上海市各区2018届中考二模数学分类汇编：二次函数专题(含答案)

1、上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24.(本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题4分)已知平面直角坐标系 xOy (如图7),直线y x m的经过点A( 4,0)和点B(n,3).(1)求m、n的值；(2)如果抛物线y x2 bx c经过点A、B ,该抛物线的顶点为点 P ,求sin ABP的 值；(3)设点Q在直线y x m上，且在第一象限内，直线y x m与y轴的交点为点 D ,一y ,如果 AQO DOB ,求点Q的坐标. I I I I II. I 1,Ox图724.解：(1)直线y x m的经过点A( 4,0)4

2、m 0 1分 1 m 4 1 分,直线y x m的经过点B(n,3) 1 n 4 3 1分n 1 1分(2)由可知点B的坐标为(1,3)2 抛物线y x bx c经过点 A、B16 4b c 01 b c 3b 6, c 81 抛物线y x2 bx c的表达式为y x2 6x 8 1分.抛物线y x2 6x 8的顶点坐标为 P( 3, 1) 1分2 . AB 3、,2,AP 2 ,PB 2.53 AB2 BP2 PB24 PAB 90 1分sin ABP sin ABP（3）过点Q作QH. AQOAPPB10 10x轴，垂足为点H ,则QH / y轴DOB , OBD QBOOBD s'

3、; QBOOB DB八 1分QB OB 直线y x 4与y轴的交点为点 D.点D的坐标为（0,4）,OD 4又 OBDB 72QB 5、Q , DQ 4<2' 1分 AB 3、2AQ 8. 2,DQ 4.2 QH / y 轴,OD ADQH AQ.44 2QH 8,2QH 8 1分即点Q的纵坐标是8又点Q在直线y x 4上点Q的坐标为（4,8） 1分长宁区24 .(本题满分12分，第(1)小题4分，第(2)小题3分，第(3)小题5分)如图在直角坐标平面内，抛物线y ax2 bx 3与y轴交于点A,与x轴分别交于点B (-1, 0)、点C (3, 0),点D是抛物线的顶点.(1)求

4、抛物线的表达式及顶点 D的坐标；(2)联结AD、DC,求 ACD的面积；(3)点P在直线DC上，联结OP,若以O、P、C为顶点的三角形与 ABC相似，求点P的坐标.备用图第24题图24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题第（3）小题5分）解：（1）点 B （-1,0）、C （3, 0）在抛物线y2axbx9a 3b 3 0解得a 1b 2(2分)抛物线的表达式为2x 3,顶点D的坐标是1,-4)(2分)(2) A(0,-3),C (3,0), D (1 , -4)AC_2 CD222AC2 AD2CAD 90(2分)-AC AD - 3 22223.(1分)CAD AOB 90

5、.CAgAAOEl,ACD.OA=OC, AOC 90 OAC OAB OCA若以O、P、C为顶点的三角形与AD BOOABOACACDOCA 45即 BACBCD(1分)ABC相似，且 ABC为锐角三角形则 POC也为锐角三角形，点 P在第四象限由点C (3, 0), D (1,-4)得直线CD的表达式是y 2x 6,设P(t,2t6) (0 t 3)过P作PH, OC,垂足为点H,则OH t,PH 6 2t当 POC ABC时，由tan POC tan ABC得胆 电,OH BO 解得 t 5pi"(2分)1得里1，OH(2分)当 POC ACB 时，由 tan POC tan

6、ACB tan456-2t 1 ,解得 t 2,P2(2, 2)t综上得 P(6, 18)或 P2(2, 2)55崇明区24.(本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分)已知抛物线经过点 A(0,3)、B(4,1)、C(3,0).(1)求抛物线的解析式；(2)联结 AC、BC、AB,求 BAC的正切值；(3)点P是该抛物线上一点， 且在第一象限内，过点P作PG AP交y轴于点G ,当点G 在点A的上方，且 4APG与4ABC相似时，求点 P的坐标.24.(本题满分12分，每小题4分)解：(1)设所求二次函数的解析式为y ax2 bx c(a 0), 1分16a 4b c 1,将

7、A (0,3)、B (4,)、C (3,0)代入，得 9a 3b c 0,c 3.1 a2, 一 5解得 b -2分2c 31 c 5所以，这个二次函数的解析式为y 1 x2 5X 3 2 2(2) . A (0,3)、 B (4 ,)、C (3,0)AC 3>/2, BC 氏,AB 25 _ 2_ 22 AC2 BC2 AB2 /ACB 90BC 21tan/ BAC 尸一 AC 3.2 3(3)过点P作PH，y轴，垂足为H125125设 P(x, x-x3),则H(0,x- x3)2222 A (0,3)1 2 5 AH -x -x, PH x 22. / ACB / APG 90当

8、A APG与 ABC相似时，存在以下两种可能：, 一 一， 一 一 11 /PAG /CAB则 tan/ PAG tan/ CAB 3解得x 11PH 1x 1即 一 -丁 二AH 31x2 5x 3x x22.点P的坐标为(11,36)2 /PAG /ABC则 tan/ PAG tan/ ABC 3PHAH解得x17.点P的坐标为(17,4)奉贤区24.(本题满分12分，每小题满分各 4分)已知平面直角坐标系 xOy (如图8),抛物线yx2 2mx 3m2 (mA、B (点A在点B左侧)，与y轴交于点C,顶点为D,对称轴 为直线，过点 C作直线的垂线，垂足为点 E,联结DC、BC.0)与x

9、轴交于点 yi(1)当点 C (0, 3)时，求这条抛物线的表达式和顶点坐标；求证：/ DCE= / BCE;(2)当CB平分/ DCO时，求m的值.-x14.小口Q =1俎11 = k"-2耳+ 3.。步,。他3).力， 见3则DCE 5 Ay .,ZDC'£ 二 JCE(21y »而 |* + 4MBJ.洌初4|,取门fg,好段口作"L上制于F "- imi zfX £CF nt OC/. ZZJCF = W OTfi = HMD ; 舒J> tan dt?CS tfui 60' - -黄浦区24 .(本题满

10、分12分)已知抛物线y x2 bx C经过点A (1,0)和B (0,3),其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式；(2)求 ABD的面积；(3)设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH，对称轴，垂足为 H,若 DPH与4AOB相 似，求点P的坐标.25 . 解：(1)由题意得：0 1 b c, (2分)3 C-加 b 4八解得：，(1分)c 3所以抛物线的表达式为 y x2 4x 3. （1分）（2）由（1）得 D （2, 1）,（1 分）作DTy轴于点T,1 11则4ABD 的面积=-2 4 - 1 3 -1 21 1 .（3 分）2 22（3）令 P p, p2 4P 3 p

11、2 . （1 分）由 DPH 与 AOB 相似，易知/ AOB=/PHD=90° ,（2分）一 2所以p4p 3 1P 223或 P 4P 3 1P 2所以点P的坐标为（5,8 ）73,1分)金山区24.（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy中（如图8）,已知抛物线bx C 经过点 A(1,0)和 B(3,0),与y轴相交于点C,顶点为P.(1)(2)(3)求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标;点E在抛物线的对称轴上，且 EA=EC, 求点E的坐标；在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ,点Q在直线MN右侧的抛物线上，/ MEQ = / NEB,求点 Q的坐标.2.

12、24.解：（1） ;二次函数 y x bxC的图像经过点A (1 , 0)和 B (3, 0),分）91 3b I I 解得：b.这条抛物线的表达式是 y顶点P的坐标是（2,-1）.（2）抛物线y x2根据题意得:4, c 3.2x 4x 34x 3的对称轴是直线2分)1分)1分)X 2 ,设点E的坐标是（2, m）.（1分）J(2 1)2 (m 0)2 J(2 0)2 (m 3)2 ,解得：m=2, ( 21分）4t 3）,记MN与x轴相交于点F.点E的坐标为（2, 2）.（3）解法一：设点 Q的坐标为（t, t2作QD± MN ,垂足为D,则 DQt 2,DEt24t 3 2t2

13、 4t 1 （1 分）. /QDE=/ BFE电0° , /QED=/ BEF, . .QD& BFE, （1 分）.DQDE,t2 4t 1bF eF， 12，解得t1 1 （不合题意，舍去），t2 5. （1分）t 5,点E的坐标为（5, 8）. （1分）解法二：记 MN与x轴相交于点F.联结AE,延长AE交抛物线于点 Q,. AE=BE EF± AB,ZAEF=Z NEB,又. /AEF=/MEQ, . /QEM=/NEB, （1 分）点Q是所求的点，设点 Q的坐标为（t , t2 4t 3）,作 QHx 轴，垂足为 H,则 QH=t2 4t 3, OH=t,

14、 AH=t-1,. EF±x 轴，EF / QH, 旦 生,2 ,（1 分）QH AH t2 4t 3 t 1解得t1 1 （不合题意，舍去），t2 5. （1分）t 5,点E的坐标为（5, 8）. （1分）静安区24.（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系 xOy中，已知点B （8,0）和点C（9, 3） .抛物线y ax2 8ax c（a, c是常数，aw0）经过点B、C,且与x轴的另一交点为 A.对称轴上有一点 M ,满足MA=MC.y，（1）求这条抛物线的表达式；-（2） 求四边形ABCM的面积；-（3）如果坐标系

15、内有一点 D,满足四边形ABCD是等腰梯形，.且 AD/ BC,求点 D 的坐标. ， ： ， .一0 -B x:C-第24题图24 .（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）8a解：（1）由题意得：抛物线对称轴x ，即x 4 .（ 1分）2a点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）C 0, （ 1分）21分)(1分)将 C (9, -3)代入 y ax 8ax,得 a 1 o 8抛物线的表达式：y -x2 -x33（2）二点M在对称轴上，可设 M （4, v）又MA=MC,即 MA2 MC222_ 22 4 y 5 (y 3),解得 y=-3, .

16、 M (4,-3),MCAB且MCw AB,二.四边形 ABCM为梯形，AB=8,MC=5,AB边上的高 h = yM1S -(AB MC)MH（3）将点B (8,0)和点C (98k b9k bb 24由题意得，: AD/ BC,kBC又二 AD 过(0,0) , DC=AB=8,2设 D(x,-3x) (x 9)( 3x2分)y i1分)x解得x11（不合题意，舍去）,x21351分)c 3913 39、3x ，点D的坐标（一，）.555闵行区24.(本题满分12分，其中每小题各 4分)如图，已知在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 点A和点B (1, 0),与y轴相交于点 C (0, 3)

17、.(1)求抛物线的解析式和顶点 D的坐标；(2)求证：/ DAB=Z ACB;(3)点Q在抛物线上，且 ADQ是以AD为 底的等腰三角形，求 Q点的坐标.2.y ax 2x c与x轴交于2 2x c中,ax24.解：(1)把 B (1, 0)和 C (0, 3)代入3 9a 6 c 0-c得，解得c 3，抛物线的解析式是：顶点坐标D(1,(2)令 y 0 ,贝U x2 2xy4).一3 0132 X1 , A ( 3, 0)2分)1分)1分)1分) OA OC 3 ,/ CAO=Z OCA.在 Rt BOC 中，tanOCB ACDC-ACACDCDCtanDAC20 , AD：DC2,AD2

18、理1.OC 3AD 2 茄,20 ;2, ACD是直角二角形且 ACD 90',1AC 3又一/ DAC和/ OCB者B是锐角，DAO/OCB. DACCAOBCO OCA,即 DABACB.(3)令 Q(x, y)且满足 y x2 2x 3, A( 3,0), D( 1 , 4) ADQ是以AD为底的等腰三角形，QD2化简得:QA2,x 2即(x 3)2 y2 (x 1)2 (y 4)2,2y0.1分)1分)1分)1分)02x 31分)2y2X解得X1y1341411.41X2y23 4i41141 点Q的坐标是1,111,441, 11历.（2分）4848普陀区24.（本题满分12

19、分）如图10,在平面直角坐标系 xOy中，直线y kx 3与x轴、y轴分别相交于点 A、B,1 27并与抛物线y-x2 bx 的对称轴交于点 C 2,2 ,抛物线的顶点是点 D .4 2（1）求k和b的值；（2）点G是y轴上一点，且以点 B、C、G为顶点的三角形与 BCD相似，求点G的坐（3）在抛物线上是否存在点 E :它关于直线 AB的对称点F恰好在y轴上.如果存在，直接写出点E的坐标，如果不存在，试说明理由.24.解:1（1） 由直线y kx 3经过点C 2,2，可得k-. （1分）21 o 7由抛物线y -x2 bx 的对称轴是直线 x 2 ,可得b 1. （1分）421;直线y-x 3

20、与x轴、y轴分别相交于点A、B,（2分）.点A的坐标是 6,0 ，点B的坐标是 0,39.抛物线的顶点是点 D, .点D的坐标是 2,鼻. （1分）,一点G是y轴上一点，设点 G的坐标是 0,m . BCG与 BCD相似，又由题意知，GBC BCD ,（1分）ABCGA BCD相似有两种可能情况:如果BGMBC,那么3/= Y5 ,解得m= 1，点G的坐标是0,1 . （1分）CB CD552如果BGMBC,那么 ¥ =或，解得m=1，.点G的坐标是01.（1分）CD CB55222综上所述，符合要求的点 G有两个，其坐标分别是 0,1和0.2 99（3）点E的坐标是15或2,9 .

21、 （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）2 已知：如图8,在平面直角坐标系 xOy中，抛物线 y ax bx 3的图像与x轴交于占 八、A （3, 0）,与y轴交于点B,顶点C在直线x 2上，将抛物线沿射线 AC的方向平移，当 顶点C恰好落在y轴上的点D处时，点B落在点E处. （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段 BC所扫过的面积；（3）已知点F在x轴上，点G在坐标平面内，且以点 C、E、F、G为顶点的四边形是矩 形，求点F的坐标.b24.解：（1） 顶点 C在直线 x 2上，. x 2 , b 4a. （1 分）2a2将 A （3

22、, 0）代入 y ax bx 3 ,得 9a 3b 3=0,（1 分）解得 a 1 , b 4 .（1 分）抛物线的解析式为 y x2 4x 3.（1分）（2）过点C作CMx轴，CN±y轴，垂足分别为 M、N.22y x 4x 3= x 21, c （2,1）.（1 分） CM MA 1 , ./ MAC=45°, ，/ODA=45°, . OD OA 3. (1 分)2.抛物线y x 4x 3与y轴交于点B,B (0, 3),BD 6.(1 分)抛物线在平移的过程中，线段BC所扫过的面积为平行四边形BCDE的面积，1 .SBCDE 2S BCD 2 BD CN

23、6 212 .(1 分)2(3)联结CE四边形BCDE是平行四边形，点 。是对角线CE与BD的交点, 即 OE OC ,5.(i)当CE为矩形的一边时，过点 C作CF1 CE ,交x轴于点E, 设点 F 1(a,0 ),在 RtOCF1 中，OF12=OC2 CF12,r-2255即 a (a 2)5,解得 a 点 F 1(5,0) (1 分)2, 25 同理，得点F2(- -,0 ) (1分)(ii)当CE为矩形的对角线时，以点 O为圆心，OC长为半径画弧分别交 x轴于点F3、F4,可得 OF3=OF4 OC J5,得点 F 3(J5,0)、F4(-J5,0)一(2 分)55综上所述：满足条

24、件的点有F1(,0), F2(-,0 ) , F3(J5,0), F4(-J5,0).22松江区24.(本题满分12分，每小题各4分)如图，已知抛物线 y=ax2+bx的顶点为C (1,1), P是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP交该抛物线对称轴于点 B,直线CP交x轴于点A.(1)求该抛物线的表达式；(2)如果点P的横坐标为m,试用m的代数式表示线段 BC的长；(3)如果4ABP的面积等于4ABC的面积，求点 P坐标.(第24题图)24.(本题满分12分，每小题各4分)解：(1)二抛物线y=ax2+bx 的顶点为 C (1,1 )b2aa解得：b，抛物线的表达式为:y=x2-2x；(2

25、) .点P的横坐标为mP的纵坐标为：m2-2m令BC与x轴交点为M,过点P作PNx轴，垂足为点 P是抛物线上位于第一象限内的一点， PN= m2-2m, ON=m , O M=1,PN BM /曰由得ON OM2m 2m BM1 一分BM=m-21分点C的坐标为(1,1),BC=m-2+1=m-11.分.(3)令 P(t, t2-2t) 1 分 ABP的面积等于 ABC的面积.AC=AP过点P作PQ1± BC交BC于点Q .CM=MQ=1t2-2t=11分t 12 (t 1 2 舍去)1-分P的坐标为(1 亚,1 ) 1分徐汇区1x2 bx c2，一 ，一 124.如图，已知直线y x 2与x轴、y轴分别交于点B、C ,抛物线y 2过点B、C ,