文科一轮学案6.4数列求和

1、学案6.4 数列求和自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时，Sn ；()当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式；.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和

2、中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.()(4)数列2n1的前n项和为n2.()(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23

3、6;sin288°sin289°44.5.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 分组转化法求和例1已知数列an的前n项和Sn，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.引申探究例1(2)中，求数列bn的前n项和Tn.变式训练：已知数列an的通项公式是an2·3n1(1)n·(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn. 考点二 错位相减法求和例2(2015·湖北)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数

4、列an，bn的通项公式；(2) 当d>1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn. 变式训练：已知数列an的各项均为正数，Sn是数列an的前n项和，且4Sna2an3.(1)求数列an的通项公式；(2)已知bn2n，求Tna1b1a2b2anbn的值.考点三裂项相消法求和命题点1形如an型例3设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.命题点2形如an型例4已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017 . 变式训练

5、：在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n项和Tn.当堂达标：1.(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A.1 B.C. D.2.数列an的通项公式为an(1)n1·(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.4003.设f(x)，利用倒序相加法，则fff等于()A.4 B.5 C.6 D.104.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn .5.数列an的通项公式为anncos ，其前n项和为Sn，则S2 017 .巩固提高案 日积

6、月累 提高自我1.数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n12.设函数f(x)xmax的导函数为f(x)2x1，则数列 (nN)的前n项和是()A. B.C. D.3.已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A.100 B.0C.100 D.10 2004.数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A.76 B.78C.80 D.825.已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A.0 B.100C.100 D.10 200

7、6.在等差数列an中，a10，a10·a110，若此数列的前10项和S1036，前18项和S1812，则数列|an|的前18项和T18的值是 .7.整数数列an满足an2an1an (nN)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为 .8.已知数列an满足：a1，an1aan，用x表示不超过x的最大整数，则的值等于 .9.已知数列an中，a13，a25，且an1是等比数列.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnnan，求数列bn的前n项和Tn.10.正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通

8、项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN，都有Tn<.学案6.4 数列求和自主预习案 自主复习 夯实基础【双基梳理】求数列的前n项和的方法(1)公式法等差数列的前n项和公式Snna1d.等比数列的前n项和公式()当q1时，Snna1；()当q1时，Sn.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.常见的裂项公式；.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对

9、应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)如果数列an为等比数列，且公比不等于1，则其前n项和Sn.()(2)当n2时，().()(3)求Sna2a23a3nan之和时，只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(×)(4)数列2n1的前n项和为n2.(×)(5

10、)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°sin22°sin23°sin288°sin289°44.5.()考点探究案 典例剖析 考点突破考点一 分组转化法求和例1已知数列an的前n项和Sn，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和.解(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.a1也满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n).记A2122

11、22n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.引申探究例1(2)中，求数列bn的前n项和Tn.解由(1)知bn2n(1)n·n.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12.当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.Tn变式训练：已知数列an的通项公式是an2·3n1(1)n·(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.解Sn2(133n1)111(1)n·(ln 2ln 3)123(1)nnln 3，所以当n为偶

12、数时，Sn2×ln 33nln 31；当n为奇数时，Sn2×(ln 2ln 3)(n)ln 33nln 3ln 21.综上所述，Sn 考点二 错位相减法求和例2(2015·湖北)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d>1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意得即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn.可得Tn23，故Tn6. 变式训练：已知数列an的各项均为正数，Sn是数列an的前n项

13、和，且4Sna2an3.(1)求数列an的通项公式；(2)已知bn2n，求Tna1b1a2b2anbn的值.解(1)当n1时，a1S1aa1.解得a13.又4Sna2an3，当n2时，4Sn1a2an13.，得4anaa2(anan1)，即aa2(anan1)0.(anan1)(anan12)0.anan1>0，anan12 (n2)，数列an是以3为首项，2为公差的等差数列.an32(n1)2n1.(2)Tn3×215×22(2n1)·2n，2Tn3×225×23(2n1)·2n(2n1)2n1，得Tn3×212(2

14、2232n)(2n1)2n1682·2n1(2n1)·2n1(2n1)2n12.考点三裂项相消法求和命题点1形如an型例3设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解由题意知，S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.令n1，有S(1213)S13×(121)0，可得SS160，解得S13或2，即a13或2，又an为正数，所以a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN可得，(Sn3)(Snn2n)0，则Snn2n或Sn3

15、，又数列an的各项均为正数，所以Snn2n，Sn1(n1)2(n1).所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.又a122×1，所以an2n.(3)证明当n1时，成立；当n2时，所以.所以对一切正整数n，有.命题点2形如an型例4已知函数f(x)xa的图象过点(4,2)，令an，nN.记数列an的前n项和为Sn，则S2 017 .答案1解析由f(4)2可得4a2，解得a，则f(x)x.an，S2 017a1a2a3a2 017(1)()()()()1. 变式训练：在数列an中，a11，当n2时，其前n项和Sn满足San.(1)求Sn的表达式；(2)设bn，求bn的前n

16、项和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由题意得Sn1·Sn0，式两边同除以Sn1·Sn，得2，数列是首项为1，公差为2的等差数列.12(n1)2n1，Sn.(2)bn，Tnb1b2bn(1)()().当堂达标：1.(教材改编)数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A.1 B.C. D.答案B解析an，S5a1a2a51.2.数列an的通项公式为an(1)n1·(4n3)，则它的前100项之和S100等于()A.200 B.200 C.400 D.400答案B解析S100(4×13)(4&

17、#215;23)(4×33)(4×1003)4×(12)(34)(99100)4×(50)200.3.设f(x)，利用倒序相加法，则fff等于()A.4 B.5 C.6 D.10答案B解析当x1x21时，f(x1)f(x2)设Sfff，倒序相加有2S10，即S5.4.若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和Sn .答案2n12n2解析Sn2n12n2.5.数列an的通项公式为anncos ，其前n项和为Sn，则S2 017 .答案1 008解析数列anncos 呈周期性变化，观察此数列规律如下：a10，a22，a30，a44.故S4a1

18、a2a3a42.S2 017S2 016a2 017×22 017·cos 1 008.巩固提高案 日积月累 提高自我1.数列1，3，5，7，(2n1)，的前n项和Sn的值等于()A.n21 B.2n2n1C.n21 D.n2n1答案A解析该数列的通项公式为an(2n1)，则Sn135(2n1)()n21.2.设函数f(x)xmax的导函数为f(x)2x1，则数列 (nN)的前n项和是()A. B.C. D.答案A解析f(x)mxm1a，a1，m2，f(x)x2x，Sn.3.已知函数f(n)n2cos(n)，且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A.100

19、 B.0C.100 D.10 200答案A解析若n为偶数，则anf(n)f(n1)n2(n1)2(2n1)，所以an是首项为a25，公差为4的等差数列；若n为奇数，则anf(n)f(n1)n2(n1)22n1，所以an是首项为a13，公差为4的等差数列.所以a1a2a3a100(a1a3a99)(a2a4a100)50×3×450×(5)×4100.4.数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前12项和等于()A.76 B.78C.80 D.82答案B解析由已知an1(1)nan2n1，得an2(1)n1·an12n1，得an2an(

20、1)n(2n1)(2n1)，取n1,5,9及n2,6,10，结果相加可得S12a1a2a3a4a11a1278.故选B.5.已知函数f(n)且anf(n)f(n1)，则a1a2a3a100等于()A.0 B.100C.100 D.10 200答案B解析由题意，得a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(43)(99100)(101100)(1299100)(23100101)50×10150×103100.故选B.6.在等差数列an中，a10，a10·a110，若此数列的前10项和S1036，前18项和S1

21、812，则数列|an|的前18项和T18的值是 .答案60解析由a10，a10·a110可知d0，a100，a110，T18a1a10a11a18S10(S18S10)60.7.整数数列an满足an2an1an (nN)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为 .答案13解析由an2an1an，得an2anan1anan1，易得该数列是周期为6的数列，且an2an10，S800a1a22 013，S813a1a2a32 000，依次可得a51 000，a613，由此可知an1an2an3an4an5an60，S2 015S513.8.已知数列an满足：a1，an1aan，用x表示不超过x的最大整数，则