北京西城区学习探究诊断数学八上第十二章_全等三角形

1、第十 二 章 全等三角形 测试 1 全等三角形的概念和性质学习要求1理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素2掌握全等三角形的性质；会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某）A D BBBCC C DDAD9下列命题中，真命题的个数是全等三角形的周长相等（）全等三角形的对应角相等全等 三角形的面积相等面积相等的两个三角形全等A 4BC 2D10.如图 1 4, ABC=A BADA 和 B、 C 和 D 是对应顶点，如果AB=5, BD = 6, AD课堂学习检测一、填空题 1 的两个图形叫做全等形 . 2 把两个全等的三角形重合到一起， 叫做对应顶点；

2、 叫做对应边； 叫做对应角 记 两个三角形全等时，通常把表示 的字母写在 上 3全等三角形的对应边，对应 角 ，这是全等三角形的重要性质 4 .如果AABC= A DEF,则AB的对应边是 , AC的对应边是 , / C的对应角是 , / DEF的对应角是 . 图 1 15 .如图 11 所示，AABCADCB. （1）若/ D = 74° / DBC = 38° ,则/ A =, / ABC = 2）如果AC=DB,请指出其他的对应边 ； 3）如果AAOBADOC,请指出所有的对应边 ,对应角 . 图 1 2图 1 36.如图 12,已知ABE0DCE, AE= 2 cm

3、, BE= 1.5 cm, / A=25° ， B B=48° ；那 么 DE =cm, EC=cm, / C = ； / D = D 无法确定 图 1 - 6=4,那么BC等于（） A 6 一个图形经过平移、翻折、旋转后， 变化了，但 都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形 二、选择题 8.已知：如图1 3, A ABD=CDB ,若AB/CD ,则AB的对应边是 5C 4图 1-4图1-5 11 .如图1 5, ABC = A AEF,若/ ABC和/ AEF是对应角，则/ EAC等于 （）B . / CAFC . / BAF D . / BAC/ DAC = 35

4、 ° ,则/ EAC 的D 2512 .如图 1 6, ABCAADE,若/ B=80° ， C C=30° ， 度数为（）_ oI-v _ Oz-s _ _ oA 40°B 由全等三角形判定方法1 “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个 三角形的 也就确定了 图 2 1 图 2 2 图 2 3 4.已知：如图 21, 4RPQ中，RP=RQ, M为PQ的中点.5°C 30 ° 三、解答题13 .已知：如图1 7所示，以B为中心，将RtEBC绕B点逆时针旋转90°得到 ABD , 若/ E=35° ,求

5、/ ADB的度数. 图 1 7图 1 8图 1 9综合、运用、诊断一、填空题14 .如图1 8, ABE和ADC是 ABC分别?占着AB, AC翻折180°形成的若/ 1：/2：/ 3= 28 ： 5 ： 3,则/ a的度数为. 15 .已知：如图 19, ABC = A DEF , / A=85° ， / B=60° ， AB=8, EH = 2. （1）求/ F的度数与DH的长； （2）求证：AB H DE . 拓展、探究、思考16.如图1-10, AB±BC, AABE= A ECD.判断AE与DE的关系，并证明你的结论. 图110测试 2 三角形

6、全等的条件（一）学习要求1理解和掌握全等三角形判定方法1 “边边边”， 2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 课堂学习检测一、填空题1 判断 的 叫做证明三角形全等2 全等三角形判定方法1 “边边边”（即 ）指的是 求证：RM平分/ PRQ. 分析：要证 RM平分/ PRQ,即/ PRM= 只要证 0 证明：:M为PQ的中点(已知)， 在 和 中， 色(). / PRM=() . 即 R M 5 .已知：如图 2 2, AB=DE, AC= DF , BE= CF. 求证：/ A= / D. 分析：要证/ A=Z D,只要证 9. 证明：= BE = CF ()

7、,BC =. 在 ABC和 DEF中， 9 ( ) . l/ A=/ D () . 6 .如图 2 3, CE=DE, EA=EB, CA=DB, 求证： abcA bad. 证明： CE=DE, EA=EB,即=. 在 ABC和BAD中， = (已知)， abgabad ().综合、运用、诊断一、解答题 7 .已知：如图 2 4, AD = BC. AC=BD.试证明：/ CAD = / DBC . 图 2 4 8画一画 已知：如图2 5，线段a 、 b、 c 求作：A ABC,使得 BC=a, AC=b, AB = c. 图 2 5 9. “三月三，放风筝”.图 2 6是小明制作的风筝，他

8、根据DE = DF, EH= FH,不用度量，就知道/ DEH = / DFH.请你用所学的知识证明. 拓展、探究、思考10 画一画，想一想： 利用圆规和直尺可以作一个角等于已知角，你能说明其作法的理论依据吗？测试 3 三角形全等的条件 (二)学习要求1理解和掌握全等三角形判定方法2 “边角边” 2能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等 图 3 1 图 3 2 课堂学习检测一、填空题1 全等三角形判定方法2 “边角边” (即 )指的是 2 .已知：如图 31, AB、CD 相交于。点，AO = CO, OD = OB . 求证：/ D=/ B. 分析：要证/ D=Z

9、 B,只要证 9 证明：在 AOD与COB中， AODA () ./ D = / B () . 3.已知：如图 3-2, AB/CD, AB=CD.求证：AD / BC . 分析：要证 AD / BC,只要证/ =Z , 又需证 9. 证明： AB/ CD (),: 4= 4 <在和中， A 0 A ().,: 4= 4 .(). ./( ). 综合、运用、诊断一、解答题 4 .已知：如图 33, AB = AC, /BAD=/CAD. 求证：/ B= Z C. 图 3 3 5 .已知：如图 3 4, AB = AC, BE=CD. 求证：/ B= / C. 图 4 4 6 .已知：如图

10、 35, AB = AD, AC=AE,21 = /2. 求证：BC = DE. 图3-5 拓展、探究、思考 7 .如图3- 6,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB=CB, EB=DB, / ABC = / EBD=90° ）,连接 AE、CD ,试确定 AE与CD的位置与数量关 系，并证明你的结论. 图36 测试4三角形全等的条件 （三） 学习要求 1 .理解和掌握全等三角形判定方法3 “角边角”，判定方法 4 “角角边”；能 运用它们判定两个三角形全等. 2 .能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测 一、填空

11、题 1. （1）全等三角形判定方法 3 “角边角”（即 ）指的是 , （2）全等三角形判定方法 4 “角角边”（即）指的是 图4- 1 2.已知：如图 41, PM = PN,2M = /N.求证：AM=BN. 分析：PM=PN,要证 AM=BN,只要证 PA= 只要证 0. 证明：在与4 中， .? PA= .（）. .1 PM = PN （）,，PM= PN-,即 AM=. 3.已知：如图 4-2, ACBD.求证：OA=OB, OC=OD. 分析：要证 OA=OB, OC=OD,只要证 9. 证明：: A C / B D, ， / C=.在与中， ,.9, .（）.OA= OB, OC=

12、 OD （） .图4-2 、选择题4 .能确定 AB（C = IDEF的条件是 （）A . AB= DE, BC= EF, Z A= / E B. AB=DE, BC = EF, Z C=Z E C. /A=/E, AB=EF, /b=/d D. /A=/D, AB = DE, /B=/E 5 .如图4 3,已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和 ABC全等的 图形是（）图 4 3A 甲和乙B 乙和丙C只有乙D 只有丙 6 . AD是ABC的角平分线，作 DEAB于E, DFAC于F,下列结论错误的是（） A.DE=DFB. AE=AFC.BD=CDD. / ADE = /A

13、DF 三、解答题 7 .阅读下题及一位同学的解答过程：如图4-4, AB和CD相交于点O,且OA= OB, Z A=/ C.那么 AOD与COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理 由 答： AOD=A cob. 证明：在 AOD和COB中， 图 4 4 AaOD=A COB （ASA） . 问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？综合、应用、诊断8 .已知：如图 45, AB±AE, AD±AC, /E=/B, DE=CB. 求证：AD=AC. 图 4 5 9 .已知：如图 46,在 MPN中，H是高MQ和NR的交点，且 MQ=NQ. 求证：HN = P

14、M. 图 4 6 10 .已知：AM是A ABC的一条中线，BE，AM的延长线于 E, CFAM于F, BC=10, BE =4.求8”、CF的长. 拓展、探究、思考11填空题 （1）已知：如图 4 7, AB=AC, BD，AC于D, CE±AB T E.欲证明 BD = CE,需证 明A,理由为. （2）已知：如图4- 8, AE= DF , / A=/D ,欲证A ACE A DBF ,需要添加条件 , 证明全等的理由是；或添加条件， 证明全等的理由是； 也可以 添加条件 ，证明全等的理由是 图 4 7 图 4 8 12.如图4 9,已知A ABCAA'B'C&

15、#39;, AD、A'D'分别是A ABC和A A'B'C'的角平分线.（1）请证明 AD = A'D'； 2）把上述结论用文字叙述出来； 3）你还能得出其他类似的结论吗？ 图 4 9 13.如图410,在 ABC中，/ ACB=90° , AC= BC,直线l经过顶点 C,过A、B两点 分别作l 的垂线A E 、 斜边相等的两个直角三角形全等 F ， E 、 F 为垂足 （1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF=AE+BF. 图 4 10 2）如图4 11 ，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使l 与底边 AB 交于点D

16、，请你探究直 线 l 在如下位置时， EF 、 AE、 BF 之间的关系 AD>BD； AD=BD； ADBD. 图 4 11 测试5 直角三角形全等的条件学习要求掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一“斜边、直角边” （即“ HL ”），能熟练 地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等课堂学习检测一、填空题1 .判定两直角三角形全等的“ HL”这种特殊方法指的是 . 2 直角三角形全等的判定方法有 （用简写） 3 .如图 51, E、B、F、C 在同一条直线上，若/ D = /A=90° , EB = FC, AB= DF.则AABC,

17、全等的根据是 . 图 5 1 4.判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X”，全等的注明理由： （ 1 ）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （ 2 ）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（） （ 3 ）一个锐角和斜边对应相等； （）（ 4 ）两直角边对应相等； （）（ 5 ）一条直角边和斜边对应相等 （）二、选择题5 下列说法正确的是（） A 一直角边对应相等的两个直角三角形全等 C 斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D 一边长相等的两等腰直角三角形全等 6 .如图52, AB= A C, A ID ± B C于D, E、F为A D上的点，则图中共有（）对全等三角形

18、A 3B 4C 5D 6图 5 2 三、解答题 7 .已知：如图 53, AB±BD, CD±BD, AD = BC. 求证：（1）AB=DC： （2）AD H BC. 图 5 3 8 .已知：如图 5 4, AC=BD, AD±AC, BC±BD. 求证：AD = BC； 图 5 4 综合、运用、诊断9 .已知：如图 5-5, AE±AB, BC±AB, AE=AB, ED=AC. 求证：ED±AC. 图 5 5 10 .已知：如图 5 6, DE±AC, BF±AC, AD = BC, DE=BF.

19、求证：AB/ DC. 图 5 6 11 .用三角板可按下面方法画角平分线：在已知/AOB的两边上，分别取 OM = ON （如图 5-7）,再分别过点 M、N作OA、OB的垂线，交点为 P,画射线OP,则OP平分/AOB ，请你说出其中的道理 图 5 7 拓展、探究、思考12 .下列说法中，正确的画“，”；错误的画“X”，并作图举出反例. （ 1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ） （ 2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（） （ 3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）13 . （1）已知：如图 5-8,线段 AC、BD交于 O, /AOB为钝

20、角，AB= CD , BFAC于F, DE±AC 于 E, AE=CF. 求证：BO = DO . 图 5 8 （2）若/ AOB为锐角，其他条件不变，请画出图形并判断 （1）中的结论是否仍然成 立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由测试 6 三角 形全等的条件 （四）学习要求能熟练运用三角形全等的判定方法进行推理并解决某些问题课堂学习检测一、填空题1 .两个三角形全等的判定依据除定义外，还有 ;2 .如图6 1 ,要判定AABCAADE,除去公共角/ A外，在下列横线上写出还需要的两 个条件，并在括号内写出由这些条件直接判定两个三角形全等的依据（1）Z B=Z D, AB=

21、AD （）; （ 2 ），（）； （ 3 ），（）； （ 4 ）_ _ _，_（）； （ 5 ），（）； （ 6 ） ， （）； （ 7 ） ， （）6 13 .如图6- 2,已知 AB± CF, D E ± CF,垂足分别为 B, E, AB=D E.请添加一个适当条件，使A ABC A DEF ,并说明理由 添加条件： ， 理由是： 6 24 .在 A ABC 和 A DEF中，若/ B=/ E=90°， A A=34°， D D = 56° ， AC=DF,贝 A ABC和 A DEF是否全等？答： ,理由是. 二、选择题 5下列命题中正

22、确的有（）个三个内角对应相等的两个三角形全等；三条边对应相等的两个三角形全等；有两角和一边分别相等的两个三角形全等；等底等高的两个三角形全等A 1B 2C 3D 46 .如图6- 3, AB= CD, AD =CB, AC、BD交于O,图中有 （）对全等三角形. A 2B 3C 4D 56 37 .如图64,若AB=CD, DE = AF, CF = BE, /AFB=80°， / D = 60°，则/ B 的度 数是 （）B. 60°C.40°D. 20°8 .如图 6- 5, ABC 中，若/ B = /C, BD = CE, CD=BF,

23、则/ EDF =() A . 9 0° 二/ AB.o90C. 180° 2/A D.45o图6-5ABC与A'B'C'全等的是 图6 6 图6 4 9 .下列各组条件中，可保证A. /A=/A', /B = /B', /C=/C'B. AB=A'B', AC=A'C',B = /B'C. AB=C'B',A=/B', /C = /C'D. CB = A'B', AC=A'C', BA=B'C'10 .如图6

24、 6,已知MB = ND,MBA = /NDC,下列条件不能判定 ABM CDN的是.( ).A. /M = /NB. AB= CDC. AM=CND. AM/CN 综合、运用、诊断 一、解答题 11 .已知：如图 6 7, AD = AE, AB = AC,DAE = /BAC. 求证：BD = CE. 图67 12 .已知：如图 6-8, AC 与 BD 交于 O 点，AB/ DC, AB= DC . (1)求证：AC与BD互相平分； 图6 8 (2)若过。点作直线1,分别交AB、DC于E、F两点， 求证：OE=OF. 13 .如图6-9, E在AB上，/ 1 = / 2, / 3=/ 4

25、,那么 A C等于A D吗？为什么？图6-9 拓展、探究、思考 14 .如图610, ABC的三个顶点分别在 2X 3方格的3个格点上，请你试着再在格点上找出三个点D、E、F,使得DEFABC,这样的三角形你能找到几个？请 画出 来. 图 6- 10 15 .请分别按给出的条件画 ABC (标上小题号，不写作法)，并说明所作的三角形是否 唯一；如果有不唯一的，想一想，为什么？ 2B=120 , AB=2cm, AC = 4cm； /B=90 , AB = 2cm, AC = 3cm；/B=30 , AB = 2cm, AC = 3cm； /B=30° , AB = 2cm, AC =

26、 2cm； /B=30 , AB = 2cm, AC=1cm； /B=30 , AB = 2cm, AC = 1.5cm. 测试7 三角形全等的条件 （五）学习要求能熟练运用三角形全等的知识综合解决问题课堂学习检测解答题1 如图7 1，小明与小敏玩跷跷板游戏如果跷跷板的支点O （即跷跷板的中点）到地 面的距离是50 cm,当小敏从水平位置CD下降40 cm时，小明这时离地面的高度是多 少？请用所学的全等三角形的知识说明其中的道理图 7 1 2 如图7 2 ，工人师傅要在墙壁的O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的B 点处打开， 墙壁厚是 35 cm ， B 点与 O 点的铅直距离AB 长是 20

27、 cm ，工人师傅在旁边墙上与 AO 水 平的线上截取 OC = 35 cm ,画CDOC,使CD = 20 cm,连接OD,然后沿着DO的方 向打孔，结果钻头正好从B 点处打出，这是什么道理呢？请你说出理由 图 7 2 3 .如图73,公园里有一条"Z"字形道路ABCD ,其中AB/ CD ,在AB、BC、CD三段 路旁各有一只小石凳E, F, M,且BE= CF , M在BC的中点，试判断三只石凳E, M,F 恰好在一直线上吗？为什么？ 图 7 3 4在一池塘边有A、 B 两棵树，如图 7 4 试设计两种方案，测量A、 B 两棵树之间的距方案一： 方案二：图 7 4 测试8 角的平分线的性质 （一）学习要求1掌