ch18.2隐函数组.

1、除因敦俎枇念设有一组方程f F(x,j,u,v) = O,A G(x,j,w,v) = O,其中F与G定义在V u R4.若存在D,Eu R2, 使得对于任给的(x)w 0有惟一的(m, v)gE与 之对应,能使(x,j,m,v)gV,且满足方程组(1), 则称由(1)确定了隐函数组(x,j)eD, (, v)eE,(x,j)gD.并有G( x9y9u(x9y)9v(x9y) = 0,关于隐函数组的一般情形(含有m + n个变量的 加个方程所确定的个隐函数)，在本章不作详 细讨论.首先来看看，若由方程组（1）能确定两个可微的隐 函数=“（*）与卩=（兀,丿），则函数应满 足何种条件呢？不妨先设

2、八G都可微.由复合求导法，通过对（1） 分别求关于x与关于y的偏导数，得到f Fr + F.“+ Fvvr = 0, j x u *1 x（2）Ig*+G“”x+G 七=0；F +F u F v =0,nGy +G“y 4-GyVy = 0.能由与惟一解出（几）与（竹，少）的充要条件是雅可比（Jacobi）行列式不等于零，即_ 0(F,G) def d(mv)由此可见，只要儿G具有连续的一阶偏导数，且 J儿*0其中垃（*00山0川o）是满足的某一 初始点，则由保号性定理，日1/（几）,使得在此邻域 内（4）式成立.根据以上分析，便有下述隐函数组定理.二.唸因数组定理定理1.4 （隐函数组定理）

3、设方程组（1）中的函数F与G满足下列条件：（i）在以点儿（丸,儿,心,）为内点的某区域VaR4 上连续；（ii）F（几）=G（仇）=0 （初始条件）；（iii）在V内存在连续的一阶偏导数；5(F,G) d(u.v)则有如下结论成立：1必定存在邻域（仇） = l/（a）xU（Wo）uV,其中Qq =（勺9儿）9=（!/q9Vq）9 使得即有：（；（5如，（）B）;且满足 wo=w(x(pjoh vo=v(x(po)以及(x,y)EU(Qn).2 w(x,j),v(x,j)在 U(Q0)上连续.3在U(Q0)上存在一阶连续偏导数，且有cu 1 a(F,G)=-dx J d(x) 包 丄0(F,G)

4、 cy J d(y,v)cv15(F,G)ax J5(w,x)dv1二5(F,G)l dyJd(u.y)本定理的详细证明从略(第二十三章有一般隐函 数定理及其证明)，下面只作一粗略的解释：由方程组(1)的第式 F(x,j,w,v) = O 确定函数“ =且有眼=-匚岸(P产-FjFy(pv=-Fv/Fu.将u =(p(x,y,v)代入方程组(1)的第二式，得 /(x,j,v) = G(x,j,(x,j,v),v) = 0.再由此方程确定隐函数v = v(r,j),并代回至u = q)(x9yv(x9y) = u(x9y).这样就得到了一组隐函数M = w(x,j), v = v(x,y).通过

5、详细计算，又可得出如下一些结果：Hx =GX +G“, Hv = Gu(pv +GP;duFx Fv( Hx- = 4-=- -J二 j J Gx Gu(px =l = 1 Q(F,G) Fu Fu Gu(pv +G，J d(x9v)du.1 d(F,G)矿卩”戶一了丽亍同理又有空“丄业凹，空“丄竺叟 dx J 3(t/,x) dy J d(u9y)它们在R3上有连续的各阶偏导数.再考察 在点P.关于所有变量的雅可比矩阵Fx Fy F G* Gy G.x+z 2yz x2 + z y-2z %由于-2 2d(x,y) po -4 2d(F.G)11O(F,G)d(y9z)0(F,G)=d(z,

6、x) Pq因此由隐函数组定理可知，在点片)近旁可以惟一地确定隐函数组：(x = x(z),与 | z = z(y),y = y(z)3 I x = x(j)；但不能肯定j, z可否作为x的两个隐函数.运用定理18.4的结论3；可求得隐函数在点仇处 的导数值：dxV(F,G)/0(FG)dzPo 10(W,V)写成点函数形式，即为Q = T(P),Pw；并记的象集为S现在的问题是：函数组(6)满足 何种条件时，卩存在逆变换r-1?即存在T1: BtB,Q(u.v) a P(x,y)(或 P = T-(Q),QwBJ,亦即存在一个函数组x = x(,v), y =(“,(7)使得满足uu(x(u9

7、v)9y(u9v)9 vsv(x(m,v),(w,v)这样的函数组（7）称为函数组（6）的反函数组.它 的存在性问题可化为隐函数组的相应问题来处理.为此，首先把方程组（6）改写为F(x9y9u9v) = u-u(x9y) = 0,G(x9y9u9v) =v-v(x,j) = 0.然后将定理18. 4应用于（8）,即得下述定理.定理18. 5（反函数组定理）设（6）中函数在某区域 D u 上具有连续的一阶偏导数,厶（丸仇）是D 的内点，且5=（兀0，儿），=”（勺0）,0(川)0(x,j)则在点用(知0)的某邻域(丐)内，存在惟一 的一组反函数(7),使得“0 =Jo =y(o，%)；(x(u,

8、v),j(l/,v) (/(PQ)；“ “(x(y),y(y )9 w(x(“, 此外，反函数组在u(p；)内存在连续的一阶 偏导数；若记d(F,G) d(u,v)xy= d(x.y) =d(x.yf则有dx 3(F,G) /5(F,G)du d(my) / d(xy).V同理又有dxy dy _ vx dy _ uxdv Jxy du Jxy dv Jxy由(9)式进一步看到：a(x,y) = vy uy5(w,v) Jxy2 -vx ig_ “宀一“宀 _ 丿卩 _ | / 5(o,v)Jxy2 Jxy2 _ / 蹟3亍 此式表示：互为反函数组的(6)与(7),它们的雅 可比行列式互为倒数

9、，这和以前熟知的反函数求 导公式相类似.于是可把一元函数的导数和函数 组(6)的雅可比行列式看作对应物.例3平面上点的直角坐标(X*)与极坐标(口0)之 间的坐标变换为T : x=/*cos0, y =rsinG.试讨论它的逆变换.解由于d(x,y) cos0 -rsin0 _d(r0) sin rcos 因此除原点(=0)外，在其余一切点处，T存在 逆变换厂、arctan P 5K + arctanP VO,xn +arccot y, j 0.例4空间直角坐标（x,z）与球坐标之间的坐标变换为（见图18-5）IX=psinpcos 仇T:y = Qsin0sin0,PLz=pcos(p.r由

10、于A图 185d(x.y.z) d(p.(p,O)sincosdQCOS0COS0-psinsin=sinsindpcos(psin0Qsin0cos0COS0-psinp0=Qsin因此在p2sinpO （即除去Oz轴上的一切点）时, 卩存在逆变换r-1：V0 = arctan x例5设有一微分方程（弦振动方程）:(10)其中倾x,f）具有二阶连续偏导数.试问此方程在 坐标变换T:u = xat.v=x-at之下，将变成何种形式?解据题意，是要把方程（10）变换成以“作为自变量的形式.现在按此目标计算如下：首先有0( V ) d(x.t)=2a 工 0,故T的逆变换存在，而且又有di/ = wvdx+ wzdf =dx+adf, dv =dx-ad/. 依据一阶微分形式不变性。得到=(pudu=(“ +,)dx + a(0“ 一,)df,并由此推知继续求以为自变量的久X与0的表达式:Vxx = （% + ，）心 + （% + 久加 OUOV=% + 久“ + % + %，= % + 2（Puv + %，” qaPu =咕叽一（pv ）ut + a 才（0“ -（pv ）vtduov= （Pmt 2 （puy + （Pyy ） 最后得到以心V为自变量的微分方程为