2412垂径定理课件精编版

1、如图，如图，ABAB是是O O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CDCD，使，使CDABCDAB，垂足为，垂足为E E （1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ （1 1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径 CDCD所在所在 的直线是它的对称轴的直线是它的对称轴 （2 2）线段：）线段：AE=BE AE=BE ? ? ? ? 弧：弧： AC=BC AD=BD AC=BC AD=BD 把圆沿着直径把圆沿着直径CDCD折叠时，折叠时，CDCD两

2、侧的两个半圆两侧的两个半圆 ? ? A A AD AD 重合，点重合，点A A与点与点B B重合，重合，AEAE与与BEBE重合，重合， 、 AC AC ? ? 分别与分别与 、BD BD 重合重合。 BC BC C C E E O O B B D D 1.垂径定理的内容是什么垂径定理的内容是什么?画出适合题意的画出适合题意的图形图形,用符号语言表示出来用符号语言表示出来. 垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分弦平分弦, ,且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧. . 图形语言图形语言 C 符号语言符号语言 CD是直径是直径, CDAB, AE=BE, B O A E AC =BC, AD=BD

3、. D 垂径定理推论垂径定理推论 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直的直径垂直于弦于弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 C CD CD是直径，是直径， AE=BE AE=BE O A CDAB,CDAB, AC =BC, AC =BC, AD =BD.AD =BD. B E D C （1 1）如何证明？）如何证明？ 已知：已知：如图，如图，CDCD是是O O的直径，的直径，ABAB为弦为弦，且，且AE=BE. AE=BE. A 求证：求证：CDABCDAB，且，且AD=BD, AD=BD, AC =BC AC =BC 证明：证明：连接连接OAOA，OBOB，则

4、，则OA=OB OA=OB AE=BE AE=BE CDABCDAB O E D B AD=BD, AD=BD, AC =BC AC =BC 平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于的直径垂直于弦弦, ,并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。 （2 2）“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？如这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例。果不能，请举出反例。 C A O B D C CD CD是直径是直径, , CDAB, CDAB, AM=BM AM=BM AC=BC,AC=BC, AD=BD.AD=BD. A M B O 如果具备上面五个条件中的任何两个，那如果具备上面五个条件

5、中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？么一定可以得到其他三个结论吗？ 一条直线一条直线满足满足:(1):(1)过圆心过圆心;(2);(2)垂直于弦垂直于弦;(3);(3)平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）; (4); (4)平分弦所对优弧平分弦所对优弧;(5);(5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧. . D 课堂讨论课堂讨论 根据已知条件进行推导：根据已知条件进行推导： 过圆心过圆心 垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对劣弧 （1 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对

6、的两条弧。对的两条弧。 （2 2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分 弦所对的另一条弧。弦所对的另一条弧。 （3 3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 只要具备上述五个条件中任两个只要具备上述五个条件中任两个 ,就可以推出其余三个就可以推出其余三个 . 练习练习 C 1.如图所示如图所示: A M B O (1)若若CDAB, CD是直径是直径, AM=BM AD=BD AC=BC 则则 、 、 . (2)若若AM=MB, CD是直径是直径, CDAB AC=BC 则则

7、 AD=BD 、 、 . D (3)若若CDAB, AM=MB, CD是直径是直径 、 AD=BD AC=BC 则则 、 . (4)若若 ， AC=BC CD是直径是直径, CDAB AM=BM AD=BD 则则 、 、 . 试一试试一试 2.判断：判断： ( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分并且平分 ? 弦所对的两条弧弦所对的两条弧. ( )(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分平分弦所对的一条弧的直径一定平分 这条弦所对的另一条弧这条弦所对的另一条弧. ( )(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. ? ( )(4)圆的两条弦

8、所夹的弧相等圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行则这两条弦平行. ? ( )(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. 3 3、如图，点、如图，点P P是半径为是半径为5cm5cm的的O O内一点，且内一点，且OP=3cm, OP=3cm, 则过则过P P点的弦中，点的弦中， （1 1）最长的弦）最长的弦= cm = cm （2 2）最短的弦）最短的弦= cm = cm C 5 3 OO A 4 PP D B 4 4、如图，点、如图，点A A、B B是是O O上两点，上两点，AB=8,AB=8,点点P P是是O O上的动点（上的动点（P P与与A A、B

9、 B不重合）不重合）, ,连接连接APAP、BP,BP,过点过点O O分别作分别作OEAPOEAP于于E,OFBPE,OFBP于于F,F,EFEF= = 4 。 OAEFBP试一试试一试 已知已知A、B、C是是O上三点，且上三点，且AB=AC，圆心圆心O到到BC的距离为的距离为3厘米，圆的半径为厘米，圆的半径为5厘厘米，求米，求AB长。长。 A O B D A B D C O C 练习练习 已知已知O的半径为的半径为5厘米，弦厘米，弦AB的长为的长为8厘米，厘米，求此弦的中点到这条弦所对的求此弦的中点到这条弦所对的弧弧的中点的距的中点的距离。离。 E O D A B O A E D B 1.已知已知P为为O内一点，且内一点，且OP2cm，如果如果O的半径是的半径是3cm,那么过那么过P点的点的最最cm短的弦短的弦等于等于 2 5 . 2.过过O内一点内一点M的最长弦长为的最长弦长为4厘米，最短厘米，最短弦长为弦长为2厘米，则厘米，则OM的长是多