定理，得2112d()d()dpQ vvtWPPRt动反力动反力12()RWPP 21()RQ vv计算 时，常采用投影形式 R21 ()xxxRQ vv21 ()yyyRQ vv与 相

12、反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力。 R1221()()RWPPQ vv 于是得2112d()d()dpQ vvtWPPRt其中，静反力静反力11-4质心运动定理质心运动定理由质点系动量定理有CpMv( )d()deCiM vFt若质点系质量不变，则：( )eCiM aF此即质心运动定理质心运动定理（或质心运动微分方程质心运动微分方程）。它表明，质点系质点系的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的的质量与质心加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力主矢）。矢量和（外力主矢）。1. 投影形式：投影形式：( )( )( ) , , eeeCxixCyiyCzizMa

13、FMaFMaF2( )( )( )d , , 0deeeCCiinibvvMFMFFt( )ddeipFt注意到代入得 2. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。由质心运动定理知， 质点系质心的运动质点系质心的运动可看成为一个质点的运动，可看成为一个质点的运动， 该质点集中了整个质点系的全部该质点集中了整个质点系的全部质量及其所受的全部外力质量及其所受的全部外力。 此外，只有外力才能改变质点系质心的运动，而内力不能只有外力才能改变质点系质心的运动，而内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。3. 质心运动

14、守恒定律质心运动守恒定律若 ，则 常量，即质心沿 x方向的速度不变；若开始时 则 常量，即质心在x轴的位置坐标保持不变。( )0eixFCxCxva , 000CxvCx若 ，则 常矢量，即质心作匀速直线运动；若开始时系统静止，则质心位置 始终保持不变。 0)(eiF0 , CCavCr例例6质量为M的大三角形柱体， 放于光滑水平面上， 斜面上另放一质量为m的小三角形柱体，求小三角形柱体滑到底时，大三角形柱体的位移。解解：取取两柱体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析:( )0exF则 常量。Cx 设大三角形柱体的位移为S，则 ()mSabMm1233MambMm1233MaSmb

15、SabMm解解: 取整个电动机为质点系研究，分析受力分析受力， 受力图如图示。 例例7 电动机的外壳固定在水平基础上，定子和机壳的质量为m1, 转子质量为m2 , 设定子的质心O1通过转子的轴, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。已知转子以角速度匀速转动，求基础作用在电动机底座上的约束反力。运动分析运动分析：定子质心加速度a1 = 0，转子质心 O2 的加速度a2 = e2，方向指向O1。21 1222sinyymam am et 2222cossinxyaetaet 根据质心运动定理，有CxMa( ):eCyiCiyiyMam aF22 cos,xNm et 可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1 = 0a2 = e221 1222+cosxxm am am et 2122sinyNm gm gm etiCixma( ):eixFxN12yNm gm g321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm解：解：取起重船、起重杆和重物组成的质点系为研究对象。 0iiPx例例8浮动起重船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力