数学建模论文之圆形工件的检

1、产品检验问题(圆形工件的检验)内容摘要 某种圆形工件需要一个检验正/次品的方法，本论文针对该问题，给出了图像分析模型；关键词  图像分析模型问题的重述与分析 某工件为圆形，半径为10mm±0.1mm，超出此范围即为次品。测量仪器自动在每个工件的圆周上测量36个数据。假定测量出的二位数据（xi,yi）是足够精确的，要求建立一个合理的检验正/次品的模型，对每个工件的36个数据进行计算后给出判断。 本问题是一个通过采样评定工件正/次品等级的问题。问题的数学实质在于判定： 36个离散的点能否位于一个r=9.9mm，R=10.1mm的

2、同心圆环之间。 也就是说，我们要做的，是判断对每组数据，能否找到这样一个点，使得题目所给的36个点能够被包含于以该点为圆心，分别以r=9.9mm，R=10.1mm为半径的圆环之间。 我们首先考虑到一种基于图形的分析法，通过直接观察做出判断。之后，为了寻找一种更通用、更精确的方法，我们考虑一种逐步加细步长的搜索法。但问题的关键和难点在于，如何尽可能小的确定初始的考查范围（在此处，我们从第一种方法中获得了一些启发）。另外，还存在着更为快速、有效的算法。在模型中我们把对半径的限制转化为某一目标函数的约束条件，进而利用惩罚因子，建立无约束的优化模型，并利用Matlab在此方面的强大

3、功能，顺利求解。基本假设 136个数据采样已经能够判定此工件是否为正品； 2不考虑测量误差，即认为所给的数据是足够精确的； 3数据采样点是比较均匀的分布在圆周上(见封面),以保证采样的全面性，有效性。 4半径在10mm±0.1mm的范围内的工件为正品，其余为次品。 5当某工件用我们的模型无法判断是正品或次品时，我们就认为该工件是次品。 符号说明 Oi（ai ，bi） ：若第i个工件是正品，用所给36个点所确定的半径为10mm±0.1mm的圆的圆心；Aij (x/ij,

4、0;y/ij) ：我们首先将第i组的36个数据在坐标系下表出，以该组的第一对数据为起点，按照顺时针的方向依次标定为 Ai1，Ai2，Ai36 （1i5）； Li ：由Ai1，Ai2，Ai36，Ai1  按顺序首尾相连而形成的闭合折线； r ：r9.9mm，即工件半径的下限； R ：R10.1mm，即工件半径的上限；模型的建立与求解  2. 模型 ）图像分析模型  我们设计了一种能够直观判断Oi存在与否的方法。 首先利

5、用平面几何的知识，我们得到下面两个有用的引理： 引理1. 分别以Ai1，Ai2，Ai36 为圆心，r=9.9mm为半径作圆，若Li 中存在与任何圆Aij（1j36）都不相交的区域，则Oi（存在的话）必然在此区域中。 证明：记上述区域为S(1)© 。显然，Oi应位于Li围成的区域中。下用反证法： 反若定理不成立，即存在某j0 （1j036）,使得Oi在圆Aij0中。则显然， |Oi Aij0|r=9.9， 这与Oi的存在性，即工件是正品的假设矛盾，因此定理得证。 类似

6、地，有以下结论：引理2. 分别以Ai1，Ai2，Ai36 为圆心，R=10.1mm为半径作圆，若这36个圆在Li中有公共的交域（记为S(2)i），则Oi（存在的话）必然在此区域中。 综合上述两个引理，我们得到一个判断Oi存在与否，即工件是不是正品的充要条件：  定理1. Oi存在Û S(1)© S(2)© 。并且，当S(1)© S(2)© 时，Oi S(1)© S(2)© 。 

7、 为了便于应用我们给出以下两个推论： 推论1. 若S(1)i=时 Oi 不存在。 推论2. 若S(2)i=时 Oi 不存在。  在定理1的基础上，我们可以采用图像分析法直接判断Oi的存在性。 当我们用Matlab实现上述做法时，我们为便于直接观察，具体步骤如下： （1）我们首先将以r为半径的圆的内部涂色，S(1)i由于不属于任何以Aij 为圆心，r为半径的圆，它仍然是白色的；此时由推论1知，若此图中不存在白色区域，说明Oi 不存在，我们可以下结论

8、，该工件是次品。否则，我们进行下一步； （2）在另一幅图中，我们以R为半径的圆的外部涂色，S(2)i由于属于所有以Aij 为圆心，R为半径的圆，因而它也仍保持白色；此时由推论2知，若此时不存在白色区域，说明Oi 不存在，我们可以下结论，该工件是次品。否则，我们进行下一步；（3）使这两部分区域叠加，看是否仍然存在空白区域，若是，则认为工件是正品，否则为次品。 对5个工件，我们用图像分析法检测如下（所给均为放大后的图）：2. 工件1由图知，（21.37mm，34.64mm）S(1)© S(2)© ，即同时存在

9、于两个空白区域，因此它可以作为一个满足要求的圆心位置。  2.  结抡一 ：工件1是正品。3.                   因为r=9.9mm时，空白区域为空集，即S(1)i=。由推论1知： 2.  结论二：工件2是次品.因为r=10.1mm时，空白区域为空集，即S(2)i=。由推论2知：  结论三：工件3是次品。 如图，（3.83， -37.18）S(1)©