上海市曹杨二中2019-2020学年高三上学期期中数学试题

1、题号一一二总分得分考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx评卷人得分绝密启用前上海市曹杨二中2019-2020学年高三上学期期中数学试题 试卷副标题注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明21 .抛物线y 8x的焦点坐标（）A. 0?, 2B. 2?, 0C. 4?, 0D. 0?, 4【答案】B【解析】由抛物线方程y2 8x知焦点在x轴正半轴，且p=4,所以焦点坐标为（；0）即（2,0）, 所以选B。2 .己知m,n是空间中两直线，是空间中的一个平面，则下列命题正确的是（）A.已知 m/a

2、 ,若 n/ ，则 n/mB.已知 m/ ，若 n m ,则 nC.已知m ，若n m,则n/D.已知m，若n/m,则n【答案】D【解析】【分析】A. n和m的方向无法确定，不正确；B.要得到n ，需要n垂直于平面内两条相交直线 ，不正确；C.直线n有可能在平面内,不正确；D.平行于平面的垂线的直线与此平面垂直，正确.【详解】A. 一条直线与一个平面平行，直线的方向无法确定，所以n/m不一定正确；试卷第34页，总22页令 f x 0,得sin x1,1题答内线订装在要不请派B. 一条直线与平面内两条相交直线垂直，则直线垂直于平面,n m无法表示直线n垂直于平面内两条相交直线，所以n不一定正确；

3、C.直线n有可能在平面 内，所以n/不一定正确；D. n/m,则直线n与m的方向相同，m，则n，正确；故选：D【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系的判断，遇到不正确的命题画图找出反例即可.本题属于基础题.3.己知函数 f(x) m(1 cosx) sinx,则()A.仅有有限个 m,使得f(x)有零点B.不存在实数 m,使彳导f (x)有零点C.对任意白实数 m,使得f(x)有零点D.对任意白实数 m,使得f(x)零点个数为有限个【答案】C【解析】【分析】根据函数解析式利用辅助角公式化简成f(x) 5 m2 sin x m arctan m ，将sin x看成一个整体，取值范一 ，一/rmm

4、围为 1,1，令f x 0,得sin x j 由J °1,1得fx 0有1 m2. 1 m2无数解.【详解】f (x) m(1 cosx) sin x= sin x m cosx m .1 m2 sin x m arctan又Qsin x的取值范围为1,10O 线O 订O 装 O 外O号 考级 班名 姓核 学 .m ,，一一一对任意白实数 m,sin x.,者E启力数解.OJi m2 即对任意的实数 m,使得f (x)有零点. 故选：C.【点睛】线本题考查了辅助角公式的化简运用，遇至ij asinx+bcosx的形式时，首先化为Ja2 b2sin x，再去计算要解答的问题.本题属于中

5、等题.4.已知Sn是数列an的前n项和，a1,0，且an an i ( 1)nn2,若O2S9niQanma2019 12S20i9- a0圾1010，贝u+一的最小值().20192019 _ A. 2V2B. 4C. J2019D. 2J2019订【答案】B【解析】 .【分析】o先将 军姐 国以化简成2S2018 a2019的形式,再分奇偶不同的情况 用并项求和法求2019 20192019 2S-a出S2018的值，和累加法求出22019的值代入给0曳1010即可将 用 表20192019 _ _2一一2019 1 _2019壮不出来，最后化简+ 得 201g，根据基本不等式或二次函数的

6、最值，求出2019 1+ 一的最小值是4【详解】On 2.由 an an 1( 1)nn2得， /aa21,一一Ma3a43,内一一一1-2a5 a65 ,cc/r2°a2017 a20182017 ,S2018a1a2a20181232 5220172由奇数平方和公式2 _2 212 +32+52+.+ 2kk 4k2 1 得.1232522017221009 4 10092 1当n为奇数时,2anan 1 nan 2两式作差得，an则 a2019a201720172 20182,a2017a20152220152 20162,a2015a2013_2_2201320142a3a1

7、122累加得,a2019a2017 + a2017a2015a2015 a2013a3 a1a2019a112 223220182由自然数平方和公式321 2k1一得,a2019a1,2-21232_ _ 220182018 2018 12 2018 1则 2&0192019a201920192S2019a20192019S2018 a2019a201920192 s2018a201920191009 4210092 12018 2018 12 2018 120191009 2019又Q型空2019a20192019101020192019题答内线订装在要不请派r > >

8、rkr门， c 韭 c ,夕 O 线1O线OO订号 考订O 级 班O 装 O 名 姓核学装 O 外O 内O2019 1 +201920192019201922019Q0根据基本不等式，2019201922019224当且仅当20192019，即=£ 时2,20192019 1 +2019220192=42019201924即20191+的最小值是4,故选：B【点睛】本题考查了并项求和法、 累加法、基本不等式的综合运用 者符号不同）时，要分n为奇数和n为偶数的情况去讨论 化简.另外当求取值范围的表达式中含有超过一个未知数时 式针对表达式变形.本题属于难题._ 4 2201924，尤其当

9、奇偶项通项公式不同（或彳导到通项公式更简单的形式，再去，需通过消元法或者基本不等,0题答内线订装在要不请派r ra b 33_日 b.10、10 10第II卷(非选择题) 请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分5 .若z 2 2i (其中i为虚数单位)，则z =.【答案】2、, 2【解析】【分析】将z的共轲复数写出来，再算出模即可【详解】z 2 2i|z| = < 22 +22 =2 2 2故答案为：2 ,2【点睛】本题考查了共轲复数和复数的模，注意计算的正确即可，属于基础题.6 .函数f x 出2x的定义域是.【答案】,0【解析】由1 2x 0 ,得2x 1,所以x 0 ,所以原函数定

10、义域为，0 ,故答案为vvr r7 .已知向量a (1,0,3), b (3,1,0).则a与b的夹角.3【答案】arccos10【解析】【分析】根据向量的夹角公式求出a与b的夹角的余弦值，即可得出a与b的夹角.【详解】 r r cos'.a,br ra与b的夹角为3 arccos10O线O 号O线 O 订 O装考级 班名 姓核订 O装O 学O 外 O 内O故答案为：arccos10【点睛】本题考查了向量的夹角公式 ，注意算出非特殊三角函数值在写夹角的时候要用反三角函 数表示，不能直接写三角函数值，属于基础题.8 .函数f(x) 3x 1(x 0)的反函数是f-1(x) .,) c 1

11、【答案】lOg3X 1 x0,3【解析】【分析】求出f(x)的值域，即为f-1(x)的定义域，再将y f(x)中的x和y调换位置，化简变形用x表示y,即可得f-1(x)的表达式【详解】Qx 0_x 1_0 11y 333x 11y 3 (x 0)的值域为 0,3Y 1. .1y 3 (x 0)的反函数是x 3y 1,x0,31化间得ylog3x1x0,3即 f -1(x)log3x1x0,3故答案为：log3x1x0,3【点睛】本题考查了反函数 f-1(x)的计算，反函数的定义域是原函数的值域，当定义域不是 R时,一定要写出定义域.本题属于基础题.9.数列an的前n项和Snn2n 1,则an的

12、通项公式an【解析】【分析】32n根据an和Sn之间的关系，应用公式anGSn Sn得出结果1 时，aiS13;2 时，anSnSn故答案为:2n2n本题考查了an和Sn之间的关系式，注意当n 1和n2时要分开讨论，题中的数列非等差数列.本题属于基础题一210.募函数f(x)=xm(mCZ)为偶函数，且在区间(0,+ 8t是单调递减函数，则m= .【答案】1【解析】【详解】 2因为帚函数f(x)=xm 2m 3 (me Z)为偶函数，所以m2 2m 3为偶数， 一2因为帚函数f(x)=xm(mCZ)在区间(0,+ 8：是单调递减函数，所以2m2 2m 3 01 m 3因为m Z,所以m= 12

13、 n-11. (x /)展开式的二项式系数之和为256,则展开式中x2的系数为 .,- x【答案】1120题答内线订装在要不请派【解析】【分析】 线 线根据二项式展开式的二项式系数和为2n2 r83rTr 1 C；x8丁2r c8 x 2，当 8【详解】256，求出n的值,再写出二项式的通项公式为3一r =2时，即可求出x2的系数2 2 nn.onn(x -=)展开式的二项式系数之和为C：cnC2. Cnn2nJx256 n 8O 订 号 考级O 订 r3(x 尸)展开式的通项公式Tr 1 C；x8 r -2=2r C； x 2VxVx、3_4_42_ 2当 8 r=2 时，r 4,即 T5

14、2 Cg x =1120x2则展开式中x2的系数为1120故答案为：1120【点睛】O "人 班O 本题考查J 一项式展开式的二项式系数和12.已知函数 f (x) sin( x )(0,其函数图象的对称轴，则的最小值为_，和二项式展开式的通项公式，属于基础题.R)点(1,0)是其函数图象的对称中心，y轴是.装 O名 姓核学装 O【答案】一2【解析】【分析】因为y轴是其函数图象的对称轴，所以x0代入 x k2k Z ； (1,0)是其函 数图象的称中心，所以x 1代入 x+n n Z，作差即可表示出的值,再根据0,即可得 的最小值.外内【详解】 Q y轴是其函数图象的对称轴， 0-

15、k k ZO O (1,0)是其函数图象的对称中心1+ n n Z-，得-n k n k ZQ 0当n k 1时，有最小值2故答案为：2【点睛】本题考查了三角函数复合函数的对称轴和对称中心的表达式，属于基础题.13 .有5条线段，其长度分别为3,4,5,7,9，现从中任取3条，则能构成三角形的概率是【解析】【分析】从5条线段中任取3条共有10种情况，将能构成三角形的情况数列出，即可得概率.【详解】从5条线段中任取3条，共有C3 10种情况，其中，能构成三角形的有：3,4,5; 3,5,7; 3,7,9; 4,5,7; 4,7,9; 5,7,9.共6种情况；即能构成三角形的概率是 =3,10 5

16、3故答案为：35【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，注意统计出满足条件的情况数，再除以总情况数即可，属于基础题.14 .记X为不大于X的最大整数，设有集合 Ax|x2x 2,B=x|x 2 ,则 AI B .【答案】1, .3【解析】【分析】求AI B即需同时满足 A集合和B集合的x的取值范围，先根据题答内线订装在要不请派B=x|x 2 = x| 2 x 2，比较容易得出解集，再将B集合的解集代入A集合中，判断出可以成立的值，即可得AI B【详解】B=x|x 2=x|2 x 2当 2 x 2时，x 2, 1,0,1,当x2时，x2x20x0,不满足x2；当 x1 时，x2x21x 1 ,x

17、1 满足x1；当x0时，x2x22xJ2,不满足x 0；当 x1 时,x2x23xV3,x 忑3满足 x 1；即同时满足x x 2和x 2的x值后-1, J3 ；则AI B1, 3故答案为：1,3【点睛】本题考查了集合的计算，和取整函数的理解，针对两个集合求交集的情况，可先对较简单的或者不含参数的集合求解，再代入较复杂的或含参数的集合中去计算.本题属于中等题.15 .已知数对按如下规律排列：(1, 1), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 1),(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1),，则第 60 个数对是 .【答案】(5,7)【解析

18、】试题分析：根据已知条件，在直角坐标系中画出各点，其规律如图所示，因为11 11 1 66 ,可知第60个数对落在第11个与yx平行的直线上的，为5,7 2试题解析：将所给出的点列在平面直角坐标系内，从 1,1点开始，各点分别落在与yx平行的直线上，且第一组有一个点，第二组有两个点(1,2), 2,1 ,以此类推第三组有三个点 ，则第11组的最后一个数为第 66个数，则第60个点为5,7.考点：一般数列中的项16.已知实数a,b满足：2b2 a2 4,则a 2b的最小值为 .【答案】2【解析】【分析】本题解法较多，具体可考虑采用距离问题、柯西不等式法，判别式法，整体换元法，三角换元法进行求解，

19、具体求解过程见解析【详解】方法一：距离问题问题理解为：由对称性，我们研究双曲线上的点 a,b至ij直线a 2b 0的距离的J5倍”问题若相切，则2b22b z 2 4有唯一解2b2 4zb z2 4 0, V 16z2 8 z2 4两平行线a 2b 0与a 2b z 0的距离d所以 |a 2b 75 -2= 2方法二：柯西不等式法补充知识：二元柯西不等式已知两组数a,b； x, y,则a2 b2 x2 y222222222a b x y ax by ax a2 2,2 22 ca y b x 2abxy ay bx 0已知两组数a,b； x,y,则a2 b2 x2 y22.222.2222a

20、b x y ax by ax a2 2,2 22a y b x 2abxy ay bx 0axz2 42"5by 2,2 ax by,22,22b x b yb2y2 2abxy2 2b y 2abxy题答内线订装在要不请派r > > rkr门， c 韭 c ,夕所以 4 2b2 a2 2 1 a 2b 2,所以 a 2b 2.方法三：判别式法设a 2bt a 2b t ,将其代入2b2 a2 4，下面仿照方法一即可方法四：整体换元根据对称性，不妨设 J2b a 0, J2b a 0设X皆a ,则xy 4 x 0,y 0 ,且y 2b a方法五：三角换元由对称性，不妨设b

21、（为锐角）a 2 tan所以 a 2b 2tan2、, 2 secsin v 2cos2、2 sincosc cos2cos所以a 2b的最小值为2本题考查不等式中最值的求解问题,解法较为多样,方法一通过点到直线距离公式进行求解，方法二通过柯西不等式，方法三通过判别式法，方法四通过整体换元法，方法五 通过三角换元，每种解法都各有妙处，这也提醒我们平时要学会从多元化方向解题，培养一题多解的能力，学会探查知识点的联系，横向拓宽学科知识面评卷人得分三、解答题17.如图所示，在长方体 ABCD AiBiCiDi中，AB 2, BC 2,CCi 4,M为棱CCi上一点.耳D；题答内线订装在要不请派r &

22、gt; 上一工 > rkr门， C 韭 C ,夕 若C1M1,求异面直线AM和CiD所成角的大小；(2) 若C1M2,求证BM 平面A1BM.【答案】(1) arctanY5； (2)证明详见解析.【解析】【分析】由C1D1/B1A1,得B1A1M是异面直线A1M和C1D1所成角，由此能示出异面直线AM和C1D1所成角的正切值；(2) C1M2时,由勾股定理逆定理得 B1MBM,AM BM ,由此能证明BM 平面 A1B1M .【详解】QC1D1 /BA,B1AM是异面直线A1M和C1D1所成角，在长方体 ABCD ABiCiDi 中，AB1 平面 BCCiBi,AB1B1M ,Q AB

23、 2,BC 2,CCi 4,m 为棱 Cg 上一点，GM 1,B1M, B1C2 MC1251 、5B1M5tan B1AM ,A42即异面直线AM和C1D1所成角的大小为arctan 45.(2) CiM 2时，rm BMJBC2 CM2 2版,22 2 2BM BMBB1 , B1MBM ._2_2_2_2_Q AM2AC；MC124 4 412 ,A1B2164 20,2_2_ 2AM BM AB ,AM BM ,又 AM BiM M , bm 平面 AiB1M.【点睛】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查直线与平面的证明，解题时要注意空间思维能力的培养.2218 .已知椭圆Xr

24、冬 1(a b 0)的左、右焦点分别为 Fi,F2,左、右顶点分别为a2 b2A,A2,过F作斜率不为零的直线l与椭圆交于A, B两点， ABF2的周长为8 ,椭圆上一 一一.1一点P与A, A2连线的斜率之积kpA.kpA2(点P不是左右顶点).1 4(1)求该椭圆方程；0,1，求椭圆上动点N与M点距离的最大值.(2)已知定点M2【答案】(1) 土4【解析】【分析】y2 1;龙.1(1)由VABF2的周长为8求得a,然后结合 七入卜44求得b点的值，则椭圆方程可求；(2)设出N的坐标，利用两点间的距离公式得到| MN |关于N的纵坐标的函数，然后分类求出椭圆上动点 N与M点距离的最大值.【详

25、解】(1)如图，由VABF2的周长为8,得4a 8,即a 2.A( 2,0) A(2,0),22设P Oy。，则独粤1.4b2又 kPA kPA21 /曰y。y。14 ,得 X。2 X024b2 1.2则椭圆方程为：x-y2 1 .4(2)设椭圆上 N x0,y01 y0 1 ,又 M(0,1),|MN | x；y 1 2. 3y02 2y0 5则当 y01 时,|MN|13y0 116 口二河3；33 33即求椭圆上动点 N与M点距离的最大值为迤3题答内线订装在要不请派【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆方程的求法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题.19.某兴趣小组测量电视塔 AE

26、的高度H（单位m）,如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m ,仰角/ ABE奇,/ ADE部L A乂一疝一一(1)该小组已经测得一组“、3的值，tan ”=1.24,tan 3 =1.2请据此算出H的值(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位m),使“与3之差较大，可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为 125m,问d为多少时，a- 3最大【答案】(1) 124m. (2) 555y5m.【解析】H由AB一 tanh一,BD= tanH 一,AD=tan及 AB + BD=AD ,得HhHhtan4 1.24 ，解得H 一=124tan tantantan

27、tan1.24-1.20【详解】因此，算出的电视塔的高度H是124m.(2)由题设知d = AB ,得tan否 .d由 AB = AD BD = -H- -,得 tan 即 H一h , tan tandtan - tan _ hh所以 tan( g § 辛什 tan tan H (H h)2J H ( H h)，dH H h当且仅当d= -，即d= 7h(Hh) ,125 (125 4) =55J5时，上式取等号.所以当d = 55 J5时，tan(珏3最大.因为0< 3 <,则0<“一 3,所以当d220.已知函数f(x) xax b(a,bR).(1)若 a 2

28、时，f (x)0的解集为n,3时，求实数b的值；(2)若对任意a 1,1，存在x2,3，使f (x) 0 ,求实数b的范围;=55而时，“3最大.故所求的d是55，5m.(3)集合Ax| f(x)x|f(f(x) 4，若A B，求实数a的取值范围.【答案】(1)15； (2)6,；(3),5,5 .(1)f(x)0的解集为n,3，则f n f 30,代入即可解得b的值;(2)存在x2,3，使f(x) 0,则当f(x)max 0 x 2,3时即可，再根据20和f 30分别求出b的范围，再取并集即可;(3)设 C t|t一一 一 5f(x),x A，d t|f(t)7,因为 aB ,所以CD ,且

29、当t eDC 时，f xt无解，再根据二次函数的性质得出f (0)5一,代入二次函数解析式45斛信b 一,再根据4C D得出b,以及A B得出a2 4b 0,最终取交集得出a的取值范围.(1)f(x) 0的解集为n,3，且2x 2x b是二次函数，解得15.题答内线订装在要不请派(2)存在2,3，使 f(x)0,则当f(x)max 0 x 2,3 时即可ax b是开口向上的二次函数xmax若max f 22a b 4 0b 2aQ对任意1,1都成立b 2amax 2 1 42,即b2,O线O 号O线 O 订 O装考级 班名 姓核订 O装O 学O 外 O内O贝U f 3 =3a3a 9Q对任意a

30、1,1都成立b 3a 9Q要存在xmax2,3，使 f(x)中只需一值即实数2,6,b的范围为(3)设 CQ ABCD,t|t6,f (x),xeDC 时，f96,即 b>0即可,6,D t| f(t)Q f xx2axab f 2a4bC t2b 4t 0设Dt1,t2，且t1t2,f(t1)f(t2)54则eDCtt1 t2b 或 04t t2,Q f x2b4，当 t1t2 a4b 时，f xt无解t无解20辽Ax| f (x) 0，且当t若t2.当0t t2 时，fxt一定有解6,t 0 t t2 =0 t2又 QC D,0 t2t20，即 f (0)令 f (x) x2 axt

31、1 , t2a,0又QCx| f(x)44b 05 a 5,5即a的取值范围为J5,5本题考查了二次函数的性质及一元二次不等式的解法、二次函数最值的求法，遇到二次函数的性质不熟悉时，还可以采取画图的方法研究，写过程时详细地讨论.本题属于中等21 .已知数列 an和bn ，记S(m)ambm| .若an2n 1,bn 2 n ,求 S1，S3 ;(2)若 an2n 1,bn 21 3n ,求Sm关于m的表达式;(3)若数列. . . _ _ * . . .an和bn均是项数为 m(m 3,m N )项的有穷数列.，现将 an和bn中的项一一取出，并按照从小到大的顺序排成一列，得到1,2,3,.,2 m.求证：对于给定的m , S(m)的所有可能取值的奇偶性相同【答案】S10,