专题18.7用勾股定理解决最值问题(专项练习)-2020-2021学年八年级数学

1、专题18. 7用勾股定理解决最值问题（专项练习）通过勾股定理的学习，求线段最值问题是本章学习的一个重要内容，通过分析，其求 最值问题有以下几个类型：类型一、利用两点之间线段最短解决最值问题；类型二、利用点线之间垂线段最短解决最值问题；类型三、图形折叠变换中利用勾股定理解决最值问题；类型四、通过勾股定理利用非负性解决最值问题；类型五、立体图形中通过勾股定理解决最值问题。类型一两点之间，线段最短 1.已知如留，正方形的边长为8, M在DC上，且OM=2, N是/C上的一动【答案】B【思路点拨】此题理论依据为：两点之间，线段最短，此题两定点D、M, 一动点N,简称：两定一动； 解题思路：两定一动，动

2、点在对称轴上，两定点中，有对称点找出来，没对称点作出来（作 一个定点的对称点），连接对称点与另一定点，与对称轴交点就是最小值时的动点位置，最 后把“折打直”解决问题解：根据题意，连接BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值，在 R3BCM 中，BC = 8, CM=6根据勾股定理得：BM=T677F=1O> 即DN-MN的最小值是10： 故选B.【点拨】此题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法,然后熟练运用 勾股定理.【专项练习】1 .在平面直角坐标系中，已知点4Y/），点8（-2,-3）,点P（0"）,则AA + 总的最小值为（）A. 2>/13B.

3、 5C. 2MD. 2m132 .如图，在8c中，AC = BC = 29乙4。8 = 90>。是3c边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ £。的最小值是（）A. 2B应C. 4D."3 .如图，等边aABC的边长为&A。是8C边上的中线，点E是AC边上的中点.如果点夕是A。上的动点，那么石尸 + CP的最小值为（）A. 4B. 26C. 3了D. 4>/34 .如图，如图，在等边AABC中，AB=6, AD_LBC, E是AC上的一点，M是AD上的点,若AE=2,求ME+MC的最小值（）A. 2"B. 2C. 4D.疝5.如图，在MBC中，

4、AC=BC9 ZACJ3=9009 点Z)在5c上，BD=6, CD=2,点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值是()RA. 7B. 8C. 9D. 106 .如图，在四边形中，N4=90。，AD/BC, AB=4,点P是线段HD上的动点,连接6尸，CP9若勘C周长的最小值为16,则5C的长为()A. 5B. 6C. 8D. 107 .如图，在平面直角坐标系中，点A (10,12),点B在x轴上，AO=AB,点C在线段OB 上，且OC=3BC,在线段AB的垂直平分线DE上有一动点G,则4BCG周长的最小值为 ().A. 2而B. 13C. 6>/5D. 188 .如图，在3c中，Z4B

5、C = 90°, BC=t ZA = 30°, M、N 分别是A3、AC上的任意一点，求/WN + N3的最小值为（）c f4 "9 .如图，必aABC中，AC = BC = 29点DE分别是AC的中点，在CO上找一点P,使AA + P石最小，则这个最小值是（）A. 4C. V2-110.如图，等边aABC的边长为2, AO是边8c上的中线,M是AO上的动点，E是边AC上的中点，若AE = 1,求EN+CM的最小值为（Ac. 20. 611 . RtaABC 中，ZACB=90° , AC=20, BC=10, D、E 分别为边 AB、CA 上两动点，则

6、 CD+DE的最小值为（）则的最小值是（）C. 3A. 4岳8 B. 16 C. 8小 D. 2012 .如图，正方形ABCD的边长为3, E是BC中点，P为BD上一动点，则PE+PC的最小值为D. 213 .如图，NS=30。,线段6c=2,点E、尸分别是线段6c和射线上的动点，设/= CF + EF,B. 2D. 414 .如图，已知N5=30。，线段6c=2,点E,尸分别是线段6C和射线6/上的动点，则CF+EF的最小值是（）B. 2C. y/315 . 一次函数> =丘+人的图象与X轴、y轴分别交于点A（2,0）,3（0.4）,点C,。分别是OA,43的中点,P是。8上一动点.则

7、AOPC周长的最小值为（）A. 4B.小C. 2、/JD 25/2 + 216 .如图，在ABC中，ZACB=90° , AC=BC=2, D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（）A. 3B. y/3C. 75D. 2>/217 .如图，在菱形A3CQ中，448c =120° ,点E是边48的中点，户是对角线AC上的 一个动点，若但，则“陷的最小值是（）C. 218 .如图，在AA8C中，AB=AC=8, ZBAC=60° , E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则反+ £/；的最小值是（C. 8D. 87319.已知

8、：在 RSABC 中,ZO90% BC=1,AC=# ,点，是斜边相的中点，点E是边47上一点，则困班的最小值为（）5【答案】C12TD. 5A. 2 B.6+l C.万D. 2。类型二：点线之间，垂线段最短 ,如图，在Rt/VIBC中，ZACB =90°, AC = 3, 8c = 4, A。是的平分).线，若P、。分别是4。和AC上的动点，则PC + PQ的最小值是（【思路点拨】此题理论依据为：点线之间，垂线段最短，此题两动点P、Q, 一定点C,简称：“两动一定”: 解题思路：两动一定，此类题往往以垂线段最短为解题方向，结合角平分性质：角平分线 上的点到角两边距离相等，把“折打直

9、”再通过等面积法解决问题。解：如图，作CQUAB于Q，交AD于点P,作PQLAC此时PC+PQ最短.VPQ±AC, PQ'J_AB, AD 平分/CAB,APQ=PQ .-.PQ+CP=PC+PQ/=CQ根据垂线段最短可知此时PC+PQ最短.在 RtZiABC 中，V ZACB=90% AC=3, BC=4,J AB=7AC? + BC? = V32 +42 =5,V->AC>BC=i*AB<Q; 22AC BC 12ACQ = ，AB 512PC+PQ的最小值为彳, 故选C.本题考查轴对称-最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点P、Q

10、的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型.20.如图，在445c中，有一点尸在直线/C上移动，若/6=/。=5二国7=6,则BP的最小C. 4D. 4.821.如图，在三角形4BC中，于点/, AB=69 AC=89 6c=10,点尸是线段SC上的一点，则线段尸的最小值为A322.已知ZUSG AB=5, 6c=12, AC=13f点尸是4C上一个动点，则线段6尸长的最小值是（）A,竺13B. 530D. 1223 .如图，在:ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB=AC=5, BC=6,则BP的最小值为（）C. 4D. >/2424 .如图，OC平分NAOB,点P是OC

11、上一点，PMJLOB于点M,点N是射线OA上的一个动点，若OM=4, OP=5,则PN的最小值为（）B. 3C. 4D. 525 .如图，在3c中，有一点尸在AC上移动，若A3 = AC = 5, BC = 6,则AP + 3P+CP的最小值为（）8C. 8.8D. 9.826 .如图，在平面直角坐标系中A（4, 0）, B（0, 3）, P是线段AB上的一个动点，则OP的最小值是（12TD.27.如图，在长方形ABCD中，AB=6, AD = 8,若P是AC上的一个动点，贝J AP+BP+CP的最小值是。B. 14.8C. 16D. 1828.如图，在锐角Z：ABC中，AB=6,二BAC=6

12、0。，Z1BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）D. 6829.如图，在&446C中，ZACB=90°f AC=69 6c=8, E为/C上一点，且4E=二，4D平分NB4c交5c于若P是HD上的动点，则PC+PE的最小值等于（）30.如图，A8C中，AB = AC = O9 BC = 29点。在边AC上运动，则8。的最 小值为（）A. 7.2B. 8.0C. 8.8D. 9.631.如图，在 R% ABC 中,Z4CB = 9O°, AC = 3, 8c = 4, AO平分 NC4B 交 8c 于D点,E9 F分别

13、是AO, AC上的动点，则CE + E尸的最小值为()32.如图，在锐角力8c中，AB = 4V2,乙BAC =45,乙E4c的平分线交8c于点D, M、N分别是力。和力8上的动点，则8M + MN的最小值是（）A. 8B. 6C. 5D. 433.如图，在A48C中，点M是4c边上一动点，若A8 = AC = 10, 3c = 12,则5M的最小值为（）A. 8B. 9.6C. 10D. 4534.在M6C中，N5二4c二5二5c二6,若点尸在边MC上移动，则5P的最小值是（）A. 5B. 6C. 4D. 4.835.如图，在RsABC中，NACB = 90。，AC = 6, BC = 8,

14、 AD是NBAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC + PQ的最小值是（）36 .如图，在耳（：中，有一点P在线段AC上移动.若AB二AC二5：BC二6,则BP的最 小值为（）A. 4.8B. 5C. 4D.扃37 .如图，在A48C中，AB = AC, /84。= 60。二8（：边上的高4。= 8二£是,期）上的一个动点，F是边AB的中点，则所+ £F的最小值是（38 .如图，在ACB 中，有一点 P 在 AC 上移动，若 AB=AC=5, BC=6,贝！j AP+BP+CP的最小值为（）A. 9.6B. 9.8C. 11D. 10.239 .如图，在

15、R3ABC 中，ZACB=90°, AC=6, BC=8, AD 是NBAC 的平分线.若 P,Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）24A. B. 5C. 6D. 8540.如图，在中，AB=39 6c=4, /C=5,点。在边5c上，以MC为对角线的所有平行四边形4DCE中，座的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 541.如图，在3c中，AB = ACf A8的垂直平分线交A8于N,交AC于M, P是 直线MN上一动点，点为8c中点，若A8 = 13, A3c的周长是36.则08 +/的 最小值为（）A. 769B. 10C. 12D. 1342.如图，&q

16、uot;BC和44Z正都是等腰直角三角形，N6/C=NZ）4E=90。，4B=/C=4, O 为MC中点，若点在直线5c上运动，连接OE,则在点刀运动过程中，线段OE的最小 值是为（）A. !B.叵C. 1D. 7222类型三、利用非负性解决最值问题如图，在边长为4的正方形A8CZ）中，点M为对角线8。上一动点，MEtBC于E,MF工CD于F,则EF的最小值为（）A. 4&B, 2&C. 2D. 1【思路点拨】此题求EF最小值，利用MF+ME=4,设MF=x,通过勾股定理用含x的代数式各 表示即的长，再通过平方非负性（二次函数最值）得出最值。【答案】B解：在边长为4cm的正方形

17、ABCD中，BC=CD=4 二 C=90°, ZCBD=ZCDB=45°/ ME IBC 于 E,MF 工 CD 于 f：. MEC= Z MFC= Z MFD=90°四边形MECF是矩形，ZMDF为等腰三角形/. CE=MF=DF设 DF=x,则 CE=xCF=CD-DF=4-x在RT二CEF中，由勾股定理得EF = y/cE2 + CF2 = yjx2 + （4-x）2=x +168x+x= 2（x-2） +8/2（x-2）2>0,当且仅当*2=0时，即x=2时，二"？/有最小值0"（x 2）2 + 8 2 2正当且仅当皆2=0时,即

18、尸2时，12（/-2丫+8有最小值2虚 故选B.【点拨】本题考查正方形的性质，找好点M的位置是解题关键.43 .在平面直角坐标系中，点A（-4j5,O）,点8（",疯/）,则当A3取得最小值时，。的 值为（）A. _也B. -3C. 0D.6类型四、折叠中的最值问题©>3如图，在长方形纸片A8CQ中，AB = 4,力。=6.点£是A8的中点，点尸是AO 边上的一个动点.将AA斤沿"所在直线翻折，得到GEf.则GC长的最小值是（）A. 2M-2B. 2710-1 C. 2万D. 2M19【思路点拨】由折叠可知EA=EG,即EG为定长，要使GC最短，则

19、由E、C为定点，所以EC为定长，所以当氏G、C三点共线时，GC最小。【答案】A解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,当点G在线段CE上时，GC的长取最 小值，如图所示.根据折叠可知：GE = AE = - AB = 2 ,2在 RtABCE 中，BE = AB = 2, BC = 6. NB = 90，2.-.ce=Vbe2+bc2 =2Vio*AGC的最小值/碇=2如-2、故选：A.【点拨】本题考查了翻折变换、矩形的性质以及勾股定理，利用作圆，找出AC取最小值 时点A，的位置是解题的关键.44 .如图，在矩形ABCO中，AB = 10, AD = 2,点E是48的中点，点F是AD边

20、上 的动点，将沿所 翻折，得到&4'所，则AC的最小值是（）45 .如图，矩形ABCD中，AB=8, BC=4,把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠，点D落在矩形ABCD内部的点D'处，则CD'的最小值是（）A. 4B. 4>/5C. 4x/5-4D. 4/ + 446 .如图，在ABC中，N8 = 90 , N8C4 = 45l 4C = &.点D在8c边上，将A8c沿直线AO翻折，点B恰好落在AC边上的点E处，若点P是直线AO上的动点, 连接小，PC,则的周长的最小值为（）A. 2 >/TB/ 5/2C. 5y2 +1D* + 2类型五：

21、通过平移解决最值问题©>5.如图，直线/上有两动点C、D,点A、点3在直线/同侧，且A点与3点分别 到/的距离为。米和/?米（即图中A4' = 米，BB' = b米）,且A'B'=c米，动点CO之间 的距离总为S米，使C到A的距离与。到3的距离之和最小，则AC+8。的最小值为（）B. (a + by+S2D. (« + /?)2+(c-5)2【思路点拨】做线段股1且健二S,且点P在点A的右侧，作P关于L的对称点P，,连接BP'交直线L于点D,在L上D的左侧截取DC=S,此时BP'即为所求的最小值，作P E _LBB

22、9;交BB'的延长线于瓦利用勾股定理求解即可.【答案】D【分析】解：PE=c-S, BE=a+b,【点拨】考查最短路线问题及平移问题的综合应用；用平移和对称的知识综合解决最短路线 问题是解决本题的关键：构造出直角三角形解决问题是解决本题的难点.47.如图，在aABC中，A8 = AC = 5, 8C = 6 ,动点P, Q在边BC上（P在Q的左边）,且PQ = 2,则AP + AQ的最小值为（）A. 8B. 2>/13C. 9D. 2g类型六：立体图形中最值问题岑>6.如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm,底面周长为10cm, 在容器内壁离容器底部3cm

23、的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器 上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是cm.【思路点拨】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾 股定理解决问题，本题如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点4,根据两点 之间线段最短可知A'B的长度即为所求.'i!T：将圆柱沿<所任的高剪开，展平如图所示,则MM' = NN' = 10cm.作乂关于MW'的对称点4,连接A'8,则此时线段48即为蚂蚁走的最短路径，过8作8r>_LAA于点。，则 80 = NE = 5o”,A'0

24、= "N + 4M-8E = 12 + 3-3 = 12cm,在阳48。中，由勾股定理得A B =A D2 + BD，= 1女m，故答案为：13.【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧而展开 图、熟练运用相关知识是解题的关键.48.如图，要为一段高5m,长13nl的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯m.49.如图所示是一个长方体纸盒，纸盒的长为12cm,宽为9cm，高为5cm, 一只蚂蚁想 从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点G,蚂蚁爬行的最短路程是 cm.参考答案类型一两点之间，线段最短1 .【答案】A【分析】求出A点关于y轴的对称点A，连接AB,交y

25、轴于点P,则P即为所求点，利用 两点间的距离公式即可求解.解：作点A关于y轴的对称点A，连接AB交y轴于点P,则P即为所求点：,点 A (-4, 1),点A关于y轴的对称点A，的坐标为(4, 1),VA* (4, 1), B (-2, -3),J AB= J(4 + 2+(l + 3=2 万,即PA-PB的最小值为2JTT，故选A.Fr% ./PB【点拨】本题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间 线段最短的知识.2.解：如图，过点C作CO_LAB于O,延长CO到C',使0C，=0C,连接DU ,交 AB于E,此时DE+CE=DE+EC' =DC&

26、#39;的值最小，连接BC'.在aABC 中，AC=BC=2, NACB = 90° ,AZABC=45° .由对称性可知NABC' =NABC=450.A ZCBC' =90° .9：CCf LAB, OC' =OC,：.BCf =BC=2.D是BC边的中点，ABD = 1.根据勾股定理可得：DU = dBC2 + BD? =6故EC+ED的最小值是6.故答案为：D.使EC+ED的值最小是关CP的值，从而找出其最小【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用，确定动点E何位置, 键.3.【答案】D【分析】要求EP+CP的最小值，需考虑通过

27、作辅助线转化EP, 值求解解：连接BE,与AD交于点G.ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线,AAD±BCtAD是BC的垂直平分线，点C关于AD的对称点为点B,ABE就是EP+CP的最小值.，G点就是所求点，即点G与点P重合，等边AABC的边长为8, E为AC的中点，.CE=4, BE1AC,在直角4BEC 中，BE="才-C炉=>/82-42 = 473，EP+CP的最小值为4/，故选D.【点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的对称性、三线合一的性质以及勾股 定理的运用，熟练掌握，即可解题.4.【答案】A【分析】连接BE,交AD于M,连接CM,过点B作

28、BF_LAC于F,根据等边三角形的性 质可得，AD垂直平分BC, BF垂直平分AC, AC=BC=AB=6,根据两点之间线段最短，此 时ME+MC最小，且最小值为BE的长，利用勾股定理求出BF,然后求出EF,再利用勾股 定理即可求出BE.解：连接BE,交AD于M,连接CM,过点B作BF_LAC于F,在等边阳（：中，AB=6, AD±BC,.AD垂直平分BC. BF垂直平分AC, AC=BC=AB=6AF=1C = 3.ME+MC=ME+MB=BE,根据两点之间线段最短，此时ME+MC最小，且最小值为BE的长在 RtZkABF 中，BF=- AF2 =34VAE=2/. EF=AFAE

29、=1在 RtABEF 中，BE= BF1 +EF2 =2后即ME+MC的最小值为2" 故选A.【点拨】此题考查的是等边三角形的性质、两点之间线段最短的应用和勾股定理，掌握等边 三角形的性质、两点之间线段最短和勾股定理是解题关键.5.【答案】D【分析】过点B作且80=6,连接CD,交工3于点尸，由“STS”可证BPD9ABPD, 2得DP=DP,可得尸C+尸。的最小值为DC,由勾股定理可求解.解：如图，过点8作。夕_LBC,使80=6,连接8咬43于点尸9：AC=BC. ZACB=90：.ZJBC=45° t 且：./D'BP=NDBP=45。,且 8。=6=8。&#

30、39;，BP=BP：.4BPD迫4BPD (SAS)：.DP=DT：.CP+DP=CP-DT，PC+P。的最小值为。C,：BD=6, CD=2A5C=8,:D'C= a/82+62 = 10，PC+P。的最小值为10【点拨】本题考查利用轴对称的性质解决最短路径问题，涉及了直角三角形的性质以及勾股 定理的应用.6 .【答案】B【分析】作点8关于上。的对称点£连接CE交X。于R则乂E=XB=4, EP=BP,设BC=x,则 C尸+3尸=16-x=CE,依据 RtZkBCE 中，EB2+BC2=CE2,即可得到滓+/=(16-X)2,进而得出3。的长.解：如图所示，作点3关于工。的

31、对称点£连接CE交于尸，JAE=AB=49 EP=BP,设 8C=x,则。尸+3尸=16-x=CE,VZA1D=9O°, .U)/BC9：.ZJ5C= 90°.RsBCE 中，EB2+BC2=CE，82+f= (16-x) 2,解得x=6,:.BC=6,故选瓦【点拨】本题考查勾股定理的应用和三角形的周长，解题的关键是掌握勾股定理的应用和三 角形的周长的计算.7 .【答案】D【分析】过A作AH1OB于H、连接AD.根据MN垂直平分AB.即可得到AD=BD,当A,D,C在同一直 线上时4BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到"

32、CD周 长的最小值为13+5=18.【详解】如图，过A作AH±OB于H,连接AD1点 A 坐标为(10,12),AO=ABAOH=BH=10,AH=12 又.0C=3BC，BC=5,CO=15ACH=15-1O=5MN垂直平分AB,AAD=BD，BD-CD=AD+CD，当A,D.C在同一直线上时.BCD周长的最小值为AC+BC的长此时.RsACH 中,AC= aH'C# = V122+52 = 13BCD周长的最小值=13+5=18故选：D【点拨】此题考查垂直平分线的性质和勾股定理，三角形的周长，解题关键在于利用好垂直平分线的 性质求出AD=BD8.【答案】A【分析】作点3关

33、于AC的对称点8',连接力8'，作于点M交AC于点N , 则此时A/N + N4的值最小.且阴7 +g=加 +帖'=知8',再进一步求出时后即可得 到结论.解：如图：作点B关于AC的对称点8',连接48'、BN ,作上AB于点、M交AC于点、N 在曲48C 中，BC=, ABAC = 30° AC = 2BC = 2, AB = y/ AC BC = V?P" = yj3 3与3'关于AC对称BN = B'N, AB = AB，=6,ZBAB, = 2ABAC = 2x30° = 60°/.

34、 A88'是一个等边三角形 8fM _L AB，在中，AM =-AB = AB'= 622 MB，= AM： = J（可-2 =L5 / BN = B'N, BfM ± AB.MN + A6 = MN + A®' = M&.根据垂线段最短，可得MN+NB的最小值即为“b'的长 （MN + NB）w/=MB' = L5故选：A【点拨】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形以及最短路径 等知识点.找到点B关于AC的对称点B'以及适当的添加辅助线是解题的关键.9 .【答案】B【分析】要求PA-P

35、E的最小值，PA, PE不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA, PE的 值，从而找出其最小值.解：RtZABC 中，AC=BC=2,点 D, E 分别是 AB, AC 的中点，.CE=1, AD=BD, CD1AB.A、B关于CD对称如图，连接BE交CD于点P,则PA=PBBE就是PA+PE的最小值，在RtABCE中，由勾股定理得：BE = >/5,.PA-PE的最小值是非故选：B【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题时 注意转化思想的运用.10 .【答案】D【分析】先连接BM,再根据MB=MC,将EM-CM转化为EM+BM,最后根据两点之间线

36、段最短，求得BE的长，即为EM+CM的最小值.解：连接BM,二等边二ABC中，AD是BC边上的中线二AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BCZMB=MC当 B、M、E 三点共线时，EKRCM=EM+BM=BE二等边二ABC中，E是AC边的中点 二直角三角形 ABE 中，BE= yjABAE2 = V?-? = >/3即EM + CM的最小值故选D.【点拨】本题主要考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运 用等边三角形的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.解题时注意，最小值问题一般需 要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论.11 .【答案】C【解析】如图，作点B

37、关于AC的对称点B',过B'点作B' DJ_AB于D,交AC于E,连接 AB'、BE,则 BE+ED=B' E-ED=B' D 的值最小.丁点 B 关于 AC 的对称点是 B'，BC=10,，B' C=10, BBf =20.R3ABC 中，ZACB=90° , AC=20, BC=10, AAB= 1075VSAABB" = 20X204-2=200D= BB' XAC4-AB =20X204-1075 =875BE+ED=B' D=8/5 .点拨：主要考查你对轴对称等考点的理解.把一个图形沿

38、着某一条直线折卷，如果它能够与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折置后 重合的点是对应点叫做对称点.轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距 离都是相等的.利用轴对称图形的形状来解决动点产生的最短距离是经常用到的数学思想， 同学们在看到这种问题的时候就要想到轴对称的性质.12 .【答案】C【解析】分析：要求PE+PC的最小值，PE二PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE：PC的值, 从而找出其最小值求解.,点C关于BD的对称点为点A.,.PE+PC=PE+AP 二根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，正方形ABCD的边长为2

39、ZE是BC边的中点，,.BE=L5口蹉=32 +1.52 =；番二故选：C点拨：此题主要考查了正方形的性质和轴对称以及勾股定理等知识的综合运用，根据已知得 出两点之间线段最短，可得AE就是PE+AP的最小值是解题的关键.13.【答案】C【分析】作C关于直线AB的对称点D，过D作DEJ_BC交AB于F,则此时，CF+EF的值 最小，且CF+EF的最小值=。£,由勾股定理即可得到结论.解：作C关于直线AB的对称点D,过D作DE1BC交AB于F,则此时，CF+EF的值最小, 且CF+EF的最小值=口£, ZCGB=90°,VBC=2, ZB=30°,.CG=-

40、BC=1, 2，CD=2,V ZDGF=ZBEF=90 ZBFE=ZDFG, ND=NB=30。，,-,EC = -CD = -x2 = 22由勾股定理，de=B CF+EF的最小值是6，则产= (/)2=3,故选：C.【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，正确的作出对称点，熟练掌握轴对称图形的性质和两点之间线段最短的性质是解题的关键.14,【分析】作点C关于直线BA的对称点C连接BC',作C，E，_LBC,则UE，的长就是CF+EF的最小值，然后根据含30度的直角三角形的性质结合勾股定理求出UE'即可.【详解】解：作点C关于直线BA的对称点C',连接BC作C，E&#

41、39;J_BC,贝ij C'E'的长就是CF+EF的最小值，VBC=2, NABC = 30。，BC'=2, NABC' =30。，NCBC' =60。，.*.BE=-BC'=1,2ACT =22 - l2 = 6，即CF+EF的最小值是小，故选：C【点拨】本题考查了轴对称一最短路径问题，根据题意得到C'E'的长就是CF+EF的最小值 是解题关键.15【答案】D【分析】作C点关于y轴的对称点C',连接析与y轴的交点即为所求点P,用勾股定理可求得OC.长度，可得PC+PD的最小值为2点，再根据CD=2,可得PC+PD+CD=

42、2a + 2解：如图，作C点关于y轴的对称点C',连接。C.交y轴与点P,此忖PC+PD的值最小且DC = PC+ PD C、。分别是 Q4, A8 的中点，A(2,0), 3(0.4)AC (1, 0), D (1,2)在RtA OC'C中，由勾股定理可得DC =、DC? +CC? = ,2?+2? = 2垃又,.D (1,2)ACD=2.此时 ADPC 周长为 PC+PD+CD= DC + CD = 2+2故选D【点拨】本题考查最短路径问题，把图形作出来是解题关键，再结合勾股定理解题.16 .【答案】C【分析】首先确定DU=DE+EU=DE+CE的值最小，然后根据勾股定理计

43、算.解：过点。作COLLS于O,延长CO到U使。=。，连接。C.交AB于E,连接C8,此时。5+。£=。七十七。一。，的值最小.连接3C,由对称性可知NC3E=NC3E=45)AZCBC=90°,：.BC±BC9 ZBCC=ZBCC=45:BC=BC=2,丁。是8c边的中点， ：.BD=19根据勾股定理可得:dc=4bc+b，=73故EC+EQ的最小值是故答案为C.【点拨】本题考查了轴对称一最短路线问题，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.17 .【答案】B【解析】找出B点关于AC的对称点D,连接DE交AC于P,则DE就是PB+PE的最小值，求出即可.解：连接DE交

44、AC于P,连接DE, DB,由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB,，PE+PB = PE+PDRE,即DE就是PE+PB的最小值，V ZABC=120° ,A ZBAD=60° ,TAD 二 AB，ABC是等边三角形，VAE=BE,DELAB （等腰三角形三线合一的性质）.在 RtADE 中，DE二 0庐二 G即PB+PE的直线值为J5.故选B.“点拨”本题主要考查轴对称.最短路线问题，勾股定理等知识点.确定P点的位置是解答 此题的关键.18 .【答案】B【分析】先连接CF,再根据EB=EC,将FE+EB转化为FE+CE,最后根据两点之间线段最短

45、，求得 CF的长，即为FE+EB的最小值.【详解】解：连接CE,等边aABC中，AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC, NBAC=60。，,.EB=EC, NBAD=30。，;.BD=1 AB=4,2AD= yjAB2-BD2 = 7»2-42 = 46当 C、F、E 三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF,等边4ABC中，F是AB边的中点，AD=CF=4 y/3 ».EF+BE的最小值为46,故选：B.【点拨】本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，熟练掌握和运用等边三角形 的性质以及轴对称的性质是解决本题的关键.19 .【答案】C【分析】作B关于A

46、C的对称点连接BD,易求/ABB，=60° ,则AB=AB*且ABB，为等边三 角形，BE+DE=DE+EB为B5直线AB之间的连接线段，其最小值为到AB的距离=AC=【详解】解：作B关于AC的对称点B1连接BD二二 ZACB=90°ZZBAC=30°Z匚匚 ABC=60。口匚 AB=AB 二二二ABB，为等边三角形，二BE+DE=DE+EB,为B七直线AB之间的连接线段, ，最小值为B'到AB的距离=AC= V?二故选C二【点拨】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是 解答此题的关键.类型二：点线之间，垂线段最短如.【答

47、案】D【解析】解：根据垂线段最短，得到8尸二WC时，3尸最短，过乂作,山二8C交BC于点D二二 18=1。二切二BC二二。为 BC 的中点，又 BC=6二二80=8=3二在 Rt二炉。中,HC=5二8=3,根据勾股定理得：.W= JabJbD? =4二乂二S/c= ；BOAD=；如。二小强券? =4.8二故选D二A点拨：此题考查了勾股定理.等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及垂线段最短：熟练掌握勾股定理是解本题的关键.1221 .【答案】【解析】【分析】根据三角形的而积公式即可得到结论.【详解】解：W1B1AC.：.ZBAC=9Q0 ,当JP_L8C时，HP的值最短，八 ABxAC

48、 6x8 125=BC 1051?，线段乂尸的最小值为彳，12故答案为：.5【点拨】本题考查了垂线段最短，三角形的而积，熟练掌握勾股定理的逆定理即可得到结论.22 .【答案】A 解二43=5二8。=12二4C=13二.zL52+8C2=169=<C2二，是直角三角形二当 BPLAC 时二8尸最小二，线I "P长的最小值是二13BP=5 X 12二解得二切卷二故选A二点拨二本题主要考查勾股定理的逆定理以及直角三角形面积求法二关键是熟练运用勾股定 理的逆定理进行分析.23 .【答案】A【解析】由垂线段最短，得到BP二AC时,BP最短，过A作ADZBC,交BC于点D,ZAB=AC,

49、AD二BC,二D 为 BC 的中点，又 BC=6,二BD=CD=3,在 Rt二ADC 中，AC=5, CD=3,由勾股定理律：AD=jAC2_ZX;2=4, 乂二Saabc=LbCAD=LbPAC,二BP=纥芦 22AC平=48故选A.考点：L勾股定理：2.垂线段最短.24 .【答案】B【解析】先根据勾股定理求出PM的值，根据垂线段最短可得PN_LOA时，PN最短，再根 据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PM=PN,从而得解.解：R/_L05 于点 Af,。尸=5,，PM=3,当HV_LCU时，HV的值最小，。平分Nd08. PM10B. :PM=PN,HV的最小值为3.故选8.【点拨】

50、本题考查角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理.25 .【答案】D【分析】若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在 AC上的那一点，AP+CP都等于AC.那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P.先设AP=x, 再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x,在RtZSABP中，利用勾股定理可求BP.那 么AP+BP+CP的最小值可求.解：从B向AC作垂线段BP.交AC于P,设 AP=x,则 CP=5-x,在 RtZABP 中，BP2=AB2-AP2,在 RtZiBCP 中，BP2=BC2-CP.ab2-ap2=bc2-cp2,A52-x2=62- (5-x)

51、 2解得x=L4,在 RtZiABP 中，BP= V52-1.42 =72104=4.8»，AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8.故选：D.【点拨】本题主要考查最短路线问题，确定出P点的位置是解题的关键.26 .【答案】C【分析】作OP_LAB,由垂线段最短可知此时OP的值最小，然后根据面积法求解即可.解：作OPLAB,由垂线段最短可知此时OP的值最小.VA(-4, 0), B(0, 3),，OA=4,OB=3,AB= 32 +42 =5-ABOP = -OAOB22A5OP=12,OP上5故选C.【点拨】本题考查了坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理等知识，根据题意得到

52、“当OP_LAB时，0P的值最小”是解题的关键.27.【答案】B【分析】根据勾股定理可求出AC,由题意可知当BP取最小值时，AP+BP+CP的值最小, 而当BPJ_AC时，BP取最小值，故利用面积法求出BP的最小值即可一解：在长方形ABCD中，AB=6, AD = 8,ABC = 8,A AC= VAB2 + BC2 = V62 + 82 = 10，AP+CP=AC=10,.当BP取最小值时，AP+BP+CP的值最小，而当BP_LAC时，BP取最小值，故此时 Saabc= -AC BP = -AB BC.22:.bp=ABBC= = 4.8,即BP的最小值为4.8,AC 10AP+BP+CP

53、的最小值是 104.8 = 14.8,故选：B.【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，分析得出当BPJ_AC时BP取最小值是解题的关 键.28 .【答案】B【解析】在AC上取一点E,使得AE=AB,过E作EN二AB于N交AD于M,连接BM,BE, BE交AD于0,根据两点之间线段最短和垂线段最短得出此时BM+MN最小，求出E和B关 于AD对称，求出 BM+MN'=EN',求出 EN',即可求出答案.二EN'二AB,二二ENA=90。，二二CAB=60。， 二二AEN，=30。，二AE=AB=6,二AN=|aE=3,在二AEN 中，由勾股定理得：EN玉”_心。HP

54、 BM+MN的最小值是3P.考点：轴对称一最短路线问题 点评：本题考查轴对称一最短路线问题，解答此类题主要是从已知条件结合图形认真思考.通过角平分线的性质和垂线段最短，找出答案.29 .【答案】D【分析】如图，作点E关于的对称点E,连接CE咬，必于P,连接EP,此时EP+CP* 的值最小，作CHL4B于H.求出CE即可.【详解】如图，作点H关于,山的对称点£,连接CE交于P,连接EP,此时EP+CP 的值最小，作CHL4B于H.VZACB=90 AC=6f BC=8959；但+5c? =&2 +82 =WACBC 24AB - Tf =>Mc2_C2=书-(24 丫 5

55、18T8 J£=J£-,5；E'H=AH-AE'=2,:PC+PE=CP4PE=CE'= ylCH2+EH2 故选：D.【点拨】此题主要考查利用对称性以及勾般定理的运用，解题关键是做好辅助线，转换等量 关系.30 .【答案】D【分析】过点A作ADJ_BC于D,过点B作BE_LAC于E,即点Q运动到点E处的时候， 为最小值.先根据勾股定理求出AD的长，再由三角形的面枳公式即可得出BE的长，即可 得出最小值.A解：过点A作AD二BC于D,过点B作BE二AC于E,即点Q运动到点E处的时候，为最 小值.VAB=AC=10t BC=12：.BD=-BC=6 2 刈=lAB2 -BD2 = J102 -62 =8，BCAD=AC>BE即BE=BC.ADAC12 x 810=9.6.即BQ的最小值为96故选D.【点拨】本题考查了勾股定理.熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一 定等于斜边长的平方是解题的关键.3L【答案】D【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF的