拓扑学江辉有编答案

1、拓扑学第一次作业参考解答2.1证明：只需验证满足三条拓扑公理：（ 1）由的定义知，(,),(,) .（ 2）对于的任一子族(, a )，其中每个a. 如果存在0,a 0，则显然(,). 否则若a :有上确界 a ，那么(, a)；若 a:没有上确界，那么( ,). 总之，恒有.（3）设 (, a),( , b)为任意两个元素，则如果 a,b中至少有一个为，则 (,a) (, b).如果 a，则 (, a)(, b)(, b) .如果 a,b都是常数，不妨设ab ，则 (, a)(, b)(, a) .因此总有 (, a)(,b)成立 .因此，确实是上的一个拓扑 .2.2证明：设1 ,2 是集合

2、 X 上的两个拓扑，下面验证12 满足三条拓扑公理：（ 1）由于1,2 ，故12 .同样地，由于X1, X2，故 X12 .（2）设 U是 12 的任一子族， 则 U是1 的子族，也是2 的子族 .由于1 ,2 是集合 X 上的两个拓扑，故U1 ，且U2 ，从而U12 .（3）设 U ,V12，则 U,V1且U,V2. 由于 1,2 是集合 X 上的两个拓扑，故UV1 ，且 U V2，从而 UV12 .可见 12 满足三条拓扑公理，因此是X 上的一个拓扑 .但是， 12 却未必是 X 上的一个拓扑 .例如，令 X0,1,2，并设 1,0 , X, 2,1,X.则不难验证，1 ,2 是集合 X

3、上的两个拓扑.然而，12,0,1,X却不是 X 上的一个拓扑 .因为0, 112 ，但是010,112.故12 不满足拓扑公理（2），因而不是拓扑！当然，12 也有可能成为一个拓扑，比如当12 时就可以 .1 / 52.3证明：若 xXB x0 ; ，则 d (x, x 0). 令d ( x, x0 )，则0. 于是为完成证明，只需证明 B(x,)B x0 ; . 事实上，若存在xB( x,)B x0 ; ，则由距离的三角不等式得22d ( x , x0 )d( x, x0 )d ( x , x)d (x, x0 )d( x, x0 ).2从而知，xB x0 ; ，矛盾！因此B(x,)B x0

4、;.这表明 x 是 XB x0 ; 的内点，故由x 的任意性2XB x0 ; 是开集，从而B x0 ; 是闭集 .另一方面，若X，令 d :1 , d (x, x )0, xx，则不难验证 d 是 X 上的一个度量 .对于1,xx度量空间 (,d ) 、正数1 和实数0，容易看出有B0;1， B(0;1)0 , B(0;1)0. 可见此时 B(x0 ;)B x0 ; 并不成立 .2.4证明：设xAB ，则 xA, x B. 由于 A 是开集，故AN ( x). 对于任一 UN ( x) ，也有UAN (x).故由 xB 及命题 2.4 可知， 必有 (UA)B，也即有 U(A B).由 U 的

5、任意性及命题2.4，可知有 xA B.再由 x 的任意性即知有ABAB.2.5证明：（充分性） 设 X 的每个非空开子集与A 有非空的交， 则xX , UN ( x) ，都有 UA .由命题 2.4 知， xA. 于是由 x 的任意性知，有XAX，即AX.可见 A 是 X 的稠密子集 .（必要性）若 A 是拓扑空间 X 的稠密子集，则依定义有AX .于是对于 X 的每个非空开子集U ，任取 xU ，则 xA, UN ( x) ，由命题2.4 知，必有 UA.因此 X 的每个非空开子集与A 有非空的交 .2.6证明：设 A 和 B 都是拓扑空间X 的稠密子集，并且A 是开集，又设 U 是 X 的

6、任一非空开集，则由A 的稠密性和习题2.5 的结论可知，AU.因为 A 是开集，故 AU 也是开集，再由B 的稠密性和习题 2.5的结论可知， (A U ) B，即 U(AB). 于是由 U 的任意性和习题 2.5 的结论可知，A B是 X 的稠密子集 .如果 A 不是开集，结论就未必正确了.比如，在实直线1 中，有理数集 Q 和无理数集 PQ 都是稠密子集，但是它们的交集PQ显然不是稠密子集.2.7证明：设点列 xnx ，记 Axn n，则 A 是一个可数集，因此BxnA xnx 也是2 / 5可数集， 因此 UBN ( x) ，由收敛性定义， 存在正整数 N ，当 nN 时， xnU .

7、因此当 nN 时，xnx.这是显然的，由收敛性定义直接可知.2.8证明：（1） 设 xA， 则n, B(x,)(Ax ).1因此可以取一个，B( x, 1 ) ( Anxnx ). 这个点列xn显然满足要求；反过来， 如果存在 A 中异于 x 的点列 xnn使得 lim d (x, xn )0.那么对于任一UN ( x) ，存在0 使得 B( x,)U ，同时存在自然数N ，当nnN 时， d( x, xn )，从而 xnB( x, )U . 因此 xnU( Ax ) ，这表明 U( Ax ). 由聚点的定义可知，xA .（ 2）若 xAAA，则当 xA时，显然 d( x, A)0 ；否则 x

8、A ，此时由（ 1）知，存在 A 中异于 x 的点列xn使得 lim d( x, xn )0.从而n0d (x, A)infd ( x , x): xAinfd( xn , x): n0.必有 d (x, A)0.因此 AxXd (x, A)0 .反 过 来 ， 如 果 xxXd( ,x A) 0 则.d (x, A)0.对于任一UN ( x)， 存 在0 使 得，而由d (x, A) 0知，存在 xA 使得d ( x, x )，从而 xUA. 故UA .由命题B( x, ) U2.4 知， xA. 因此也有 AxX d ( x, A) 0 .综上可知， AxX d (x, A)0 . 解：对

9、于任一，取1，则显然(0,1)(1,2,3, ) ，2.9y0,1xn2n(n1,2,3,)xnnarcsin y并且容易看出，d (0, y),( xn ,sin1 )( xn0)2(sin 1y) 2xn 0 （当 n时）xnxn因此由习题2.8 知， (0, y) AA. 取点列 xnn，则不难看出， xn(0,1) ，并且容易看出在2 中n1lim ( xn ,sin1 ) (1,sin1). 因此 (1,sin1)A.nxn此外，如果平面2 中的一个点 ( x, y) 满足下列三个条件之一：3 / 5 ysin1 x0, y0,1 ； y1(0,1.；sin, xxx则不难找到点(x

10、, y) 的一个邻域 U使得 UA.因此最后可得：AA(0, y)1y 1(1,sin1).2.11证明：先证明是上的一个拓扑，只需验证它满足三条拓扑公理：（ 1）显然， ,都满足上述条件，因此,；（ 2）设 U为的任一子族， 令 UU，若 n U ，则,nU. 由 U所满足的条件知，n 的每个因数都在 U中，从而 n 的每个因数都在 U 中，故 U；（ 3）设 U1,U 2，不妨设 U 1U 2.若 nU1U 2 ，则 nU1 ，且 nU2 .由 U1,U2 所满足的条件知， n 的每个因数都在 U1中，同时也都在 U 2 中，从而 n 的每个因数都在 U1U2 中，故 U1U 2.可见，满

11、足三条拓扑公理，因此是上的一个拓扑 .因为 1是任何一个正整数的因数，因此U,1U . 因此， 2 不是 中的开集 .由此可知，不是离散拓扑 .2.13证明：首先，由于AA总是成立的，故当A是闭集时，必有AA.其 次 ，由于 AA，显然也有 AA.因此自然地又有AA.故当A是闭集时，AA.然而，下面这个例子表明，当A不是闭集时，AA未必成立 .比如，在1 中，对每个 n，令 An1,1 ，则Ann(0,1 0,1，然而An nn(0,1. 因此此时An nAn n. 2.17证明：（ 1）显然只需证明两个F集的交集还是F集就可以了 .设 AEn , BFn 是任nn意两个 F集，其中每个 En , Fn ( n) 都是闭集 .则4 / 5A BEnFn( EmFn ).nnm,n由于每个Fnm n) 都是闭集，故FEmAB 是集 .(,（ 2）显然只需证明两个G集的并集还是 G集就可以了 .设 CU n , DVn是任意两个 Gnn集，其中每个 U,V (n) 都是开集 .则nnC DU nVn(U mVn