数理方法总结

1、数理方法总结CH1复数的基本概念1.1复数的定义：复数是实数的扩充推广，复数可表示成直角坐标系XOY上的点，也可由有序实数对（x,y）定义，记为z=(x,y)或者z=x+iy，实数x可以看成实轴上上的点（x,0）或者z=x表示。1.2复数的表示1.点表示一个复数z=x+iy由一对有序实数（x,y）唯一确定。2.三角表示通过直角坐标与极坐标的关系： 3.指数表示法在三角表示法的基础上，引进欧拉公式： 则z可表示成 1.3复数的幂与方根1.复数的乘积与商 则 2.复数的幂 当 时，得到德魔符公式： 3.复数的根-多值 1.4复数序列的极限1.定义：按一定顺序排列的复数 称为复数序列，记为 。一个复

2、数序列等价于两个实数序列和的有序组合。2.极限当时， 的充要条件是。CH2解析函数2.1复变函数将函数的概念由实数域推广到复数域时，自变量及函数值的取值范围相应的推广到复平面上的点集（称为定义域和值域）。1.区域邻域：集合 记为 单联通区域：中间没孔（圆域）。多连通区域：中间有孔（圆环域）。2.复变函数的定义若对区域D内任意复数 ，均存在另外一个复数 与之对应，则称w是z的复变函数，记为 。把集合D表示在一个复平面上，称该平面为z平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称该平面为w平面。3.极限只要 ，有 则称是函数当z趋于时的极限。4.复变函数的连续性2.2复变函数的导数1.导数与微分定义

3、：设函数在区域D内有定义， ，如果如下极限存在： 则称此极限为导数。2.可导的充要条件函数 在点z可导的充要条件是：（1）、在（x,y）处可导；（2）、满足柯西-黎曼方程： 且 2.3解析函数的定义和判定1.定义如果在及的某个邻域内处处可导，则称在处解析，并称是的解析点。奇点：的不解析点。注意：解析必可导，可导比一定解析。2.函数解析的充要条件在整个定义域上可导一定解析。2.4解析函数与调和函数的关系1.调和函数定义：二元实变函数在区域D内具有二阶连续的偏导数，且满足拉普拉斯方程 ，则称是在区域D内调和函数。区域D内解析函数的实部和虚部均为D内的调和函数。2.共轭调和函数定义：若在区域D内，、

4、均为调和函数，且满足柯西-黎曼方程，则称v为u的共轭调和函数。（但不能说u是v的共轭调和函数）3.构造解析函数的方法（1）不定积分法（2）曲线积分法（3）全微分法2.5单值初等函数1.幂函数2.指数函数指数函数是单值函数。是已为周期的周期函数3.三角函数 在复数范围内， 不成立。4.双曲函数CH3多值函数及其单值分支复变函数的多值性体现在：幅角的多值性，z平面上一个点的幅角是。多值函数的定义：z平面上一个点对应w平面上多个点一个单值分支：对每个自变量z只保留多值函数一个对应值而将其他对应值舍去的办法达到的单值连续函数。枝点：当z沿着包含某定点的充分小的简单闭曲线运动一周时，多值函数单值分支的值

5、发生改变时，称为多值函数的枝点。割线：从多值函数的枝点做一条延伸到无穷远处的曲线，称为割线。3.1对数函数（）对于一个固定的复数z，对数函数将其对应为无穷多个复数，这些复数的实部都是相同点，为，而虚部两两相差 的整数倍。确定单值分支的一个方法：在z平面上，首先规定好的一个幅角值，而任意一点z的幅角值规定为的幅角值与幅角该变量之和： 3.2幂函数3.3反三角函数和反双曲函数3.4多值函数的四则运算3.5多值函数的复合函数CH4复变函数的积分4.1复变函数积分的概念1.复变函数积分的定义设在z平面上的一条以a,b为端点的曲线上有定义，顺着这条曲线从a到b的方向上取分点，在到的每个小弧段上任取一点，

6、做和数： 当分点无限多，如果和数 的极限存在，则称极限为函数的积分。一般不能将其写为的形式，因为积分值不仅与a,b的值有关，还与积分路径有关。相当于二元函数的线积分。2.积分的计算1. 方法1：化为实部和虚部两个二元实函数积分的计算问题若在C上连续，则沿C可积，且有： 2. 参数方程法设有光华曲线，即连续，则： 4.2柯西积分定理1.单联通区域的柯西积分定理如果函数在z平面上的单联通区域D内解析，C为D内任一条逐段光滑的简单闭曲线，则 2.推论在单联通区域中解析的函数的积分值只依赖于起点和中点，而与积分路径无关。3.多连通区域的柯西积分定理设区域D是由曲线 所围成的有界多连通区域，在D内处处解

7、析，则有：4.3不定积分4.4柯西积分公式1.柯西积分公式设函数在区域D及其边界C所组成的闭区域上解析，a为D内任意一点，则： 2.高阶导数公式 CH5复数项级数和复变函数项级数5.1复级数1.复数列：一列有次序的复数 2.复数项级数：复数列构成的表达式3.复数列级数收敛的充要条件：、都收敛。4.复数列收敛的必要条件：5.绝对收敛：收敛6.条件收敛：收敛，而发散7.复变函数项级数：5.2幂级数1.定义：形如2.阿贝尔第一定理1) 如果在收敛，那么对于的所有点，级数绝对收敛2) 如果在发散，那么对于的所有点，级数发散。3. 阿贝尔第二定理5.3解析函数的泰勒展开泰勒定理：如果在圆域D：内解析，那

8、么在D内可以唯一的展开为幂级数： 其中 一些初等函数的泰勒展开：1. 指数函数： 2. 三角函数： 3. 5.4解析函数的洛朗展开1.定义：形如的级数2.洛朗展开定理如果在圆环域D：内解析，那么在D内可以唯一的展开为洛朗级数：其中：CH6留数理论及其应用6.1孤立奇点1.奇点的分类奇点的定义：函数在去掉圆心的圆盘D：内有定义并且解析，而在点处不解析，那么称为奇点。在D内，有洛朗级数1) 可去奇点当时，称为可去奇点2) 极点当只有有限个，称为极点。且当时，称是m阶极点。3) 本性奇点当有无穷多个，称为本性奇点。2.奇点判定为可去奇点的充要条件为： 是m阶极点的充要条件为：在内解析，且在点不为0.

9、为本性奇点的充要条件为：不存在有限或无穷极限6.2留数定理1.留数的概念定义：设函数在区域内解析，称积分 为在孤立奇点 的留数，记作。2.留数的求法是的解析点或可取奇点，有是的k阶极点，有是的本性奇点，留数由定义或者展开求3.在无穷远点处的留数4.留数定理第一留数定理设D是在复平面上的一个有界区域，其边界C是一条或有限条简单闭曲线。设在D内除去有限个孤立奇点外处处解析，并且它在C上也解析，那么有C的积分是按关于D的正向取的即沿区域在边界的左侧的方向。第二留数定理设在除去有限孤立奇点和的扩充复平面内解析，则 6.3用留数定理计算实积分利用留数定理计算实积分的关键：选取恰当的被积函数；选取恰当的简

10、单封闭的积分曲线。1.型积分计算 积分曲线：原点为圆心的单位圆 被积函数： 解法：设，则，有 因此，所求积分可转化为沿正向单位圆周上复函数的积分： 2.型积分的计算对的要求a，其中、都是多项式，且分母的次数比分子的次数至少高两次；-使上半平面的半圆上的积分为0.b在上半平面只有有限个孤立奇点，且没有实根（即在实轴上没有奇点）。-为了应用留数定理 积分曲线：实轴从到的直线和上半平面的半圆 被积函数： 式中：是在上半平面的留数和。3.含三角函数的无穷型积分 、的计算约当引理：设当时，函数在中一致趋于0，则 没写完6.4积分路线上有奇点类型积分的计算基本方法：重新构造封闭曲线计算积分，在奇点处画半径

11、为无穷小的圆弧没玩6.5多值函数的积分7含参变量的积分8傅里叶变换9拉普拉斯变换9.8拉普拉斯变换的应用求解线性方程的拉普拉斯变换解法大致步骤：1. 对关于的微分方程取拉普拉斯变换，得到一个关于象函数的代数方程，称为象方程；2. 解象方程，得到象函数；3. 对取拉普拉斯逆变换，就可得到微分方程的解。常用到的象函数的微分性质： 10二阶线性常微分方程的级数解法11典型方程的推到及基本概念一、数学物理方程中三个典型方程：1. 弦振动方程2. 热传导方程 3. 拉普拉斯方程二、定解条件对于一个确定的物理过程，仅给出表征该过程的物理量所满足的泛定方程式不够的，还要附加一定的条件，一般每个自变量在一阶微

12、分时给出一个定解条件，二阶微分时给出两个定解条件（几阶微分积分几次就会有几个待确定系数）。定解条件的一般形式为：当b=0时称为第一类边界条件；当a=0时称为第二类边界条件；当a、b均不为0时，称为第三类边界条件。三、定解问题1.初值问题（柯西问题）2.第一边值问题（狄利克莱问题）3.第二边值问题（诺依曼问题）4.第三边值问题（罗宾问题）5.混合问题12行波法局限性：只能用于求解无限区域上的波动方程定解问题。求解方式：先求出含任意函数的同解，再根据定解条件确定特解。一、 弦震动方程的达朗贝尔解法（无界弦震动柯西问题）定解问题归结为：13分离变量法一、基本思想：把数学物理方程定解问题中未知的多元函数分解为若干个一元函数的乘积，从而把求解偏微分方程问题转化为求解若干个常微分方程定解问题。二、常见二阶微分方程的解： 本征值：本证函数： 本征值：本证函数： 三、定解问题的三种情况1.齐次方程、齐次边界条件2.非齐次方程、齐次边界条件3.非齐次边界条件。14常微分方程