概率论与数理统计：第六章样本及抽样分布 (2)

1、 随机样本随机样本 抽样分布抽样分布b 点估计点估计 估计量的评选标准估计量的评选标准Y 区间估计区间估计B 正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计O (0-1)(0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计B 单侧置信区间单侧置信区间p 假设检验假设检验l 正态总体均值的假设检验正态总体均值的假设检验Z 正态总体方差的假设检验正态总体方差的假设检验 分布的拟合检验分布的拟合检验 秩和检验秩和检验第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 数理统计的内容：如何收集、整理带有随机数理统计的内容：如何收集、整理带有随机性的数据资料；如何对所得的数据资料进行分性的数据资料；如何对所

2、得的数据资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作出推断。作出推断。1. 随机样本随机样本1定义定义:在统计学中在统计学中, 我们将试验的全部可能的观察值称我们将试验的全部可能的观察值称为为总体总体（这些值可能是相同的），每一个可能观察值称为（这些值可能是相同的），每一个可能观察值称为个体个体，总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。，总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。(可分为有限总体和无限总体可分为有限总体和无限总体) 一个总体对应于一个随机变量。一个总体对应于一个随机变量。二二. 定义定义:设设X是具有分布函数是具有分布函数F的的r.

3、v.,若若X1, X2,Xn是具是具有同一分布函数有同一分布函数F的相互独立的的相互独立的r.v.,则称为则称为从分布函数从分布函数F(或总体或总体F、或总体、或总体X)得到的容量为得到的容量为n的简单随机样本的简单随机样本, 简简称称样本样本, 它们的观察值它们的观察值x1,x2, , xn称为称为样本值样本值, 又称为又称为X的的n个独立的观察值个独立的观察值.1212n12nii 1, x , x ,xF(x ) nn*X , X ,XX , X ,X: F () 若若总总体体X X的的分分布布函函数数为为F F, ,为为X X的的一一个个样样本本 则则的的联联合合分分布布函函数数为为

4、)f(x)x,x ,(xf X,X,X f,Xn1iin21*n21 密密度度为为的的联联合合概概率率则则具具有有概概率率密密度度又又若若2. 抽样分布抽样分布 一.一.定义定义: 设设X1, X2, , Xn是来自总体是来自总体X的一个样本的一个样本, 又设又设g(X1, X2, , Xn)是一个连续函数是一个连续函数, 如果如果g, 则称则称g(X1, X2, , Xn)为为统计量统计量. 由定义可知由定义可知, 统计量也是一个随机变量统计量也是一个随机变量,如如 果果x1, x2, , xn是一组样本值是一组样本值, 则则g(x1, x2, , xn)是统计量是统计量g(X1, X2,

5、, Xn)的一个观察值的一个观察值.二二. 常用的统计量常用的统计量:;Xn1X 1.n1ii 样本均值样本均值;)X(X1-n1S 2.2n1ii2 样本方差样本方差2nii 113. S(X; n-1X ) 样样本本标标准准方方差差; 2, 1,k , Xn1 Ak 4.n1ikik 阶原点矩阶原点矩样本样本. 3, 2,k , )X(Xn1B k 5.n1ikik 阶中心矩阶中心矩样本样本 , ,)x(x1n1s ,xn1x1. n1i2i2n1ii称称为为样样本本方方差差均均值值仍仍称称为为样样本本它它们们的的观观察察值值为为 2121 2. k1, AX,2,.nkBSn 当当时时当

6、当时时说明说明 . A,n ,)E(XkX :kPkkk 时时则当则当存在存在阶矩阶矩的的若总体若总体结论结论证明：证明：,X , X,Xn21独独立立且且同同分分布布 ,XX,X,X kknk2k1同分布同分布独立且与独立且与故故,)X(E )E(X)E(Xkknk2k1 故有故有 2, 1,k , Xn1kPn1iki 由辛钦大数定理得由辛钦大数定理得 ). (g ) , , ,g()A, , A,g(A k21Pk21数数为连续函为连续函序列的性质知序列的性质知进一步由依概率收敛的进一步由依概率收敛的 12nnn: X , X , , Xx(x)(x),S( x ),x 6 6. .经经

7、验验分分布布函函数数 设设是是总总体体F F的的一一个个样样本本用用S S( (x x) ), ,- - x x 45时时,有有(三三) F分布分布: ).n ,F(nF , F)n ,(n n/VU/nr.v.F ,V U, ),(nV ),(nU : 1.2121212212记作记作分布分布的的服从自由度为服从自由度为则称则称独立独立且且设设定义定义 :F 2. 分分布布的的概概率率密密度度函函数数 . 0, 0,y ,)nyn1)(2n()2n(y)n(n2)n(n(y) 2)nn(2121-1)2n(2n21212111其它其它 : 3.性性质质 :-F 4.分分位位点点分分布布的的上

8、上 :-F 5.分分位位点点的的性性质质分分布布的的上上 y0 )n,n(F21 )y( ).n ,F(nF1 ),n ,F(nF1221则则若若 .F)n ,(nF dy(y)n ,(nFPF : 1,0 , 21)n,n(F2121分位点分位点分布的上分布的上为为的点的点称满足条件称满足条件对于给定的对于给定的 .)n,n(F1)n,n(F 1221-1 (四四) 正态总体样本的均值与样本方差的分布正态总体样本的均值与样本方差的分布:则则总总有有的的一一个个样样本本是是方方差差为为的的均均值值为为和和方方差差存存在在只只要要均均值值不不管管服服从从什什么么样样的的分分布布设设总总体体 ,X

9、 X, ,X, X, , ) ,X( n212 ,n)XD( ,)XE(2 ).n ,(NXn1X),(NX,2n1ii2 则则若若进一步进一步22N(,)S ,: 对对于于正正态态总总体体的的样样本本均均值值X X, ,样样本本方方差差我我们们有有以以下下定定理理212n2. X ,X , , X( ,),: ( ,).NXXNn 定定理理一一 设设是是总总体体的的一一个个样样本本是是样样本本均均值值 则则212n2. X ,X , , X( ,),:X t(n-1). NX SSn 定定理理三三 设设是是总总体体的的一一个个样样本本分分别别是是样样本本均均值值和和样样本本方方差差 则则21

10、2n2202022. X ,X , , X( ,),:(n-1) 1 . (n-1), 2 . .NX SSXS 定定理理二二 设设是是总总体体的的一一个个样样本本分分别别是是样样本本均均值值和和样样本本方方差差 则则与与独独立立12121212n12n22112211221112122212. X ,X , , XY ,Y , , Y(,),(,),1,11,() ,11() ,:1niinniiiiniiNNXXnYYSXXnnSYYn 定定理理四四设设与与分分别别是是来来自自正正态态总总体体的的样样本本且且这这两两个个样样本本相相互互独独立立 设设分分别别为为两两样样本本均均值值分分别别

11、为为两两样样本本方方差差则则221212221212121212221122212S /(1)F(n -1,n -1); /(2)=,(X-Y)-(-) (2),11S(1)(1) .(2)St nnnnnSnSSnn 当当= = 时时其其中中第六章第六章 习题课习题课 总体总体 样本样本 统计量统计量 抽样分布抽样分布正态总体样本均值与样本方差的分布正态总体样本均值与样本方差的分布2125221122345212X ,X ,XXN0 2,YC (X2X )C (X2XX ) ,C_,C_,Y,_.1.1.设设是是来来自自正正态态总总体体 （ ， ）的的一一个个样样本本当当时时服服从从分分布布

12、自自由由度度为为21231234123222212342023.X ,X ,X ;Y ,Y ,Y ,YX N( ,),XXXT_.YYYY 设设是是来来自自总总体体的的两两个个独独立立样样本本 则则统统计计量量服服从从分分布布4t()1n2X N( ,4),X ,XX,E(X)0.1,n? 3.3.设设总总体体分分布布是是来来自自总总体体 的的一一个个样样本本 要要使使至至少少应应取取多多少少4n24n2222nn224n2n4nX N( , )E(X),n40XX N(0,1),() (1),XE()1,E(X)0.1,n40. 解解可可得得或或者者故故即即要要使使故故2221216nn22

13、2211ii2n2ni 1i 1X N( ,),n16,X ,X ,XX,:P(X)2;P(XX)2 例例总总体体是是总总体体 的的一一个个样样本本 求求下下列列概概率率i22i1616X22221ii 1i 116221i216i 116X2162i 12220.950.01() (16),(XX) (15),(1)P(X)2P()320.990.050.94(16)7.96,(16)32)0.950.010.94 解解而而则则查查分分布布表表上上式式2216221i216i 1n2161i2i 1220.90.005(2)P(XX)2P(XX)320.9950.10.895(158.547

14、1532.801 查查表表（ ），（ ）上上式式=0.9-0.005=0.895=0.9-0.005=0.895参数估计的一般提法：参数估计的一般提法： 设有一个统计总体，总体的分布函数设有一个统计总体，总体的分布函数称为参数估计。统计问题某个已知函数）。这类的作出估计（或估计参数参数要依据该样本对本样现从该总体中抽样，得,),;(2, 1nXXXxF第七章第七章 参数估计参数估计 1. 1. 点估计点估计一一. . 问题的提法问题的提法: : )x ,x, )X ,X , )x ,x,),X ,X , ,x ,x , ,XX ,X , ,) F(x;Xn2n2n2n2n2n2.,x(,X(,

15、x(X(,x,X,111111的的估估计计值值为为称称估估计计量量的的为为我我们们称称来来估估计计未未知知参参数数用用它它的的观观察察值值的的统统计计量量一一个个适适当当点点估估计计问问题题就就是是要要构构造造应应的的一一个个样样本本值值是是相相的的一一个个样样本本是是数数是是待待估估参参的的形形式式为为已已知知的的分分布布函函数数设设总总体体 二二. 矩估计法矩估计法: ), , , F(x;Xl21 的的分分布布函函数数为为设设总总体体 , , ,)E(XkXl21kk的函数的函数也是也是阶原点矩阶原点矩的的则则 ) , ,(f) , ,(f) , ,(f) , ,(g) , ,(g) ,

16、 ,(gl) 2, 1,)(kE(X) , ,(gl21lll2122l2111ll21l2l2121l211kl21k可解出可解出假定从方程组假定从方程组记记 ,Xx,x ,x n21的样本值的样本值是是设设 ,Xn1Akn1ikik 来估计来估计用样本矩用样本矩. ,fii的的估估计计量量得得到到中中然然后后代代入入 .l 1,2,i ), ,A ,(Af l21ii法法叫叫矩矩估估计计法法这这种种估估计计未未知知参参数数的的办办 A1.之所以可用样本矩作为相应的总体矩的之所以可用样本矩作为相应的总体矩的估计量估计量, 用样本矩的连续函数作为相应的用样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函

17、数的估计量总体矩的连续函数的估计量, 其原因在于其原因在于样本矩样本矩Ak依概率收敛于相应的总体矩依概率收敛于相应的总体矩, 而而样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数体矩的连续函数. .B ,E(X)-EX kkkkk 代代替替用用然然后后也也可可以以用用中中心心矩矩某某些些. 2. , ,X ,X ,X ,0 ,X 1.2n21222的的矩矩估估计计求求是是一一个个样样本本又又设设均均未未知知但但且且都都存存在在及及方方差差的的均均值值设设总总体体例例 , )E(X,E(X) : 221解解,E(X)D(X)222 ,A ,A 22211 令

18、令.)(11, 21212212212X-XnX-Xn-AAXAniinii的估计量和三三. 最大似然估计方法最大似然估计方法:,XX,X,X, , , ), , , f(x;Xn21l21l21的的一一个个样样本本是是是是待待估估计计的的参参数数其其中中它它的的密密度度函函数数为为设设连连续续型型的的总总体体 n1il21in21) , , ;f(x X,X,X的的联联合合密密度度函函数数为为则则.) , , ;f(x) , ,;x,x ,x (L,x,x ,x n1il21il21n21n21称称为为样样本本的的似似然然函函数数我我们们把把对对于于给给定定的的一一组组样样本本值值 ., ,

19、 . 1 l21的的函函数数似似然然函函数数是是待待估估参参数数 .);();,(L,)XP,X1i称称为为样样本本的的似似然然函函数数我我们们把把对对于于给给定定的的一一组组样样本本值值设设它它的的分分布布律律为为对对于于离离散散型型的的总总体体l21inl21n21n21l21, , ,xp, , ,x,x xx,x x , , ,x; px , ,x,x , , , ,x , ,x ,x , , 2. 21n21可可是是对对似似然然函函数数而而言言然然函函数数的的值值比比较较大大即即似似概概率率比比较较大大可可以以认认为为取取到到这这组组值值的的的的随随机机事事件件它它是是已已经经发发生

20、生是是一一组组样样本本值值发发生生的的事事件件易易于于概概率率大大的的事事件件比比概概率率小小根根据据经经验验. , , , L,L , ,xl21l21l21n的估计值的估计值作为作为的参数的参数取到最大值取到最大值我们将使得我们将使得较大较大数值使得数值使得因而是参因而是参的函数的函数它是参数它是参数是常数是常数 12n12l12l12l12l12:(x , x , x ;, ,), , , , , , ,(,).nLXXX 定定义义 如如果果似似然然函函数数在在取取最最大大值值 则则称称分分别别为为的的最最大大似似然然估估计计值值而而相相应应的的统统计计量量称称为为参参数数 的的最最大大

21、似似然然估估计计量量最大似然估计的求解方法最大似然估计的求解方法:., , , ).( , :, , , ,l21l21 出出从上式中解方程组求解从上式中解方程组求解必须满足必须满足由微积分的知识有由微积分的知识有170L0L0Ll21.LlnL上上式式下下面面方方程程组组来来代代替替同同时时达达到到最最大大值值也也可可用用与与由由于于)2.7(,0L,0L,0Ll21 lnlnln 例例2. 设设X服从服从a, b区间上的均匀分布区间上的均匀分布, 求求a和和 b的的最最大似然大似然估计和矩估计量估计和矩估计量.: 1) : 解解最最大大似似然然估估计计似似然然函函数数为为是是一一组组样样本

22、本值值不不全全相相等等,)(x ,x ,xn21 , ,0,bxa,a-b1f(x) X其其它它的的密密度度函函数数为为, 2 , 1i ,bxa,)ab(1)b, a;x ,x ,x(Linn21 ,0)ab(nLb,0)ab(nLa1n1n不不存存在在驻驻点点无无解解由由于于方方程程组组 应应该该有有由由于于考考虑虑在在边边界界上上的的点点 ,bxa ,i ,maxXb ,minXaii ,a-bL取取到到最最小小值值取取到到最最大大值值当当且且仅仅当当而而于是我们得到于是我们得到取最大值取最大值时时故当故当,LmaxXb ,minXaii .maxXb ,minXa ii 2.矩估计：矩

23、估计：,12)ab()X(D,2baE(X) 2 已知已知1ab2E( X ), 4)ab(12)ab()X(E)X(D 2222 ,Xn1A2ban1ii1 令令 n1i2i222Xn1A4)ab(12)ab( )AA(12ab,A2ba 121 即即 ,)XX(n3X)AA(3Ab,)XX(n3X)AA(3Aan1i2i2121n1i2i2121 最大似然估计量和矩估计量不一定相同最大似然估计量和矩估计量不一定相同, 但正态但正态分布的是相同的分布的是相同的, 例如例如(P163例例5)222212n1(). X, 0, , X , X , X, , . 例例 续续设设总总体体 的的均均值

24、值 及及方方差差都都存存在在 且且但但均均未未知知又又设设是是一一个个样样本本 求求的的最最大大似似然然估估计计 2222)x(exp21),x;( f:X 的的概概率率密密度度为为解解 n1i22i22)x(exp21),(L 似似然然函函数数为为 n1i2i22)x(21ln2n)2(ln2nLln而而 , 0)x()(212nLln, 0nx1Llnn1i2i2222n1ii2令令221111nniiii.xX ,( xX )nn 代代入入后后一一式式可可得得最大似然估计的性质最大似然估计的性质:uu( ),(u),u,( ; )(), uu)u( ).Xf xf( 设设 的的函函数数具

25、具有有单单值值反反函函数数又又设设 是是的的概概率率密密度度函函数数形形式式已已知知中中参参数数 的的最最大大似似然然估估计计 则则是是的的最最大大似似然然估估计计2. 2. 估计量的评选标准估计量的评选标准 .,:,)XX(n1B,S,2n1i2i22有有效效性性和和一一致致性性无无偏偏性性三三个个常常用用标标准准是是题题在在比比较较估估计计量量的的好好坏坏问问就就存存估估计计量量既既然然同同一一参参数数有有不不同同的的的的估估计计量量作作为为也也可可以以用用二二阶阶中中心心矩矩本本方方差差例例如如可可以以用用样样不不同同的的估估计计量量对对于于同同一一个个参参数数可可以以有有 10 无偏性

26、无偏性:. ,)(E, ,)(E )X,X,X( :)1(n21的的无无偏偏估估计计量量是是称称则则有有且且对对于于存存在在的的数数学学期期望望若若估估计计量量定定义义 .,)(E,)(E; ,)(E , ,:)2(的的无无偏偏估估计计量量是是故故称称无无系系统统偏偏差差与与时时而而当当有有偏偏小小的的倾倾向向说说明明时时当当有有偏偏大大的的倾倾向向说说明明时时当当附附近近摆摆动动它它的的值值在在的的估估计计量量系系统统误误差差无无偏偏估估计计量量是是没没有有直直观观解解释释 (3)例子例子:)X(EX . 1的的无无偏偏估估计计是是)X(E)X(E)X(En1)nXXX(E)X(E,n21n

27、21 实际上实际上).X(E)X(E),X(E)X(E,XXii 从从而而同同分分布布与与总总体体而而. X, X,)X(E,X:的无偏估计量的无偏估计量是参数是参数因而在正态总体中因而在正态总体中为它的无偏估计量为它的无偏估计量作作就可以用就可以用存在存在只要只要服从何种分布服从何种分布无论无论结论结论 2. S2是是D(X)的无偏估计量的无偏估计量:)XX(En1i2i XnXEn1i22i 221niiE( X)nE( X ) )X(E)X(Dn)X(E)X(Dn22 故有故有而而 ,n/ )X(D)X(D),X(E)X(E ),X(D)1n()XX(En1i2i ),X(Dn1n)B(

28、E),X(D)S(E22 从而从而.)X(DB,)X(DS22的偏小的估计量的偏小的估计量是是而而的估计量的估计量是是可见可见21011n().n,E()C,(C),CC. 用用乘乘以以即即可可 这这种种方方法法称称为为一一般般化化一一般般地地 若若 是是 的的无无偏偏估估计计量量 且且有有为为常常数数将将其其化化为为无无偏偏估估计计时时只只需需将将乘乘以以就就可可化化为为无无偏偏估估计计 即即为为 的的无无偏偏估估计计量量2221nE(B )D( X )E(B )nD( X ), 由由知知若若用用来来作作为为的的估估计计量量时时 若若使使其其变变为为无无偏偏估估计计时时 只只需需20有效性有

29、效性:.)(E)(D,2212121的偏离程度的偏离程度来衡量来衡量差差的方的方通常用通常用好好比比当然应该认为当然应该认为的摆动小的摆动小的摆动比的摆动比如果如果附近摆动附近摆动它们都在它们都在的无偏估计量的无偏估计量都是都是和和设设 . ),(D)(D,)X, ,X,X()X,X,X( :)1(2121n2122n2111有有效效较较称称则则若若有有的的无无偏偏估估计计量量都都是是与与设设定定义义 12n12n1x/ x0, f x0 0 nn minn1n:X,exp(),(;),X , X ,XX,:XZ( X , X ,X),XZ. 例例设设总总体体服服从从参参数数为为 的的指指数数

30、分分布布 概概率率密密度度为为其其中中参参数数未未知知 又又设设其其它它是是来来自自的的一一个个样样本本 试试证证和和都都是是 的的无无偏偏估估计计量量且且当当时时较较有有效效 1 :( )E( X )E( X ), 解解X, 是是 的的无无偏偏估估计计量量 而而12nnn minZ( X ,X ,X ) 是是服服从从/ n 参参数数为为的的指指数数分分布布即即minnx/ x0fx; 0, ,exp,() 具具有有概概率率密密度度其其它它n),nn E( Z ), E(ZZ. 故故知知即即也也是是参参数数的的无无偏偏估估计计2(2)(),D X 由由于于2nD( X ), 故故22nD( Z

31、 ), 又又由由2nD( Z ), 故故n1nnD( Z )D( X ),XZ. 当当时时故故较较有有效效30一致性一致性: n(1):,n, ,0, lim 1, .P 定定义义 设设 是是 的的估估计计量量 如如果果当当样样本本的的容容量量时时依依概概率率收收敛敛于于即即对对则则称称为为 的的一一致致估估计计量量.)X(DBS,)X(EX,)X(D:)2(22致致估估计计量量的的一一都都是是和和还还可可以以证证明明一一致致估估计计量量的的是是则则存存在在如如果果由由大大数数定定律律结结论论 , , , ,. 一一致致性性是是大大样样本本所所呈呈现现的的性性质质 如如果果 是是 的的一一致致

32、估估计计量量 那那么么 当当样样本本容容量量很很大大时时接接近近 的的可可能能性性很很大大而而当当样样本本容容量量不不是是很很大大时时 无无偏偏性性是是基基本本要要求求 它它保保证证估估计计量量除除随随机机误误 差差外外 不不会会有有系系统统误误差差3. 3. 区间估计区间估计 一一. 问题引入问题引入: a, , a, , a, a, a. , , ,. 对对于于一一个个量量如如某某工工件件的的长长度度 通通过过测测量量和和计计算算得得到到它它的的一一个个近近似似值值在在工工程程技技术术上上还还要要同同时时给给出出这这个个近近似似值值的的误误差差也也就就是是说说给给出出一一个个区区间间量量

33、一一定定落落入入这这个个区区间间内内 对对于于参参数数的的估估计计也也有有类类似似的的问问题题点点估估计计仅仅仅仅给给出出了了参参数数的的一一个个估估计计值值 有有时时还还需需要要知知道道它它的的可可靠靠性性程程度度 这这就就需需要要给给出出一一个个区区间间 并并且且说说明明这这个个区区间间以以多多大大的的概概率率包包含含参参数数的的真真值值 这这就就是是区区间间估估计计二二. 定义定义:12n12n,(01)(,)(,): 1( , )1,1,1.XXXXXXXP 设设总总体体的的分分布布中中含含有有未未知知参参数数若若对对于于给给定定的的值值统统计计量量和和满满足足则则称称随随机机区区间间

34、是是 的的置置信信度度为为的的置置信信区区间间和和 分分别别称称为为置置信信度度为为的的置置信信上上限限和和置置信信下下限限称称为为置置信信度度. 95, 100),( , ,95. 0),(,95. 0 ,05. 0.1 ,1 . , . , , 的的真真值值个个包包含含有有中中个个观观察察值值的的在在随随机机区区间间粗粗略略地地说说的的真真值值的的概概率率包包含含以以说说明明为为置置信信度度如如的的概概率率为为的的真真值值这这个个区区间间包包含含时时当当置置信信度度为为不不包包含含有有的的则则数数的的真真值值这这些些区区间间中中有有的的包包含含参参在在不不同同的的区区间间对对于于不不同同的

35、的样样本本值值取取到到间间它它是是随随机机区区区区间间置置信信区区间间不不同同于于一一般般的的 .1,XX,X,),. 112区区间间的的置置信信的的置置信信度度为为求求的的样样本本是是来来自自设设未未知知已已知知设设总总体体例例 n22X , ,N(X ,X:的的无无偏偏估估计计是是由由解解 nX 且且且且不不依依赖赖于于任任何何其其)1 , 0(N,分分位位点点的的定定义义按按标标准准正正态态分分布布的的上上它它参参数数 即即有有,1z|nX|P2 .1znXznXP2/2/ 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为故故我我们们得得到到 1).znX()znX ,znX(2/2/2

36、/ 或或).69. 5 ,71. 4(,20. 5x).49. 0X()96. 1161X(95. 0,96. 1z,16n , 1 ,05. 02/则得则得本均值的观察值本均值的观察值若由一个样本值算得样若由一个样本值算得样的区间的区间信度为信度为于是有一个置于是有一个置有有若若如如 10. (4.71, 5.69)已不是一个随机区间已不是一个随机区间, 但仍称但仍称 它为置信度为它为置信度为0.95的置信区间的置信区间, 其其直观含义直观含义: 若反复抽样多次若反复抽样多次, 每个样本值每个样本值(n=16)均确定均确定 一个区间一个区间, 在这么多的区间中在这么多的区间中, 包含包含 的

37、约占的约占 95%, 不包含不包含 的约占的约占5%,现抽样得到的区间现抽样得到的区间(4.71, 5.69), 则该区间属于那些包含则该区间属于那些包含 的区间的可信度为的区间的可信度为 95%, 或或“该区间包含该区间包含 ”这一这一事实的可信度事实的可信度 为为95%.95.0)znXznX(,95.0znXzP , 201.004.001.004.00的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为也也是是可可得得取取如如上上例例中中置置信信区区间间是是不不唯唯一一的的 . ,t,r.v. , , , , , , 置置信信区区间间最最短短取取双双侧侧分分位位点点时时分分布布如如正正态态分分布布

38、称称的的对对于于密密度度函函数数为为单单峰峰对对地地一一般般置置信信区区间间越越短短越越好好置置信信度度相相同同时时显显然然间间区区可可以以有有各各种种不不同同的的置置信信对对于于同同一一置置信信区区间间03三三. 求置信区间的一般思路求置信区间的一般思路:1. 设法构造一个随机变量设法构造一个随机变量Z=Z(X1, X2, , Xn; ),除参数除参数 外外, Z不包含其他任何未知参数不包含其他任何未知参数, Z的分布的分布 已知已知(或可求或可求 出出),并且不依赖于参数并且不依赖于参数 , 也不依赖于也不依赖于 其他任何未知参其他任何未知参 数数. 1b);X,X,X(ZaP,b, a,

39、1. 2n21 使使得得求求出出对对于于给给定定的的置置信信度度.)b,a;X,X,X()b,a;X,X,X(b);X,X,X(Za.3n21n21n21的的置置信信区区间间这这样样就就得得到到了了解解得得由由不不等等式式 4.4.正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计一一. 单个正态总体的均值与方差的区间估计单个正态总体的均值与方差的区间估计:.X,X,X),(NX212是是一一个个样样本本设设总总体体n , .,. 12的的置置信信区区间间求求已已知知时时当当 ).znX(11,nXZ2/ 置置信信区区间间的的的的置置信信度度为为可可得得由由例例选选取取.,. 22的置信

40、区间的置信区间求求未知时未知时当当 ,S,222的无偏估计的无偏估计是是考虑考虑未知未知由由 ,nSXZ. v . r 构造构造,)1n( tZ不不依依赖赖于于任任何何未未知知参参数数而而 1)1n(tnSX)1n(tP2/2/有有2 2 )1(t2/ n)1(t2/ n).1n(tnSX(12/ 的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为可可得得:. 32的的置置信信区区间间求求 ,S1nZ.v.r22 考考虑虑不不依依赖赖于于由由定定理理一一知知),1n(Z2 注注意意到到对对于于给给定定的的置置信信度度任任何何参参数数,1. , 2/)1n(S1nP22/22 2/ 2/ )1(22/ n

41、)1(22/1 n)1n(S1nP22/122 )1n(S1nP122/122 2/ 1)1n(S1n)1n(P22/2222/1故故的的置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为 12)1n(S)1n(,)1n(S)1n( 22/1222/2 三三. 两个正态总体的区间估计两个正态总体的区间估计:.S,XS,X,n,n,),(N),(N22221121222211和和方差分别为方差分别为样本均值样本均值容量分别为容量分别为的两组相互独立的样本的两组相互独立的样本和和设有总体设有总体 :, . 1212221的置信区间的置信区间求求已知时已知时和和当当 ,Y,X 21的的无无偏偏估估计计分分别别

42、为为 , YX21偏偏估估计计的的无无也也是是故故 得得的独立性以及的独立性以及由由)n/,(NY),n/,(NX Y,X22221211 )1 , 0(Nnn)(YX )nn,(NYX 2221212122212121 或或).nnzYX( 12221212/21 的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为即即可可得得到到:, . 221222221的置信区间的置信区间求求未知未知但但 n1n1S)()YX( )152P(2121 知知由由第第六六章章的的定定理理三三).2nn( t21 .2nnS)1n(S)1n(S n1n1S)2nn(t)YX(121222211221212/21

43、 此此处处的的置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为从从而而可可得得:, . 3212221的的置置信信区区间间求求均均未未知知时时和和当当 .1 nSnSzYX ),50(nn 212221212/21的的近近似似置置信信区区间间置置信信度度为为的的来来作作为为用用可可则则即即可可实实用用上上一一般般大大于于都都很很大大和和此此时时只只要要 .95.0-., (m/s).20. 1s).m/s(496x ,20II (m/s),10. 1s),m/s(500 x ,10I ,II, I .1212211的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为均均值值求求两两总总体体们们的的方方差差相相

44、等等且且由由生生产产过过程程可可认认为为它它布布服服从从正正态态分分假假定定两两总总体体都都可可近近似似地地标标准准差差为为得得到到枪枪口口速速度度的的平平均均值值发发型型子子弹弹随随机机地地取取标标准准差差得得到到枪枪口口速速度度的的平平均均值值发发型型子子弹弹机机的的取取随随口口速速度度两两种种型型号号步步枪枪子子弹弹的的枪枪为为比比较较例例 但但数数值值差差相相等等又又因因由由假假设设两两总总体体的的方方相相互互独独立立的的体体的的样样本本是是可可认认为为分分别别来来自自两两个个总总按按实实际际情情况况解解 ,.,:1212,3.10.95,10,20,228,nnnn 未未知知 故故可

45、可由由第第 种种情情况况求求均均值值差差的的置置信信区区间间由由于于,1688. 1S ,28/ )20. 11910. 19(S,0484. 2)28(t222025. 0 故故).93. 4 ,07. 3( )93. 04()20/110/1)28(tSxx(95. 0025. 02121即即的的置置信信区区间间是是的的置置信信度度为为所所求求的的两两总总体体均均值值差差 四四. 两个总体方差比的置信区间两个总体方差比的置信区间:12, 仅仅讨讨论论总总体体均均值值未未知知的的情情况况),1n(S)1n( ),1n(S)1n( 22222221221211 由由,S)1n(S)1n(222

46、2221211相相互互独独立立与与且且由由假假设设知知 由由此此得得且且不不依依赖赖于于任任何何未未知知数数分分布布的的定定义义知知由由,),1n, 1n(FSSF2122222121 1)1n, 1n(FSS)1n, 1n(FP212222221212121)1n, 1n(F1SS ,)1n, 1n(F1SS(12121222121222212221 的置信区间为的置信区间为的一个置信度为的一个置信度为于是得到于是得到 1)1n, 1n(F1SS)1n, 1n(F1SSP2121222122212122221.90. 0,)2 , 1i (,),(N),(NB,A,),mm(29. 0s,1

47、3B);mm(34. 0s,18A ,BA . 522212ii222211222221的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为试试求求方方差差比比均均未未知知这这里里别别服服从从正正态态分分布布生生产产的的管管子子的的内内径径分分机机器器且且设设机机器器两两样样本本相相互互独独立立设设测测得得样样本本方方差差只只生生产产的的管管子子机机器器抽抽取取测测得得样样本本方方差差只只生生产产的的管管子子器器随随机机抽抽取取生生产产的的钢钢管管的的内内径径和和机机器器研研究究由由机机器器例例 ,10. 0,29. 0s ,132n,34. 0s ,18n:22211 现在现在解解,59. 2)12,1

48、7(F)nn(F05. 0212/ 38. 21)17,12(F1)12,17(F)12,17(F05. 095. 02/1 ).79. 2 ,45. 0( )38. 229. 034. 0,59. 2129. 034. 0( 90. 02221即即的的置置信信区区间间为为的的一一个个置置信信度度为为于于是是可可得得 5. (0-1)分布参数的区间估计分布参数的区间估计:-1p,p, 1 , 0 x,)p1(p)px;(f:X)10(,50nx1x的的置置信信区区间间的的置置信信度度为为现现来来求求数数为为未未知知参参其其中中分分布布律律的的分分布布的的总总体体它它来来自自的的大大样样本本设设

49、有有一一容容量量 )p-1(pp,)10(2 为为分分布布的的均均值值和和方方差差分分别别已已知知,n,X,X,Xn21极限定理知极限定理知由中心由中心较大较大因样本容量因样本容量是一个样本是一个样本设设于是于是),1 , 0(N)p-1(pnpnXn)p-1(pnpnXn1ii ,1z)p-1(pnpnXnzP2/2/ 2/2/z)p-1(pnpnXnz即不等式即不等式0)Xnp)zXn2(p)zn(22222/2/ )ac4bb(a21p),ac4bb(a21p2221 记记222Xnc),zXn2(b,zna2/2/ 此处此处).p,p(1,p21的的置置信信区区间间为为置置信信度度为为

50、的的近近似似的的故故得得 例例 设自一大批产品的设自一大批产品的100个样品中个样品中, 得一级品得一级品60个个, 求这求这批产品的一级品率批产品的一级品率p的置信度为的置信度为0.95的置信区间的置信区间.,)10(p:分分布布的的参参数数是是一一级级品品率率解解 ,025. 02/,95. 01 , 6 . 0100/60 x,100n 此此处处其中其中的置信区间的置信区间由上面的式子来求由上面的式子来求,p,96. 1Z2/ .36xnc,84.123)zxn2(b,84.103zna22/22/ 69. 0p,50. 0p21 而而. )69. 0 ,50. 0(95. 0p的的近近

51、似似置置信信区区间间为为的的置置信信度度为为故故得得6. 单侧置信区间单侧置信区间一一. 定义定义:.1,1),(1P)X,X,X(X,X,X),10(n21n21的的单单侧侧置置信信下下限限信信度度为为称称为为置置的的单单侧侧置置信信区区间间的的置置信信度度为为是是区区间间称称随随机机满满足足统统计计量量确确定定的的若若由由样样本本对对于于给给定定值值 .1,1),(1P)X,X,X(n21的单侧置信上限的单侧置信上限为置信度为为置信度为称称的单侧置信区间的单侧置信区间的置信度为的置信度为是是机区间机区间称随称随满足满足又若统计量又若统计量 二二.求正态总体的均值的单侧置信下限和求正态总体的

52、均值的单侧置信下限和 方差的单侧置信上限方差的单侧置信上限:,X,X,X,;Xn212是是一一个个样样本本设设均均未未知知方方差差若若均均值值对对于于正正态态总总体体 )1n( t t(1),XnSn 由由t (1)1XPnSn ,1)1n(tnSXP 即即), ),1n(tnSX(1 的的单单侧侧置置信信区区间间的的一一置置信信度度为为于于是是得得到到).1n(tnSX1 的单侧置信下限为的单侧置信下限为其置信度为其置信度为),)1n(S)1n(, 0(12122 的的单单侧侧置置信信区区间间的的一一个个置置信信度度为为于于是是得得到到)1n(21 ),1n(S)1n(222 又由又由,1)

53、1n(S)1n(P2122 ,1)1n(S)1n(P2122 即即.)1n(S)1n( 121222 的的单单侧侧置置信信上上限限为为的的一一个个置置信信度度为为第七章第七章 习题课习题课 参数的点估计参数的点估计 矩估计法矩估计法 最大似然最大似然估计法估计法 参数的区间估计参数的区间估计 正态总体参正态总体参数的区间估计数的区间估计1.X(1)x ,0 x1f (x;)0,1,. 设设 总总 体体的的 概概 率率 密密 度度 为为其其 它它其其 中中为为 未未 知知 参参 数数 求求的的 矩矩 估估 计计 量量 和和最最 大大 似似 然然 估估 计计 量量110(1)()( )1(1)21

54、21.21E Xxf x dxxdxXXX 解解令令则则为为 的的矩矩估估计计量量1111(1) () ,01,(2)( )1,0,01,1,ln( )ln(1)lnln( )ln011.lnnniiniiniiniixxxLikxikLnxdLnxdnx 似似然然函函数数为为其其它它当当时时有有为为 的的最最大大似似然然估估计计量量22122.XX 0 1 2 3p 21 1-2 0),X3,1, 3, 0, 3,1, 2, 3. 设设总总体体 的的概概率率分分布布为为（）其其中中 （是是未未知知参参数数 利利用用总总体体 的的如如下下样样本本值值求求 的的矩矩估估计计值值和和最最大大似似然

55、然估估计计值值2214(1) ()01 2 (1)23 (12 )342,342,E Xx 解解而而则则得得的的矩矩估估计计值值42422262468211 21(2)( ) (3) (1)(0)(2) (1-2 ) 2 (1) 4(1) (1-2 )ln( )ln46ln2ln(1)4ln(12 )ln( )0LP XP XP XP XLdLd 似似然然函函数数解解得得7137131,21212271312, 因因故故舍舍去去则则有有3.X ( ),PX0. 设设总总体体求求的的最最大大似似然然估估计计11111111100 1 2( )!ln( )lnlnln( )0,0niiixxxnn

56、iinnniiiinniiniiP XeeXP XxxxeeLxxxLxnxdLxnxxdP Xe 解解，是是 的的单单调调函函数数，具具有有单单值值反反函函数数，可可先先求求出出 的的最最大大似似然然估估计计的的分分布布律律为为， ，！似似然然函函数数为为！则则Xe 21nn 11i 1iki 14.X N( ,),X ,XX,k.| XX | 设设总总体体是是总总体体的的样样本本 求求常常数数 使使下下列列 为为 的的无无偏偏估估计计量量2122112(1)11112(1)(0,2)|2( )|iiiinniikkinXXNE XXEE XXk 解解 nn1ni2ii 12x ,x,0 x

57、,i1,n(1)L( )f(x ; )0 其其它它1(n)xx, （ ）dL( )0d (n)in1 i nx,max XX 5.5.设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为 22x0 xf(x; )0 其其它它;其其中中 为为未未知知参参数数，求求：(1)(1)参参数数 的的最最大大似似然然估估计计量量 (2)(2)讨讨论论 的的无无偏偏性性。2200201,xx( )X F(x),x,x 2n(n)(n)20,x0 xX F(x)() ,0 x1,x 212200nnnnx,xf(x), （ ）其其它它 2n 1n2n02nx2nE Xxdx2n1 不不是是 的的无无偏偏估估计计量量。2

58、2122n X (0,), 0, , X , X , X, .NX 例例设设总总体体且且未未知知 又又设设是是 的的一一个个样样本本 求求的的矩矩估估计计和和最最大大似似然然估估计计2222212122211 (1)()0()()().ninininiE XE XD XE XAXX 解解令令故故为为的的矩矩估估计计量量 2221222122222122122211(2)()exp221lnln(2 )ln2221ln022()11niiniiniiniiniiLxnnLxnLxxnxn 似似然然函函数数而而故故为为的的最最大大似似然然估估计计量量。1n1111X,X ,XX(A)X;(B)X;

59、(C)X;(D)X . : (A) 选选择择题题 设设总总体体 的的数数学学期期望望为为是是取取自自总总体体 的的样样本本，则则下下列列命命题题正正确确的的是是（ ）是是 的的无无偏偏估估计计量量是是 的的最最大大似似然然估估计计量量是是 的的相相合合估估计计量量不不是是 的的无无偏偏估估计计量量答答2( ,),0.04,.,95%0.01?Nnn 例例一一产产品品的的某某个个指指标标服服从从正正态态分分布布已已知知未未知知 现现从从中中抽抽取取 只只对对该该指指标标进进行行测测定定需需多多大大 才才能能以以的的可可靠靠性性保保证证 的的置置信信区区间间长长度度不不大大于于22222222 0

60、.040.010.01,()2,20.01.()(1.96)245.86246nnnxzzznzn 解解由由题题意意的的置置信信区区间间为为区区间间长长度度为为要要使使只只需需取取即即取取第八章第八章 假设检验假设检验 假设检验假设检验一一. 基本思想基本思想:例例1. 某车间用一台包装机包装葡萄糖某车间用一台包装机包装葡萄糖,包得的袋装糖重是包得的袋装糖重是一个随机变量一个随机变量, 它服从正态分布它服从正态分布. 当机器正常时当机器正常时,其均值为其均值为0.5公斤公斤,标准差为标准差为0.015公斤公斤.某日开工后为检验包装机是某日开工后为检验包装机是否正常否正常,随机地抽取它所包装的随