微分动力系统的应用竞争模型

1、微分动力系统的应用(一 )-竞争模型设在一个池塘里饲养两种食用鱼：鳟鱼和鲈鱼 . 设它们在时刻 t 的尾数分别是 x(t) 和 y(t). 假定鳟鱼的尾数 x(t) 的增长速度正比于鳟鱼尾数 x(t), 增长率为 k; 即dxkx .(1)dt由于鲈鱼的存在而争夺食物、减小了鳟鱼的增长率. 鲈鱼越多，鳟鱼的增长率越小，可设鳟鱼的增长率k = a by, 其中 a>0,b>0 是常数 . 因此我们可以写出如下的描述鳟鱼尾数的微分方程:dxx 0 ,y 0 .(2)( a by )x ,dt同理由于鳟鱼的存在而争夺食物、减小了鲈鱼的增长率. 我们可得到描述鲈鱼尾数的微分方程:dy(3)

2、( m nx) y ,dt其中 m>0, n>0 是常数 .当鳟鱼的尾数 x(t) > m/n, 鲈鱼的尾数 y(t)<a/b 时, 由方程(3)可见鲈鱼的尾数 y 将减少 , 由方程(2)可见鳟鱼将增加 . 反之 ,当鳟鱼的尾数 x(t) < m/n,鲈鱼的尾数y(t)>a/b 时, 由方程 (3)可见鲈鱼的尾数 y 将增加 ,由方程 (2)可见鳟鱼尾数 x(t) 将减少 .现在的问题是 : 设在 t=0 时鳟鱼和鲈鱼的初值分别是x0 和 y0尾, 要研究这两种鱼的增长情况 . 是否存在 x0>0 和 y0>0, 使得这两种鱼能够和平共处 ,

3、长期共存呢 ?首先可见方程组 (2), (3) 有常数解1 / 8xm ,ya .(4)nb因此在 t=0 时鳟鱼 x0=m/n, 和鲈鱼 y0=a/b 尾时 , 由方程可见鳟鱼和鲈鱼的增长速度是零, 所以鳟鱼和鲈鱼的尾数保持不变. 那么这种状态是否是稳定的呢? 就是说 , 若鱼的尾数由于某种原因稍有变化 , 这两种鱼是否还能和平共处, 长期共存呢 ?由常微分方程的理论, 我们知道(m/n, a/b) 是方程组的奇点 ,我们只要分析这个奇点的稳定性就行了.方程组 (2),(3)的向量场的 Jacobi 矩阵在奇点 (m/n, a/b)的值是bmabybx0n(5)Jnym nxna0bJ 的两

4、个特征值为ma , 因此奇点是鞍点 , 鞍点是不稳定的. 所以若鱼的尾数由于某种原因稍有变化 , 这两种鱼的尾数将有大的变化 .方程组 (2), (3)还有一个奇点 (0, 0), 向量场的 Jacobi 矩阵在奇点(0, 0)的值是a bybxa0(6)Jm nx0mnyJ 的两个特征值为 a>0, m>0, 因此奇点 (0, 0)是不稳定的结点 .在奇点 (0, 0)附近的轨线当时间t 增大时都离开奇点 (0,0).另外方程组 (2), (3) 有两条半直线轨道 :(1): x=0, y>0, 对应的轨线是yy0 emt ,表示鲈鱼的尾数呈指数增长 .(2): y=0,x

5、>0,对应的轨线是xx0 eat ,表示鳟鱼的尾数呈2 / 8指数增长 .由于奇点 (m/n, a/b)是鞍点 , 当 t 趋向无穷大时 , 有两条轨道从相反的方向趋向鞍点, 另有两条轨道从鞍点出发以相反的方向离开鞍点 . 这四条轨道称为鞍点的分界线, 研究这些分界线的走向以及方程组的结点(0,0)的性质 , 其余轨道的大致走向也就清楚了.要知道对于一般的初值( x0 , y0 )(0,0)鳟鱼和鲈鱼的尾数是怎样变化的 , 最终是鳟鱼还是鲈鱼生存下来呢 ? 就要解出微分方程组 (2), (3). 将方程组 (2), (3) 消去 dt, 化为如下一阶常微分方程:(m nx) ydx (a

6、 by) xdy ,(6)(6)式是一个变量分离方程, 除了零解(x=0, y=0)和半直线轨道外, 可分离变量得(mnx)dx(aby)dy ,(7)xy从 ( x0 , y0 )(0,0) 到 ( x, y) 对 (7)式作定积分得到过 ( x0 , y0 )(0,0) 的积分曲线 :m ln xn(xx0 )a lnyb( y y0 ) .(8)x0y0对(8)式取指数化为形式:y a e byKx m e nx ,(9)(9)式中的 K 是常数 :Ky0a x0 m e by0 nx0 .(10)3 / 8对于鞍点的分界线, 因它们趋向及离开鞍点, 所以分界线方程的K 应由 (10)式

7、中 ( x0 , y0 ) 取为鞍点 :x0m ,y0a ,(12)nb而得到 . 这时 (10)式的 K 值为a a nm em a.(13)Kb a mm记f ( y) ya e by , g ( x) xm e nx .由微分法可知 f ( y) 是单峰函数 , 在鞍点的纵坐标 ya / b 时取得最大值 , 在 y0 和 y时取得最小值零 . 在区间 0, a/b 上 f(y) 从零严格单调增加到最大值; 在无穷区间 y > a/b 上 f(y) 严格单调减少趋向零 . 同理 g( x) 是单峰函数 , 在鞍点的横坐标xm / n 时取得最大值 , 在 x0时和 x时取得最小值零

8、 . 在区间 0, m/n 上 g(x)从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间 x >m/n 上 g(x) 严格单调减少趋向零 . 根据以上事实 , 可以由分界线方程 (9), (13)得出鞍点的四条分界线 (红色和蓝色的线 )并且根据方程组 (2),(3) 得出分界线的走向如下示意图 : (四条分界线共同的端点是鞍点(m/n,a/b).y4 / 8x其中 x 轴和 y 轴分别是两条分界线 (用蓝色表示 )的渐近线 , 红色的一条分界线从结点走向鞍点 , 红色的另一条分界线当 t 趋向负无穷大时趋向无穷远 .于是其他轨道的走向 (用黑色表示 )也就知道了 . 从图可见 , 分界线将第一象

9、限分成四个区域 , 当初始点 (x0,y0)位于这四个区域之一时 , 当时间趋向无穷大时 , x(t) 和 y(t) 中总有一个趋向零 , 而另一个趋向无穷大 . 具体而言 , 当初始点落在红线下方时 , 最终只有鳟鱼 x 生存 , 当初始点落在红线上方时 , 最终只有鲈鱼 y 生存 . 初始点落在红线上时 , 轨道趋向鞍点 , 而鞍点和结点是不稳定的 , 所以不管怎样 , 实际上只有一个能够生存 .这说明了对于竞争模型 , 不同的物种是有排他性的 , 这称为竞争排他原理 .微分动力系统的应用(二 ) 捕食模型在生物界除了两个物种之间的竞争性以外, 还有一种是捕食与被捕食的关系. 例如在南极海

10、洋中生活的鬚鲸和南极虾就是这种关系 . 设南极虾的数量是 x(t), 鲸的数量是 y(t),鬚鲸以南极虾为主食 , 没有了南极虾 , 鬚鲸的数量将指数式地下降 :dy0是常数 .（1）my , mdt但有了南极虾 x(t) 时 , 鬚鲸的数量的变化关系（1）要改为 :dyn 0是常数 .(2)( nx m) y ,dt而南极虾被鬚鲸捕食 ,它的数量的变化服从以下关系:5 / 8dx. b 0是常数 .(3)(a by )x , a 0dt我们同样可以通过研究方程组(2),(3) 的轨道来讨论鬚鲸与南极虾数量的变化规律 .首先方程组有两个奇点:(0,0),(m/n, a/b).方程组 (2),(

11、3)的向量场的 Jacobi 矩阵在奇点 (m/n, a/b)的值是abybx0bmn(4)Jnynxmna0bJ 的两个特征值为纯虚数ima , 因为（ 2），（ 3）是非线性方程 , 单凭特征值是纯虚数只能判定奇点是焦点型(即焦点或中心)的, 不能确定焦点型的奇点是否是中心 . 向量场的 Jacobi 矩阵在奇点 (0, 0)的值是a bybxa0Jnx m0(5)nymJ 的两个特征值为a>0, -m<0, 因此奇点 (0, 0)是鞍点、不稳定.另外方程组(2), (3) 有两条半直线轨道:(1):x=0,y>0,对应的轨线是yy0 e mt , 表示没有了南极虾，鬚鲸

12、数呈指数减少.(2):y=0,x>0,对应的轨线是xx0eat ,表示没有了鬚鲸，南极虾数呈指数增长.将方程组(2), (3) 消去 dt, 化为如下一阶常微分方程:(nxm) ydx(aby) xdy ,(6)(6)式是一个变量分离方程, 除了零解(x=0, y=0)和半直线轨道6 / 8外, 可分离变量得(nxm)dx(aby)dy ,(7)xy从 ( x0 , y0 )(0,0) 到 ( x, y) 对 (7)式作定积分得到过 ( x0 , y0 )(0,0) 的积分曲线 :m lnxx0 )y(8)n( xa lnb( y y0 ) .x0y0对(8)式取指数化为形式:y a e

13、 by x me nxK ,(9)(9)式中的 K 是常数 :Ky0a x0me by0nx0 .(10)记f ( y)y a e by ,g (x)xm e nx .(11)由微分法可知 f ( y)是单峰函数 , 在焦点的纵坐标 ya / b 时取得最大值 , 在 y0 和 y时取得最小值零 . 在区间 0,a/b 上 f(y)从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间y > a/b 上 f(y) 严格单调减少而趋向零 . 同理 , g( x) 是单峰函数 , 在焦点的横坐标xm / n时取得最大值 , 在 x0 时和 x时取得最小值零 . 在区间 0,m/n上 g(x) 从零严格单调增加到最大值, 在无穷区间 x >m/n 上g(x)严格单调减少而趋向零. 因此（ 9）式中的 K 必须满足不等式：a a m m e a m