复变函数课件：2-1 解析函数的概念

1、1 1 解析函数的概念解析函数的概念& 1. 复变函数的导数定义复变函数的导数定义& 2. 解析函数的概念解析函数的概念 1. 复变函数的导数复变函数的导数(1)导数定义导数定义如果如果w=f(z)在区域在区域D内点点可导，则称内点点可导，则称f (z)在区域在区域D内可导。内可导。zzfzzfz )()(lim000定义定义 设函数设函数w=f (z) zD, 且且z0、 z0 +zD，如果极限如果极限 存在，则称函数存在，则称函数f (z)在点在点z0处可导。处可导。称此极限值为称此极限值为f (z)在在z0的导数，的导数，记作记作0)( 0zzdzdwzf zzfzzfz

2、 )()(lim000(2)求导公式与法则求导公式与法则 常数的导数常数的导数c =(a+ib) =0. (zn) =nzn-1 (n是自然数是自然数).证明证明 对于复平面上任意一点对于复平面上任意一点z0，有，有10010021000)(limlimlim000 nnnnzznnzzzznzzzzzzzzzzzzzz 设函数设函数f (z), ,g (z) 均可导，则均可导，则 f (z)g (z) =f (z)g (z)， f (z)g(z) = f (z)g(z) + f (z)g (z)0)( ,)()( )()()( )()(2 zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(

3、10处处可可导导点点外外）处处在在复复平平面面上上（除除分分母母为为导导；在在整整个个复复平平面面上上处处处处可可由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn 复合函数的导数复合函数的导数 f g(z) =f (w)g (z)， 其中其中w=g(z)。 反函数的导数反函数的导数 ，其中，其中: w=f (z)与与z= (w)互为单值的反函数，且互为单值的反函数，且(w) 0。)( 1)( wzf 例例2 问：函数问：函数f (z)=x+2yi是否可导？是否可导？!0, 020, 012lim0 不不时时当当时时当当yxxyyixyixz.故故函函数数处处处处不不可可导导)( 11)5()

4、(22zfzzzzf，求求已已知知 例例1解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzfyixyixiyyxxzzfzzfzz )2()(2lim)()(lim00解解例例3 证明证明 f (z)=zRez只在只在z=0处才可导。处才可导。 时时不不时时0!)(Re(lim00Relim00zyixxzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz Re)Re(limRe)Re()(lim00证明证明！不不时时当当时时当当 0, 000, 01lim0yxxyyixxzA (1) (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多，也复杂得在一

5、点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为多，这是因为z z00是在平面区域上是在平面区域上 以任意方式趋于零的原因。以任意方式趋于零的原因。 (2) (2) 在高等数学中要举出一个处处连续，在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的但处处不可导的例题是很困难的, , 但在复变函数中，却轻而易举但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续可导与连续若若 w=f (z) 在点在点 z0 处可导处可导 w=f (z) 点点 z0 处连续处连续.?2. 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称

6、可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全全 纯函数或正则函数）纯函数或正则函数）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点。A (1)w=f(z)在在D内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2)函数函数f (z)在在z0点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。例如例如 w=z2 在整个复平面处处可导，故是整个复平面在整个复平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数；上的解析函数；定理定

7、理 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则f (z)g(z)，f (z)g(z)及及f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。 w=zRez在整个复平面上处处不解析在整个复平面上处处不解析(见例见例3)。 w=1/z，除去，除去z=0点外，是整个复平面上的解析点外，是整个复平面上的解析函数；函数；定理定理 设设w=f (h)在在h 平面上的区域平面上的区域G内解析，内解析， h=g(z)在在z平面上的区域平面上的区域D内解析内解析, h=g(z)的函数值集合的函数值集合 G，则复合函数，则复合函数 w=f g(z)在在