不定积分换元法例题

1、【不定积分的第一类换元法】已知 f(u)du F(u) C求 g(x)dx f( (x) '(x)dx f( (x)d (x)【凑微分】f(u)du F(u) C【做变换，令u(x),再积分】F( (x) C【变量还原，u (x)】【求不定积分 g(x)dx的第一换元法的具体步骤如下：】(1)变换被积函数的积分形式：g(x)dx f( (x) '(x)dx(2)凑微分：g(x)dx f( (x) '(x)dx f( (x)d (x)(3)作变量代换 u (x)得：g(x)dx f ( (x) '(x)dx f ( (x)d (x) f (u)du(4)利用基本积

2、分公式f(u)du F(u) C求出原函数：g(x)dxf (x)'(x)dxf ( (x)d (x)f (u)duF(u)C(5)将u(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得：g(x)dxf(x)'(x)dxf( (x)d (x)f(u)duF(u)CF( (x) C【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量u (x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。【第一换元法例题】(5x 7)9dx(5x 7)9 dx (5x1911 /L(5x 7) d (5x 7)(5x55 10【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx,117)9d(5x 7

3、)(5x 7)9 d(5x 7)557)10 C (5x 7)10 C50,1 ,、dx -d(5x 7)2、In xdx x1 In x dx xIn x d In x12-12八In x d In x (In x) C (In x) C22111【注】(lnx)'，d(ln x)-dx, dxd(ln x)xxx3 (1)【注】3 (2)【注】4 (1)【注】4 (2)【注】4 (3)5 (1)5 (2)tan xdxd cosxcosx(cosx)'cot xdxd sin xsin x(sin x)'sinx , dxcosxsin xdxcosxln |cos

4、x | C lnsin x, d (cosx)cosx , dxsinxd cosxd cosxcosxcosx|cosx| Csin xdx, sin xdx d(cos x)cosxdx d sinxsin xsin xIn |sin x | C In | sinx| Ccosx, d (sin x) cosxdx, cosxdxd (sin x)Ldxxd(a(a x) 1,Ldxd(x(x a)1,-dx a1 1, ln | x 2asecxdxd(tanx，dx a xx) In |ad (ax)x| Cdx,dxa) In |xd (x a)22dxx aIn | x a |se

5、cx(secxa| Cdx,2asecx tan xd(a x)In |a x| Cdx d (a x)d(x a)In | x a | Cdx d (x a)1ln2atan x), dxsecx) d(tanx secx)secx tanxsecx tanxsecxdx1 ,cosx ,dx2 dx cosx cos x1 dxa2a1 dxa1 dx x a2sec xsecxsecxtan xln | secxcosx dx2cos xdxtan xtanx| Cd sin x1 sin2 xd sin x111一一一1sin xd. 21 sin x2sin x1sin x1d si

6、n xln2sin x1C iln1 sin x1 sin x, cscx(cscx cot x), cscxdx -dxcscxcot x-1 2csc x cscx cot x ,dxcsc x cot x6 (16 (27 (17 (28 (18 (29 (19 (210 (10 (d( cotx cscx)d(cscx cotx)- - ln|cscx cotx| Ccscx cotxcscx cotx2, cscx(cscx cot x) , csc x cscxcot x ,) cscxdx dx dxcscx cot xcscx cot xd( cotx cscx)d(cscx

7、cotx)- -In |cscx cotx| Ccscx cotx cscx cotx、1 dx). dxarcsin x Cx arcsin 一 C a,1 x dx d ln x2 d ln xC,1 x21dxdx-22dx-22a x .axxa1 a、1)1Vdxdxrx2arctanx C1dx-22dx-22axaxdxa2 11x一arctan aaC, (a 0)、.3525) sin xcos xdx sin xcos x sinxdx2 sin5xcos xd cosx2、5,(1 cos x) cos x d cosx(cos7 x cos5 x) d cosx86co

8、s x cos x C8635sin xcos xdx34sin xcosx cosxdx34sin xcos xdsinxsin3 x(1 sin2 x)2 d sin x, .3 c 5.7(sin x 2sin x sin x) d sin x.4 sin x4一一6sin x31)2)dxxln xdxxln2 x11 (1)11 (2)12、13、14、15、16、17、2xdxx4 2x2 2xdx2x 2x 52d(x2 1)221 L22xdxx4 2x2 2dx2 2x2 2-2/varctan(x2 1)Csin/x dxsin 7x2xdx2x 2x 5x2 1 d -1

9、2sin x d x 2cos x2x 1 2x ,e dx - e d2x2sin3 xcosxdx(2x 5)100 dx(2x 5)100d(2xdx2x4 2x2 52d(x 1)4 (x2 1)2一一 3 sin(2x5)1 arctan(x421)C 2cos , x Ce2xd2x2e2x Cx cos xdx1005) dx二产sin(2x5)1012 sinx d x3x d sin x.3sin x d si n x-22.xsinx dx sinx xdx1.sin 25)100 1d(2x 5) 1 (2x202(2x 5)1015)100 d(2x 5)dx22 si

10、nxdx21 cosx2In x , dxx、1 In xIn x1 In x1dx xd ln x(1dlnx 1 In x1 ln x d ln x18、19、20、21、22、23、24、1 Inx d(13(13ln x)2arctanxxt x dx ,1 x21. d ln x.1 ln x1lnx) J ln x12(1 ln x)2 Carctanx-2 dx x1 x2xdxd(1 In x)arctanx e2、1d arctan xdx2arctanx ed arctan x ed(1 x2)arctan x1 d(1 2 1 x2sin x dx3 cos xxMdx

11、2 ln x , dxxlnx2)1 sin xdx3cos xexdx ex 1dxx,2ln xcosdexd In x 2ln xcosxd In x3cos 2 xd cosxex) ln(2ln3xC3ex) C12cos 2 x Cdx1 2x x2dx.2 (1 x)2d(12 (1x)x)2d(1 x)22(1 x). 1 x小arcsin C2dxx2 x 2dx1 2 7(x 2)4d(x 2)1 27(x 2)4d(x 1、27、2(x 2)( 2 )d(x 2)1 27 2(x 2)2(2)22 arctan71 x2 ;22 arctan2x 1c、7、725、计算b

12、2sin xcosx2dx, a_22,2 2.a sin x b cos x【分析】因为:/ 2. 222、(a sin x b cos x)sin x cosxdx2, 2、2(a b )sin xcosxdx222, 2、.a 2sin xcosx b 2cos x( sin x) 2(a b )sin xcosx2.2. 22.所以：d(a sin x b cos x)2 . 2,22、2厂 d (a sin x b cos x)2(a b )sin xcosx_2_222.a sin x b cos xdxsin xcosxdx.a2 sin2 x22b cos x22221 d(a

13、 sin x b cos x) a2 b2 2a2 sin2 x b2 cos2 xd(a2sin2 x b2 cos2 x)b2 2 a2 sin2 x b2 cos2 x12.2a b2. 2.22 八a sin x b cos x C【不定积分的第二类换元法】已知 fdt F(t) C求 g(x)dx g( (t)d g( (t) '(t)dt【做变换，令x (t),再求微分】f (t)dt FC 【求积分】F( 1(x) C【变量还原，t 1(x)】【第二换元法例题】1变量还原sintdt2则 2tdt2sintdt2cost C t x2cos x C1令 x t 1dx ,

14、dt22(1)1 Vxxt21 t变量还原2 t ln|1 t| C 2 >x t x3、2tdtIn |1 x |t12 dt 2 1 dt1 t1 tC1 令1+xt 1 O 1t 1-dx2- d(t 1)2- 2(t 1)dt 2 dt 21 x x (t 1) ttt变量还原_2 t ln|t| C 2 1 x ln|1 、x| C t 1 xdt34x (t 1)12 (t6 t3)dt12t77t d(t3 1)4-r- t 4(t3 1)3 3t2dt、,(t3 1)4(t3 1)2t4C变量还原12 7。荷而4 C4 t 不745、6、4、一 dx x)令x tx t2

15、变量还原2arctant Ct Jx1令 ex tx dx1 ex xlntIn |t| In |1 t| C人6dx 2 t(1 、x).x x t612- t(1 t)dt22arctan x Cd In tIn1(1 t2)t3dt6变量还原6(t arctant) C 6t .-x6(：x【注】被积函数中出现了两个根式7 (1)dx1 Vx令3x 2 t2 x t3 2变量还原淑2)27 (2)【注】1xxdxt 1x变量还原11狞 2tdt 2 2 dt t(1 t )1 t11 t变量还原t ex1(1 t2)t356t5dtt2方dt t2dt1FTdtarctan Vx) Cm

16、nk :Jx, Jx时，可令Vxt ,其中k为m, n的最小公倍数。t ln|1 t|ln|13x2| C被积函数中含有简单根式Vax b 或dt1|2tln|1ax bcxd时，可令这个简单根式为2ln|t-1| x1| ln|t21| Ct,即可消去根式。令1 txdx8x8(1x2)d1 t1 ?t8t7 t5t3arctan t变量还原Cln x1 in8(2) (x in x)2dx变量还原tint 2(1In t)dt111 inx x【注】当被积函数中分母的次数较高时,9、1 sinx , dxsinx(1cosx)x 2arctant17x7t in1 tx in x1t25x

17、53xwdtt6 t41 - arctan 一 Cxt2dtin1 tin1 tt12 dt1t tint1 t in t 2d(1tint)1 t in t可以试一试倒变换。1 a21 t22t2(1d2arctant22t21dtt2121n1tl变量还原X 2 x tan 一 241 x2心21【注】对三角函数有理式的被积函数,令 x asint,|t| 10(1)Ja2x2 dx+. xt arcsina2t1t!2(12dt1 t2可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。、a2 a2sin2t dasint a2 coJ tdtdx令 x asint, |t|2dasint变

18、量还原.xt arcsina2. 2 ,a sin tdt一- x arcsin a.x carcsin Ca1 cos2t , dt2(1cos2t)dtsin2t变量还原+. xt arcsinaa 一 arcsin一2xax2 C10 (2)-= adx变量还原.xt arctana因为:所以:即:令x atart,|t| 2datant.x arctan a,a2a2 tar21seCdtln|seC tant|xIn | -a22a x | C ln|xa2 x2|(x . a2 x2)'2 ar(x a2x2)'dx2 , a2x2dx.a2 x2dxx2dx(x a2 x2)'dx一 dx2xx a2ln|xv;a2x2 | Cdx10 (3)-=xaseC ,0 t 一 2dasect变量还原x asect因为:所以:即:xln | 一 aa2 sectC ln|x(xx2 a2)' 2 x2 a2(xx2 a2)'dxx2 a2dx2 x2a2dxsectdtIn | s