一道平面几何题的十种证法

1、一道平面几何题的十种证法题目：如图， ABC 中，D、F 在 AB 上，AD=BF，过 D 作 DE / BC,交 AC 于E,过 F 作 FG/ BC 交 AC 于 G.求证：BC=DE + FG.分析：证明一条线段等于另外两条线段的和，常用的方法是将线段的位置平移：(1) 延长较短线段与较长线段相等；(2) 在较长线段上截取与较短线段相等的线段；(3) 将线段适当移动位置后进行比较；(4) 采用其它比较方法，如解析法，三角法，面积法等.一、延长较短线段与较长线段相等解法 1 如图 2,延长 FG 到 H，使 FH 等于 BC,连结 CH .(关键证 GH=DE 即 可).S 2由作法知 F

2、H 平行且等于 BC FBCH 是平行四边形CH=BF .在厶 ADE 和厶 CHG 中, CH=BF=AD .由 CH / AB / A= /2,又/ 仁/B，/ H= / B,所以/ 1 =ZH .ADECHG，贝 U DE=GH ,故 BC=FG + GH=DE + FG.证法 2 如图 3,仍延长 FG 到 H，使 GH=DE，连结 CH.（关键证 BC=FH）.找 EG 的中点 K，连接 DK 并延长 DK 交 FG 的延长线于 H，可证得由 DE / BC / FG / 仁/ 2=Z3.又 AD=FB，所以 AE=GC .ADECHG ,( SAS)/ A= / GCH AB /

3、CH .四边形 FBCH 是平行四边形，所以，BC=FH ,BC=D证法 3 女口图 4,延长 DE 至 U H, 使 DH=BC，连结 CH .(关键证 FG=EH).由二 DBCH 及 DH=BC .再厶 AFGACHE，得 FG=EH.二、恰当地将线段平移证法 4 如图 5A图3 DEKHGK DE=GH .再证得ADECHG，（或证厶 ADKCHK） 一 / A= / GCH= AB CHI =QFEOH = FE=BC , FG ” BC J BC=GH+ FG=DE+ FG.证法 5 如图 6.过 D 作 DH / AC 交 BC 于 H，贝 U DE=HC .不难证得厶 AFGD

4、BH ,可得FG=BH , BC= BH + HC = DE + FG.证法 6 如图 7 7过 F 作 FH / AC 交 BC 于 H （或在 BC 上截取 CH=FG） 则得 口 FHCG、口 ATHE三、在较长的线段上截取较短的线段证法 7 如图 8图8在 BC 上截取 BH=DE .不难得出 ADEFBH .贝 U/仁/2=73 FH/AC FG=HC.（同理可在 BC 上截取 BH=FG .再证 HC=DE）四、利用梯形或三角形的中位线定理题中要证的结论系三角形的底边 BC 等于梯形 DFGE 两底之和，可猜想通过梯形DFGE 的中位线沟通两者之间的关系.证法 8 如图 9.又 A

5、D=FB，由平行截割定理得 MN 也是 ABC 的中位线，所以MN二所以，由，知EC二DE + FG.五、利用相似三角形的性质和比例的性质题中要证的边实质是相似三角形的对应边， 因此，可从相似三角形的对应边成比 例和比例的基本性质入手证明.证法 9 如图 1.又 AD=BF，所以，AD + AF=AD + DB=AB .DE+FG _ AD+AF _ ABBC=AB=AB -即 BC=DF + FG.I AB_BC AF=FG+得AD+ATABDE+FGBC所六、其它线段变换证法 10 如图 10.图10作 AH 丄 DE 于 H，作 FP 丄 BC 于 P,作 GQ 丄 BC 于 Q.易证 ADHF