八年级上11.2与三角形有关的角201774

1、新乡为知教育八年级上11.2与三角形有关的角【重难点分析】重点：三角形的内角和定理,三角形的外角性质【教学过程】知识点1： 三角形的内角和定理1、掌握三角形内角和定理的证明。2、初步体会添加辅助线证题，培养观察、猜想和论证的能力。3、经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，渗透化归的数学思想。4、培养逻辑思维能力，进而激发求知欲和学习的积极主动性。考点1.1：三角形的内角和定理的应用重要程度：一般   中考频率：选考【精选例题】例题1若三角形三个内角度数的比为123，则这个三角形的最小角是( )A .30°B .45°C .60&

2、#176;D .90°答案A试题分析：设这三个内角分别为x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，列方程求出角的度数即可。解：设这三个内角分别为x，2x，3x，由题意得，x+2x+3x=180°，解得：x=30°，即最小角为30°，故选：A例题2如图，在ABC中，B=67°，C=33°，ABC的角平分线，则ADB的度数为（）A40°B45°C73°D85°答案C试题分析：先根据三角形内角和定理求出BAC的度数，再根据角平分线的性质得出BAD的度数，由三角形内角和定理即可得出结论试题

3、解析：在ABC中，B=67°，C=33°，BAC=180°-67°-33°=80°，AD是ABC的角平分线，BAD=BAC=×80°=40°，ADB=180°-B-BAD=180°-67°-40°=73°故选C例题3如图，在ABC中，B、C的平分线BE，CD相交与点F，ABC=42°，A=60°，则BFC=( )A .118°B .119°C .120°D .121°答案C试题分析：由ABC=42

4、°，A=60°，根据三角形内角和等于180°，可得ACB的度数，又因为ABC、ACB的平分线分别为BE、CD，所以可以求得FBC和FCB的度数，从而求得BFC的度数。解：ABC=42°，A=60°，ABC+A+ACB=180°ACB=180°-42°-60°=78°又ABC、ACB的平分线分别为BE、CDFBC=ABC21°，FCB=ACB39°又FBC+FCB+BFC=180°BFC=180°-21°-39°=120°故选：

5、C例题4如图，ABC两内角的平分线AO、BO相交于点O，若AOB=110°，则C=_.答案40°试题分析：根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出CAB+CBA的值，再利用三角形的内角和定理求出C的值解：AO、BO分别平分CAB、ABC，CAB=2OAB，CBA=2OBA，CAB+CBA=2（OAB+OBA）=2（180°AOB）=140°，在ABC中，C=180°140°=40°故答案为：40例题5如图，已知1=20°，2=25°，A=55°，则BOC的度数是_答案100°试题分析

6、:利用了三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和求解。解：如图，延长AO交BC于点D根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和知BOD=1+BAO，DOC=2+OAC，BAO+CAO=BAC，BOD+COD=BOC，BOC=1+2+BAC=20°+25°+55°=100°故答案为：100°例题6如图，在ABC中，A=60°，DEBC且BD平分ABC，CD平分ACB，EDB=20°，求ABC和ACB的度数答案试题分析：根据平行线的性质得到1=EDB=20°，由于BD平分ABC，于是得到ABC=21=40

7、6;，然后根据三角形的内角和即可得到结论试题解析：DEBC，1=EDB=20°，BD平分ABC，ABC=21=40°，A=60°，ACB=80°【随堂练习】练习1如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则A+B+C+D+E+F的度数是( )A .180°B .360°C .540°D .720°答案B试题分析：先根据三角形外角的性质得出A+B=1，E+F=2，C+D=3，再根据三角形的外角和是360°进行解答。解：1是ABG的外角，1=A+B，2是EFH的外角，2=E+F，3是CDI的外角，3=C+

8、D，1、3、3是GIH的外角，1+2+3=360°，A+B+C+D+E+F=360°故选：B.练习2如图，在直角三角形ABC中，ACAB，AD是斜边上的高，DEAC，DFAB，垂足分别为E、F，则图中与C（C除外）相等的角的个数是( )A .3个B .4个 C .5个D .6个答案A试题分析：由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，得C=BDF=BAD=ADE解：AD是斜边BC上的高，DEAC，DFAB，C+B=90°，BDF+B=90°，BAD+B=90°，C=BDF=BAD，DAC+C=90°，DAC+ADE=90&

9、#176;，C=ADE，图中与C（除之C外）相等的角的个数是3，故选：A练习3三角形一边上的高与另两边的夹角分别为62°和28°，则这边所对的角的度数为_或_.答案90°，34°试题分析：此题要分类讨论：当三角形一边上的高在这个三角形的内部时，则这边所对的角的度数为：62°+28°=90°，当三角形一边上的高在这个三角形的外部时，则这边所对的角的度数为：62°-28°=34°，于是得到是两种情况。解：当三角形一边上的高在这个三角形的内部时，则这边所对的角的度数为：62°+28°

10、;=90°，当三角形一边上的高在这个三角形的外部时，则这边所对的角的度数为：62°-28°=34°；故这边所对的角的度数为：90°或34°；故答案为：90°或34°.练习4已知ABC中，B=2A ，C-A=20°则A等于( )A .90°B .80°C .60°D .40°答案D试题分析：设A=x°，则C=x°+20，B=2x，根据A+B+C=180°得出方程x+20+x+2x=180，求出方程的解即可。解：在ABC中，B=2A，C-A

11、=20°，设A=x°，则C=x°+20，B=2x，A+B+C=180°，x+20+x+2x=180，解得：x=40则A=40°故选：D.练习5如图，四边形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，将BMN沿MN翻折，得FMN，若MFAD，FNDC，则B= _ °答案试题分析：根据两直线平行，同位角相等求出BMF、BNF，再根据翻折的性质求出BMN和BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解试题解析：MFAD，FNDC，BMF=A=100°，BNF=C=70°，BMN沿MN翻折得FMN，BMN=BMF=

12、5;100°=50°，BNM=BNF=×70°=35°，在BMN中，B=180°-（BMN+BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°故答案为：95考点1.2：根据内角和定理判断三角形形状重要程度：一般   中考频率：选考【精选例题】例题7在下列条件A+B=C；A=B=2C；A=B=C；ABC=123中，能确定ABC为直角三角形的条件有 （）A2个B3个C4个D5个答案B试题分析：根据三角形内角和定理和四个条件中A

13、、B、C的关系，分别求出各条件下三角形中最大的角，然后根据三角形的分类进行判断试题解析：A+B+C=180°，A+B=C，C+C=180°，解得C=90°，ABC为直角三角形，所以正确；A+B+C=180°，A=B=2C，A+A+A=180°，A=72°，ABC为锐角三角形，所以错误；A+B+C=180°，A=B=C，C+C+C=180°，A=90°，ABC为直角三角形，所以正确；A：B：C=1：2：3，设A=x，B=2x，C=3x，A+B+C=180°，x+2x+3x=180°，解得

14、x=30°C=90°，ABC为直角三角形，所以正确故选B例题8在ABC中，B-A=50°，B是A的3.5倍，则ABC是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D无法确定答案C试题分析：设A=x，则B=3.5x，利用已知条件列出方程3.5x-x=50°，由此求得x的值；再由三角形内角和是180度求得C的度数，从而推知该三角形的形状试题解析：设A=x，则B=3.5x，所以3.5x-x=50°，解得x=20°，所以A=20°，B=70°，所以C=180°-20°-70°=90°，所

15、以ABC是直角三角形故选：C【随堂练习】练习6若一个三角形三个内角度数的比为1173，那么这个三角形是( )A .直角三角形B .锐角三角形C .等边三角形D .钝角三角形答案D试题分析：首先根据三角形三个内角度数的比为11：7：3，设三个内角度数分别为11x°，7x°，3x°，再根据三角形内角和为180°可得方程11x+7x+3x=180，算出x，再分别算出角的度数即可。解：三角形三个内角度数的比为11：7：3，设三个内角度数分别为11x°，7x°，3x°，由题意得：11x+7x+3x=180，解得：x=，11×

16、=，是钝角三角形，故选：D练习7如图，已知O=20°，点P是射线OB上一个动点，要使APO是钝角三角形，则APO的取值范围为_答案试题分析：分APO是锐角和钝角两种情况讨论求解试题解析：若APO是锐角，则A90°，O=20°，90°-20°=70°，APO70°，0°APO70°；若APO是钝角，O=20°，180°-20°=160°，90°APO160°；故答案为：0°APO70°或90°APO160°考

17、点1.3：利用内角和定理解决实际问题重要程度：一般   中考频率：选考【精选例题】例题9如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A到C地去，先沿北偏东70°方向到达B地，再沿北偏西20°方向到达C地，此时ACB=60°，问小明在营地A的（）A北偏东20°方向上B北偏东30°方向上C北偏西30°方向上D北偏东40°方向上答案D试题分析：由题意可知，NAB，CBE，根据两直线平行同旁内角互补求ABC的度数，再结合ACB=60°，根据三角形的内角和求CAB的度数，可得出NAC的度数试题解析：由题

18、意可知，NAB=70°，CBE=20°，NABE，ABC=180°-NAB-CBE=90°ACB=60°，CAB=180°-90°-60°=30°，NAC=NAB-CAB=70°-30°=40°，故选D例题10如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向是南偏东30°，在M的南偏东60°方向上有一点A，某测量员在MN上取一点B，测得BA方向为南偏东75°，那么从A点观测M、B两处时的视角MAB是多少度？答案试题分析：根据方向角得到1，再

19、求出AMB，根据两直线平行，同位角相等可得2=1，然后求出ABN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解试题解析：如图，从M到N的走向是南偏东30°，1=30°，2=1=30°在M的南偏东60°方向上有一点A，AMB=60°-30°=30°，BA方向为南偏东75°，ABN=75°-2=75°=45°，MAB=ABN-AMB=45°-30°=15°例题11光线a照射到平面境CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，这时光线的入射

20、角等于反射角，即1=6，5=3，2=4，若已知1=55°，3=75°，那么2等于（）A50°B55°C66°D65°答案D试题分析：由入射角等于反射角可得6=1=55°，5=3=75°，那么利用三角形的内角和定理和平角定义可得2+4=5+6，所以5+6除以2即为2的度数试题解析：6=1=55°，5=3=75°，2=（55+75）÷2=65°，故选D例题12一个大型模板如图，设计要求BA和CD相交成30°角，DA和CB相交成20°角，怎样通过测量A、B、C、

21、D的度数来检查模板是否合格答案试题分析：构造三角形，利用三角形内角和定理判断即可试题解析：利用三角形内角和定理，如图，延长BA、CD交于E，延长DA、CB相交于F，BEC=30°，EBC+C=150°，BA与CD相交成30°角，同理，只要量得C+CDA=160°，那么DA与CB相交成20°角【随堂练习】练习8折叠三角形纸片ABC，使点A落在BC边上的点F，且折痕DEBC，若A=75°，C=60°，则BDF的度数为 _ 答案试题分析：根据三角形的内角和定理求出B，再根据两直线平行，同位角相等ADE，根据翻折变换的性质可得EDF

22、=ADE，然后根据平角的定义列式计算即可得解试题解析：A=75°，C=60°，B=180°-A-C=180°-75°-60°=45°，DEBC，ADE=B=45°，由翻折的性质得，EDF=ADE=45°，BDF=180°-45°×2=90°故答案为：90°练习9三角形纸片ABC，已知A=65°，B=78°，现将纸片一角折叠，使点C落AB上若1=20°，则2=_答案试题分析：根据三角形的内角和定理求出C的度数，再根据三角形的内角

23、和定理求出3+4的度数，然后根据平角等于180°列式求解即可试题解析：A=65°，B=78°，C=180°-A-B=180°-65°-78°=37°，3+4=180°-C=180°-37°=143°，纸片折叠后点C落在C上，1+2+2（3+4）=180°×2，即20°+2+2×143°=360°，解得2=54°故答案为：54°练习10某地有A，B，C三个村庄，如图所示，B村在C村的正西方向，A村在

24、B村的北偏东20°方向，同时A村又在C村的北偏西45°方向，那么站在A村看B，C两个村，视角是多大？答案试题分析：先求出ABC及ACB的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答试题解析：如图，B村在C村的正西方向，A村在B村的北偏东20°方向，同时A村又在C村的北偏西45°方向，ABC+ACB=180°-（20°+45°）=115°，三角形内角和是180°，BAC=180°-（ABC+ACB）=180°-115°=65°故站在A村看B，C两个村，视角

25、是65°知识点2： 三角形的外角1、了解三角形的外角概念。2、掌握三角形外角的性质，初步学会数学说理。3、通过小组学习、动手操作、探索发现等活动经历，培养比较、猜想、类比、转化的思想方法。4、初步学会建立数学模型、运用简单的说理来计算三角形相关的角。考点2.1：三角形外角的识别重要程度：不重要   中考频率：少考【精选例题】例题13如图，在1、2、3和4这四个角中，属于ABC外角的有（）A1个B2个C3个D4个答案A试题分析：根据三角形的一条边的延长线于另一边的夹角叫做这个三角形的外角判断试题解析：属于ABC外角的有4共1个故选A例题14若一个三角形的三

26、个内角之比为2：3：4，则其对应的三个外角之比是（）A4：3：2B7：6：5C3：2：1D2：3：4答案B试题分析：由一个三角形的三个内角度数之比为2：3：4，根据三角形内角和定理，即可求得此三角形三个内角的度数，继而求得与之对应的三个外角度数，则可求得答案：一个三角形的三个内角度数之比为4：3：2，三个内角分别为：180°×=40°，180°×=60°，180°×=80°，与之对应的三个外角度数分别为：140°，120°，100°，与之对应的三个外角度数之比为：7：6：5故

27、选B【随堂练习】练习11如图，填空：（1）1=_；（2）2=_；（3）3=_答案试题分析：（1）根据三角形的内角和定理列式计算即可得解；（2）（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解试题解析：（1）1=180°-80°-60°=40°；（2）2=80°+60°=140°；（3）3=40°+90°=130°故答案为：40°；140°；130°练习12如图，下列关于外角的说法正确的是（）AHBA是ABC的外角BHBG是ABC的外角CDCE是

28、ABC的外角DGBA是ABC的外角答案D试题分析：根据三角形外角的定义（三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角）进行判断A、如图，HB不在CB的延长线上，所以HBA不是ABC的外角，故本选项错误；B、如图，HB不在BA的延长线上，所以HBG不是ABC的外角，故本选项错误；C、如图，CE不在CA的延长线上（或者CD不在CB的延长线上），所以DCE不是ABC的外角，故本选项错误；D、如图，GBA是ABC的外角，故本选项正确；故选：D练习13如图，在1、2、3和4这四个角中，属于ABC外角的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个答案A试题分析：根据三角形的一条边的延长线于另

29、一边的夹角叫做这个三角形的外角判断。解：属于ABC外角的有4共1个，故选：A考点2.2：利用三角形外角性质求角度重要程度：一般   中考频率：少考【精选例题】例题15五角星的顶点为A、B、C、D、E，A +B +C +D +E的度数为( ).A .90°B .180°C .270° D .360°答案B试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得1=A+C，2=B+D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解。解：如图，由三角形的外角性质得，1=A+C，2=B+D，1+2+E=180°

30、，A+B+C+D+E=180°故选：B.例题16如图，C在AB的延长线上，CEAF于E，交FB于D，若F=40°，C=20°，则FBA的度数为( ).A .50°B .60°C .70°D .80°答案C试题分析：先根据三角形内角和定理求出EDF的度数，再根据对顶角的性质求出CDB的度数，由三角形外角的性质即可求出FBA的度数。解：CEAF于E，FED=90°，F=40°，EDF=180°-FED-F=180°-90°-40°=50°，EDF=CDB，CD

31、B=50°，C=20°，FBA是BDC的外角，FBA=CDB+C=50°+20°=70°故选：C.例题17如图，将ABC沿着DE对折，A落到A，若BDA+CEA=72°，则A=_.答案36°试题分析：根据折叠的性质得到ADE=ADE，AED=AED，由平角的定义得到BDA+2ADE=180°，AEC+2AED=180°，根据已知条件得到ADE+AED=144°，由三角形的内角和即可得到结论。解：将ABC沿着DE对折，A落到A，ADE=ADE，AED=AED，BDA+2ADE=180°，

32、AEC+2AED=180°，BDA+2ADE+AEC+2AED=360°，BDA+CEA=72°，ADE+AED=144°，A=36°故答案为：36°.【随堂练习】练习14如图，A+B+C+D+E 等于( )A .90°B .180°C .360°D .270°答案B试题分析：根据三角形外角的性质可知B+A=1，D+E=2，再根据三角形内角和定理即可得出结论。解：如图：B+A=1，D+E=2，1+2+C=180°，A+B+C+D+E=180°故选：B.练习15如图所

33、示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则1+2的度数为( )A .120°B .180°C .240°D .300°答案C试题分析：三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得1+2的度数。解：根据三角形的内角和定理得：四边形除去1，2后的两角的度数为180°-60°=120°，则根据四边形的内角和定理得：1+2=360°-120°=240°故选：C.练习16如图，C在AB的延长线上，CEAF

34、于E，交FB于D，若F=40°，C=20°，则FBA的度数为( ).A .50°B .60°C .70°D .80°答案C试题分析：先根据三角形内角和定理求出EDF的度数，再根据对顶角的性质求出CDB的度数，由三角形外角的性质即可求出FBA的度数。解：CEAF于E，FED=90°，F=40°，EDF=180°-FED-F=180°-90°-40°=50°，EDF=CDB，CDB=50°，C=20°，FBA是BDC的外角，FBA=CDB+C=50&

35、#176;+20°=70°故选：C.考点2.3：利用三角形外角性质判断角的大小重要程度：一般   中考频率：少考【精选例题】例题18下列结论中正确的是（）A三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角B三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形C三角形的三个内角中，最多有一个钝角D若三条线段a、b、c，满足a+bc，则此三条线段一定能组成三角形答案C试题分析：A、根据三角形的外角性质即可作出判断；B、根据三角形的分类即可作出判断；C、根据三角形内角和定理即可作出判断；D、根据三角形三边关系，即可作出判断试题解析：A、三角形的一

36、个外角大于这个三角形的和它不相邻的一个内角，故选项错误；B、三角形按边分类可以分为：不等边三角形、等腰三角形，故选项错误；C、三角形的三个内角中，最多有一个钝角是正确的；D、如a=8、2、1，满足a+bc，但是能组成三角形，故选项错误故选C例题19如图，ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则1，2，3的大小关系（）A123B213C321D312答案C试题分析：根据三角形的外角性质进行解答即可试题解析：因为1=2+B，所以12，因为2=3+E，所以23，所以321，故选C【随堂练习】练习17如图，在ABC中，EFBC，ACG是ABC的外角，BAC的平分线交

37、BC于点D，记ADC=，ACG=，AEF=，则：（1）_（填“”、“=”或“”号）；（2）、三者间的数量关系式是_答案试题分析：（1）根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角解答；（2）根据两直线平行，同位角相等可得B=，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出BAD、CAD，再根据角平分线的定义可得BAD=CAD，然后列出方程整理即可得解试题解析：（1）；（2）EFBC，B=，由三角形的外角性质得，BAD=-B=-，CAD=-，AD是BAC的平分线，BAD=CAD，-=-，+=2故答案为：，+=2练习18已知：如图，点D，E分别在AC，AB上，且B=C求证：（1）AE

38、C=ADB；（2）BECB答案试题分析：（1）根据三角形内角和定理即可得出结论；（2）根据三角形外角的性质即可得出结论试题解析：（1）证明：在AEC中，AEC=180°-C-A，在ABD中，ADB=180°-B-A，B=C，AEC=ADB；（2）证明：BECC，B=C，BECB考点2.4：利用三角形外角性质证明问题重要程度：一般   中考频率：少考【精选例题】例题20如图，D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，若B=C，ADE=AED，则（）A当B为定值时，CDE为定值B当为定值时，CDE为定值C当为定值时，CDE为定值D当为定值时，CDE为定值答案B试题分析：两次运用三角形外角的性质得EDC=（B+-EDC）-B=-EDC，然后移项可得结果试题解析：EDC=A