34圆心角2共25张精编版

1、新浙教版数学九年级（上）新浙教版数学九年级（上） 3.4 3.4 圆心角（圆心角（2 2） 圆的轴对称性圆的轴对称性 （圆是轴对称图形）（圆是轴对称图形） 垂径定理垂径定理及其推论及其推论 圆的对称性圆的对称性 圆的中心对称性圆的中心对称性 （旋转不变性）（旋转不变性） 圆心角定理圆心角定理 1 圆心角所对的弧相等 在同圆或等圆中 圆心角所对的弦相等 如果圆心角相等 圆心角所对的弦的弦心距相等 2 弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 弧所对的弦相等 如果弧相等 弧所对的弦的弦心距相等 2 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 弦所对的弧（同为劣弧或优弧）相等 如果弦相等 弦的弦心距相等 2 弦心

2、距所对的弧相等 在同圆或等圆中 弦心距所对的弦相等 如果弦心距相等 弦心距所对的圆心角相等 弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 弧所对的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦相等 那么 弦所对的弧（指劣弧）相等 弦的弦心距相等 在同圆或等圆中 如果弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等 那么 弦心距所对应的弧相等 弦心距所对应的弦相等 3 结论：在同圆或等圆中，如果两结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等它们所对应

3、的其余各对量都相等 . . 几何语言：几何语言： 如图，如图，AOB =COD， ?CDAB=CD，OE=OF，AB . 推论：(圆心角定理的逆定理) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量都分别相等。 B 抢答题抢答题 A 已知：如图，已知：如图，AB，CD是是O的两条弦，的两条弦，E O D OE，OF为为AB、CD的弦心距，根据这的弦心距，根据这 节课所学的定理及推论填空：节课所学的定理及推论填空： C F (1)如果如果AOB=COD，那么，那么 ， ， ;OE=OF AB=CD AB=CD AOB=COD AB=CD

4、 AB=CD （2）如果）如果OE=OF，那么，那么 ， ， ； AOB=COD AB=CD OE=OF （3）如果）如果AB=CD，那么，那么 ， ， AOB=COD OE=OF AB=CD （4）如果）如果AB=CD，那么，那么， ， 。 下面的说法正确吗下面的说法正确吗?为什么为什么? 如图如图,因为因为 ?AOB? ?A ?OB?， 根据圆心角、弧、弦、根据圆心角、弧、弦、 弦心距的关系定理可知：弦心距的关系定理可知： O AB?A?B?A?A B?B AOB=COD AB=CD OE=OF AB=CD O A E B C D F 一般地，圆有下面的性质 在同圆或等圆中，如果在同圆或等

5、圆中，如果两个圆心角两个圆心角、两条两条弧弧、两条弦两条弦、两个弦心距两个弦心距中有中有一组量相等一组量相等，那么它们那么它们所对应所对应的其余的各组量都相等。的其余的各组量都相等。 AOB=COD AB=CD OE=OF AB=CD 例例3 3 如图，等边三角形如图，等边三角形ABC内接于内接于O，连结，连结OA, ,OB, ,OC，BC于点于点D. .连结连结BD, ,CD. .判断四判断四延长延长AO，分别交，分别交BC于点于点P，交，交 边形边形BDCO是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明是哪一种特殊的平行四边形，并给出证明. . 解解 四边形四边形BDCO是菱形是菱形. .证明如下：

6、证明如下： AB=BC=CA， AOB =BOC =COA =120. （圆心角定理）（圆心角定理） BOD =180- -AOB =180- -120=60. 又又OB=OD， BOD是等边三角形是等边三角形. 同理，同理，COD是等边三角形是等边三角形. OB=OC=BD=CD，即四边形，即四边形BDCO是菱形是菱形. . 2 3cm，求它的外接，求它的外接 拓展拓展 已知等边三角形已知等边三角形ABC的边长为的边长为 圆半径圆半径. . 解解 如图所示，连结如图所示，连结OA, ,OB, ,OC，并延长，并延长AO交交BC于点于点D. . AB=BC=AC， AOB =COB=AOC =

7、120. OB=OC，DOB =COD =60 ODBC， 1设设OB=r，则，则OD= r. 21222?( r)?( 3)?r .2r=2cm. 3cmBAD =30，BD= . 例例4 4 已知：如图，已知：如图，ABC为等边三角形，以为等边三角形，以AB为直径的为直径的AD?DE?EBO分别交分别交AC, ,BC于点于点D, ,E. .求证：求证： . . 分析分析 连结连结OD, ,OE. .这样我们只要证明这样我们只要证明AOD =DOE=BOE，AD?DE?EB就能得到就能得到 . . 证明证明 如图，连结如图，连结OD,OE， 在等边三角形在等边三角形ABC中，中，A=60.

8、OA=OD， AOD是等边三角形是等边三角形. AOD =60. 同理，同理，BOE=60. DOE=180- -AOD- -BOE=180- -60- -60=60. AOD =DOE=BOE， AD?DE?EB. （圆心角定理）（圆心角定理） 做一做做一做 1、 如图，已知点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点在点在圆外，以圆外，以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。 求证：求证：AB=CD 要证要证AB=CD AB=CD ，只需证，只需证OM=ON OM=ON 证明证明: 作作 , M 、 N 。 OMOM?ABA

9、B , , ONON?垂足分别为垂足分别为CDCD分析：分析： 联想到联想到“角平分线的性质角平分线的性质”，作弦心距，作弦心距OMOM、ONON， ? ?MPOMPO? ?NPONPOB OM=ON P C N A M E OMOM?ABABONON?CDCDAB=CD . O D F 变式练习：变式练习： 如图，如图，P P点在圆上，点在圆上，PB=PDPB=PD吗？吗？ P P点在圆内，点在圆内，AB=CDAB=CD吗？吗？ B M E B C A E P N . O M P N . O D F D F 2 2、如图、如图, AB, AB、CDCD是是O O的两条直径。的两条直径。 (1

10、)(1)顺次连结点顺次连结点A A、C C、B B、D D，所得的四边形是什么特，所得的四边形是什么特殊四边形？为什么？殊四边形？为什么？ (2)(2)四边形四边形ACBDACBD有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能 , ,当当ABAB、CDCD有何位置关系时，四边形有何位置关系时，四边形 ACBDACBD为正方形？为什么？为正方形？为什么？ （3 3）如果要把直径为）如果要把直径为30cm30cm的圆柱形原木锯成一根横截的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？最大横截面面积是

11、多少？ （4 4）如果这根原木长）如果这根原木长15m15m，问锯出地木材地体积为，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？多少立方米（树皮等损耗略去不计）？ 解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下： ACAC，BDBD是是O O的直径的直径 AO=OC=OB=OD AO=OC=OB=OD 四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形 又又AC=BD AC=BD D D C C O O A A B B 四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形 当当ACBD时，四边形时，四边形ABCD是正方形 AC=BD=30cm AO=BO=15c

12、m S正方形ABCD=151524=450（cm2）=4.510-2（m2） V=4.510-215=0.675（m3） B 1、三个元素： 圆心角、弦、弧 O A1 B1 A 2、三个相等关系： (1) 圆心角相等 (2) 弧相等 (3) 弦相等 知一得二 1、如图1，在，在O中， A AB=AC,ACB=60 , 求证求证AOB=BOC=AOC。 证明： AB=AC AB=AC，ABC是等腰三角形 ( ) ( ) 在同圆中，相等的弧所对的弦相等在同圆中，相等的弧所对的弦相等 AB=BC=CA 在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等 ( ) ( ) AOB=BO

13、C=AOC O B C 又 ACB=60 ABC是等边三角形，2 2（漳州中考）下列命题是真命题（漳州中考）下列命题是真命题的是（的是（ D D ） （A A）相等的圆心角所对的弧相等）相等的圆心角所对的弧相等 （B B）长度相等的两条弧是等弧）长度相等的两条弧是等弧 （C C）等弦所对的圆心角相等）等弦所对的圆心角相等 （D D）等弧所对的弦相等）等弧所对的弦相等 3、如图4，AB是是O的直径， BC=CD=DE，COD=35，求，求 AOE 证明： BC=CD=DE 的度数。 E D C O A COB=COD=DOE=35 AOE=1800-COB-COD-BDOE =750 4.4.如图如图, ,已知已知O O中中, ,弦弦AB=CD AB=CD 求证：求证：AD=BC AD=BC A A证明：证明：AB=CD AB=CD D DB B ABAB = = CD CD ( ) ( ) 在同圆中，相等的弦所对的弧相等在同圆中，相等的弦所对的弧相等 ABAB CDCD BD BD BD BD 即：即： AD AD BC BC AD=BCAD=BC ( ) (