参数方程课件

1、参数方程参数方程 刘礼勇刘礼勇即的函数都是纵坐标、的横坐标点根据三角函数定义圆半径为的坐标为如果点,),(0yxPOPPryxPcossinxrayra=并且对于并且对于 的每一个允许值的每一个允许值,由方程组由方程组所所确定的点确定的点P(x,y),都在圆都在圆O上上. o思考思考1：圆心为原点，半径为圆心为原点，半径为r 的圆的参数方程是什么呢？的圆的参数方程是什么呢？-555-5rp0P(x,y) 我们把方程组我们把方程组叫做圆心在原点、半径为叫做圆心在原点、半径为r的圆的参数方程，的圆的参数方程，是参数是参数.a1( , )O a br圆心为、半径为 的圆参数方程如何？cossinxr

2、ay b ra= +a+例、例、已知点已知点P（x，y）是圆）是圆x2+y2- 6x- 4y+12=0上动点，上动点，求（求（1） x2+y2 的最值，的最值， （2）x+y的最值，的最值， （3）P到直线到直线x+y- 1=0的距离的距离d的最值。的最值。 例例1. 以原点为圆心以原点为圆心, 分别以分别以 a, b (a b 0) 为半径为半径作两个圆作两个圆, 点点 B 是大圆半径是大圆半径 OA 与小圆的交点与小圆的交点, 过过点点 A 作作 ANOx, 垂足为垂足为N, 过点过点 B 作作 BMAN, 垂足为垂足为M, 求当半径求当半径 OA 绕点绕点 O 旋转时点旋转时点 M 的轨

3、的轨迹参数方程迹参数方程.OAMxyNB2. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程分析分析: 点点 M 的横坐标与点的横坐标与点 A 的横坐标相同的横坐标相同, 点点 M 的纵坐标与点的纵坐标与点 B 的纵坐标相同的纵坐标相同. A, B 的坐标可以的坐标可以通过引进参数建立联系通过引进参数建立联系.此即此即 M 的轨迹参数方程的轨迹参数方程 sincos byax因因而而消参数得消参数得.12222 byaxOAMxyNB则则设设 ),( , yxMAOx )sin,cos( bbB),sin,cos( aaA2. 椭圆的参数方程中椭圆的参数方程中, 常数常数 a, b 分别是分别是 椭圆的长半轴长

4、和短半轴长椭圆的长半轴长和短半轴长, ab.cos1. .sinxayb 方方程程是是椭椭圆圆的的参参数数方方程程. )2,0 , .3 规规定定称称为为离离心心角角OAMxyNB),sin,cos( . 4 baM, AOx 其其中中. MOx 而而非非4_. _, _, _, ),( sin2cos 3.为为离离心心率率焦焦点点坐坐标标为为长长为为短短轴轴则则此此椭椭圆圆的的长长轴轴长长为为是是参参数数已已知知椭椭圆圆的的参参数数方方程程为为 yx2)0 ,3( 2/3OABCDyx. ABCD ABCD, 164100 3.22的最大面积的最大面积求矩形求矩形有一内接矩形有一内接矩形已知

5、椭圆已知椭圆例例 yx例例2. 如图如图, 在椭圆在椭圆 x2 + 8y2 = 8 上求一点上求一点 P, 使使 P 到直线到直线 l: x y + 4 = 0的距离最的距离最小小.xyOP小结小结: 借助椭圆的参数方程借助椭圆的参数方程, 可以将椭圆上的任意可以将椭圆上的任意一点的坐标用三角函数表示一点的坐标用三角函数表示, 利用三角知识加以解利用三角知识加以解决决. OAPB P, , 149 B, A .122积积最最大大的的面面使使四四边边形形椭椭圆圆弧弧上上求求一一点点在在第第一一象象限限的的标标轴轴正正半半轴轴的的两两个个交交点点与与坐坐两两点点是是椭椭圆圆已已知知 yx练习练习O

6、BPA3 2(,2)2P.26 ,26 最小值最小值最大值最大值A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段B. 32 , 149 ),(P . 222的最大值和最小值的最大值和最小值求求上变化上变化在曲线在曲线动点动点yxyxyx ). ( )6sin ,cos4(B )cos6 ,sin4( A , . 3轨迹是轨迹是两点的线段的中点两点的线段的中点和和连接连接取一切实数时取一切实数时 1.曲线的参数方程与普通方程的定义曲线的参数方程与普通方程的定义 叫作曲线的普通方程叫作曲线的普通方程表示的曲线方程表示的曲线方程接用坐标接用坐标相对于参数方程，把直相对于参数方程，把直简称参

7、数。简称参数。叫作参变数，叫作参变数，方程，其中方程，其中就叫作这条曲线的参数就叫作这条曲线的参数程组程组在这条曲线上，那么方在这条曲线上，那么方都都所确定的点所确定的点程组程组的每一个允许值，由方的每一个允许值，由方，且对于，且对于的函数的函数都是某个变数都是某个变数点的坐标点的坐标中，如果曲线上任意一中，如果曲线上任意一一般地，在直角坐标系一般地，在直角坐标系0,1,11, yxfyxtyxttfxtgytyx2.直线，圆，椭圆，抛物线与双曲线的参数方程直线，圆，椭圆，抛物线与双曲线的参数方程 为为参参数数直直线线的的参参数数方方程程ttxxtyy cossin00 为为参参数数圆圆的的参

8、参数数方方程程 cossinraxrby 为为参参数数椭椭圆圆的的参参数数方方程程 cossinaxby 0222ptptxpty为参数为参数抛物线的参数方程抛物线的参数方程 为为参参数数双双曲曲线线的的参参数数方方程程 costanaxby 为为参参数数tttxtty 11直接判断此参数方程所表示的曲线类型直接判断此参数方程所表示的曲线类型并不容易，但若将参数方程化为熟悉的并不容易，但若将参数方程化为熟悉的普通方程，则比较简单了。普通方程，则比较简单了。引例引例 参数方程化成参数方程化成 普通方程普通方程一.代数法消去参数 化成普通方程。化成普通方程。为参数为参数将参数方程将参数方程例例 t

9、txty1313得得解解：由由13 tx31 xt得得将将其其代代入入3ty 2713 xy 化化为为普普通通方方程程为为参参数数将将参参数数方方程程例例ttxty 111. 22 得得解解：由由011 ttx 111 xxt得得将将其其代代入入21ty 11112 xxy利用解方利用解方程求出参程求出参数数t ,t ,然后然后代入消去代入消去参数。参数。 化化成成普普通通方方程程。为为参参数数将将例例ttytx 4231. 3 tytx12631244解解：将将参参数数方方程程变变形形为为0234 yx普通方程为普通方程为两式相加得两式相加得 化化为为普普通通方方程程。为为参参数数将将例例t

10、ttxtty 11.42220.200 xtxtt时时，当当时时，当当由由题题意意知知211222 ttxttx两两边边同同时时平平方方得得解解：将将 222 xyx22 yx 2 y或或练习： 为为参参数数ttxty13122 为为参参数数）（ tttxtty 22221312将下列参数方程化成普通方程将下列参数方程化成普通方程 为为参参数数）（tttxtty 113) 1( 0131 xyx）解解：（将参数方程化为将参数方程化为普通方程中，必普通方程中，必须使须使x x，y y的取值的取值范围保持一致。范围保持一致。否则，转化就是否则，转化就是不等价的不等价的. . 0130032 yxy

11、x或或 4322 yx二二. 利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数 化为普通方程。化为普通方程。为参数为参数将将例例 cos5sin5. 5xy251cossin2222 yx得得到到解解：利利用用 ，则则普普通通方方程程是是什什么么？，若若，则则普普通通方方程程是是什什么么？，若若，则则普普通通方方程程是是什什么么？，若若 20020 思思考考 化化成成参参数数方方程程。为为参参数数将将例例 cossincossin6xy同同时时平平方方得得两两边边解解：将将 cossin x cossin212 xyx212 4sin2cossin x又又2 x 2212 xyx普普通通方方程程为

12、为练习练习 为为参参数数 cos4sin3cos3sin43xy , 0cos5sin41 为为参参数数，）（xy 为参数为参数 sin2cos2xy 40511625122 yxyx且且解解：把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程 112122 xxy 25322 yx链接高考链接高考 _cos2sin222007的的普普通通方方程程为为，则则圆圆为为参参数数的的参参数数方方程程在在直直角角坐坐标标系系中中圆圆广广东东卷卷CxyC 的的公公共共点点的的个个数数。，并并指指出出各各是是什什么么曲曲线线？，则则为为参参数数曲曲线线为为参参数数已已知知曲曲线线海海南南卷卷宁宁夏夏21

13、212122222cossin2008CCCCttytxCxyC 4222 yx 有且只有一个交点有且只有一个交点与与是直线，普通方程是是直线，普通方程是普通方程是普通方程是为半径的圆为半径的圆为圆心，以为圆心，以，是以是以212221021,100CCyxCyxC 解： 则则方方程程表表示示什什么么曲曲线线？为为参参数数为为参参数数为为参参数数；分分别别取取，均均不不为为已已知知参参数数方方程程.3;21200,sincos tbabtyatx 利用代数法消参得（利用代数法消参得（1）（）（2）是直线，利）是直线，利用三角恒等式消参得（用三角恒等式消参得（3）是圆。）是圆。小结小结: : 参数方程化为普通方程的过程就是消参参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有两种：过程常见方法有两种：1.1.代数法：代入