2021届高三新高考数学模拟试卷及答案解析(2)

1、2021届新高考数学模拟试题（2 ）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1.己知全集 =/?,集合 A = xlT4*v3, 8 = 0, 2, 4, 6）,则 等于（）A. 0, 2B. -1 , 0, 2 C. xig02D. x 1-122 .已知复数z满足z（l + i） = 3 + 4i ,则lzl=（ ）A.正B. -C. -D.述24223 .设p：（；）*>l, q-2<x<- ,则是q成立的（）A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4 . （2- TV

2、）'的展开式中产的系数为（）A. 16B. 8C. 2D. 15 .已知向量不=。，h = （2,>） , W = （2,Y）,且。/小，hlc ,则旧一扇=（ ）A. 3B. 710C. VTTD. 2736 .设抛物线V =4、的焦点为F,准线为/, P为该抛物线上一点，PALI, A为垂足.若直线4；的斜率为-"，则AM/；的面积为（ ）A. 2小B. 4。C. 8D. 8小7 .已知（_L）“ =10g/, 3b=10gQ, dr =log,c ,则a, b, c 的大小关系是（）3335A. c<h<aB. a <b<cC. b<

3、c<aD. b<a<c8.已知函数/（x） = 2sin（2x + 9）的图象过点A巨，则（ ）6A.把y = /（x）的图象向右平移三个单位得到函数y = 2sin2x的图象6B.函数/（外在区间（-,（）上单调递减C.函数/（X）在区间0 , 2川内有五个零点D.函数/（X）在区间0,（上的最小值为1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项 第3页（共23贞）符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得()分.9.已知双曲线C:匚一二=13>0力>0)的左、右焦点分别为月(一 5.0), £(5

4、,0),则能使双 cr lr16 9A.离心率为*4C.渐近线方程为3x±4y = 0B.双曲线过点(5,2)D.实轴长为4曲线C的方程为三-二=1的是()10.已知菱形ABCD中，ZE4£> = 60% AC与3。相交于点O .将A4BQ沿4。折起，使顶点A至点M,在折起的过程中，下列结论正确的是()A. BD1CMB.存在一个位置，使ACDW为等边三角形C. 0M与3c不可能垂直D,直线QM与平面3CO所成的角的最大值为60。11.已知定义在0与上的函数/(X)的导函数为八x),且(0) = 0, /'(x)cosx + /(x)sinxvO, 则下列判断

5、中正确的是()A.”)<当(J)B. /(/4)>00243C. /(£) > 2/()D.心3心634312.在平面直角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚 动)，点。恰好经过坐标原点，设顶点8(x,y)的轨迹方程是y = /(x),则对函数y = /(x)的 判断正确的是( )A,函数y = /(x)是奇函数B.对任意的xeR,都有/(x + 4) = f(x 4)C.函数y = /(x)的值域为0,2点D,函数y = f(x)在区间6, 8上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线)，= (x + l

6、)/在点(0.1)处的切线方程为-sin a cos a ./1 n14. /f- = 1, tan（cr一 夕）=w，则 tan/7 =.15. 在四而体S ABC中，SA = SB = 2,且SA_LS8, 8C =6，AC = >/3 ,则该四面体体 积的最大值为，该四而体外接球的表面积为一.16. 在平面直角坐标系x0），中，A为直线/：y = 3x上在第三象限内的点，3（70,0）,以线段 他为直径的圆C（C为圆心）与直线/相交于另一个点。，ABLCD,则圆C的标准方程 为.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （ 10分）在丛8C

7、中，a , ，c分别为内角A , B , C的对边，且满足 （b - a）（sin B + sin A） = c（>/3sin B - sin C）.（1）求A的大小；（2）再在a = 2,B = ±，。=®这三个条件中，选出两个使248C唯一确定的条 4件补充在下面的问题中，并解答问题.若一，求243。的面积.注：如果选择多种 方案分别解答，那么按第一种方案解答记分.18. （12分）己知数列«,为公差不为0的等差数列，且卬=3, q，%，牝成等比数列（1）求数列对的通项公式：（2）设S”为数列a“+2的前项和，求数列出的前项和7；.19. （12 分）如

8、图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 A3C。，AD/BC , ZABC = 90°, ZBCD = 45°> BC = 2AD.（1）求证：BDJC；（2）若PC = BC,求平面Q4Q和平面P8C所成的角（锐角）的余弦值.20. （12分）近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用3 + 3模 式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、 第3页（共23贞）化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每门科目满分均为10

9、0分.为了应对新 高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样 的方法从中抽取名学生进行调查，其中，女生抽取45人.（1）求的值；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对 这两个科目的选课情况，对抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在“物理"和'地 理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一 个不完整的2x2列联表，请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由;选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总

10、计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生,再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ,求X的分布列及期望.P(K6k。)0.050.010.0050.001k.3.8416.6357.87910.828附:n(ad -be)2(a + h)(a + c)(c + d)(b + cl) =a + + c + d21. （12分）已知椭圆E:二+二的左、右焦点分别为石，F,直线y 与 er lr*2椭圆月在第一象限内的交点是M. 9,且用乙_Lx轴，力明加工=I.（1）求椭圆石的方程;（2）是否存在斜率为-1的直线/与以线段石只为直径的圆

11、相交于A, 8两点，与椭圆£相交于C, O两点，且叵？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理 7由.22. （12分）已知函数/（X）= "（1 + 而x）,其中心0，/（x）为/（x）的导函数,设2。）= 华 , 且/心彦|恒成立.（1）求？的取值范围：（2）设函数f（x）的零点为方,函数/'"）的极小值点为斗，求证：第3页（共23贞）2021届新高考数学模拟试题（2 ）答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1 .已知全集 U = R，集合 A = xI-10:<3,

12、B = 0> 2, 4, 6,则等于（）A. 0, 2B. -1, 0, 2C.xI0a&2)【解析】A = xl-&xv3, 8 = 0, 2, 4, 6, 二不8 = 0, 2.2 .已知复数z满足z(l + i) = 3 + 4i,则lzl=( )C.D-苧1+/(1+ /)(1-/)22 2【解析】由z(l + i) = 3 + 4/，得%=3 + 4/ (3+ 4/)(1-/) 7 + / 7 .=+ / ，则+（；）' =故选：D.3 .设 p：（；）*>l, q-2<x<-,则是 成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充

13、分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由/吗、，解得2.g：-2<x v1， 可得q = ，反之不成立.J 是成立的必要不充分条件, 故选：B.4 .（2- «）8的展开式中x4的系数为（A. 16B. 8C.D. 1【解析】（2-我）8的展开式的通项为勒=q2（-Gy =（T）J2'r，;一.令2 = 4,得，=8.2二(2- >/7)8的展开式中X4的系数为(-1)8.2°C： = 1.故选：Q.5 .已知向量不=0,2), 5=(2,)，)，c = (Z-4),且。W, b±c > 则京一bl=()A. 3B. VToC. JT

14、TD. 273【解析】,-.-4x-4 = 0，解得 x = -l:; b ±c ,.(： = 4 4y = 0 ,解得 y = 1 ,/. = (-1,2), b =(2.1),.1-5 =(-3,1),Ia-i= Vio.故选：B.6 .设抛物线V=4x的焦点为F,准线为/, P为该抛物线上一点，PALI, A为垂足.若直线4；的斜率为-乔，则AE4/；的面积为()A. 2x/3B.C. 8D. 86【解析】解法一：设准线与x轴交于点Q，因为直线心的斜率为一百，1/。1=2,所以ZAFQ = 60°, IE4I=4,又因为IPAITPPI,所以AM厂是边长为4的等边三角

15、形，所以M4F的面积为且xlE4F=x4=4jT. 44解法二：设准线与X轴交于点Q, P(m.n),因为直线4：的斜率为-"，IFQI=2,所以NAFQ = 60。，所以IA0I=2",所以 =±2>/5,又因为"=4，所以m=3, 又因为IE4HPFI=4,所以AE4厂的面积为，xIPAIxM=，x4x2x/J = 4G.22故选：B.7.已知d)a=k)g,a, 3b =k)g|，(3'=log|C，则。，b, c 的大小关系是()3333A. c<b<aB. a <b<cC. b<c<aD b&l

16、t;a<c【解析】分别画出函数的图象：y = (-) y = k)gu，y = 31 y = logQ.33可得 v c v a.8.已知函数f(x) = 2sin(2x + 9)的图象过点A(巴，则(A.把y = /(x)的图象向右平移三个单位得到函数y = 2sin2x的图象6B.函数人%)在区间(-£,0)上单调递减2C.函数/(外在区间0, 2m内有五个零点D,函数/(4)在区间0,手上的最小值为1【解析】函数/(x) = 2sin(2x + 9)的图象过点41.2),故有2sin(g + *) = 2 ,可得£ + * = 2k +工，即0=2女)+二，kw

17、Z，取e=三，则函数/3) = 2sin(2x +工). 32666把尸f(x)的图象向右平移£个单位得到函数y = 2sin(2x-±)的图象，故A错误; 66 第3页(共23贞)在区间（-£.0）上，2x + -eF,-）,函数f（x）没有单调性，故3错误：2666在区间0, 2内，2x + -e（-, 1，函数f。）有4个零点，故C错误：664在区间似£上，2x + -e-,故当2x + £ = £时，或当2x + £ = V时，函数取 36 666 66 6得最小值为1,故。成立，故选：D.二、多项选择题：本题共4小

18、题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分. 229.已知双曲线C:匚一二=1（。0,0）的左、右焦点分别为耳（一5.0）, £（5,0）,则能使双 a- lr曲线C的方程为二-二=1的是（）16 95aA.离心率为二B.双曲线过点（5,）44C.渐近线方程为3x±4y = 0D.实轴长为422【解析】双曲线C：T一a=130力0）的左、右焦点分别为£（一5,0）, 6（5,0）,可得c = 5,如果离心率为：可得” =4,则 =3,所以，双曲线。的方程为工-二=1,416 9所以A正确；

19、25a2+b2c = 5,双曲线过点（5.2）,可得25 81解得” =4, = 3,所以双曲线。的方程为4三一-=1a2 6b2-=1所以3正确：16 9c = 5,渐近线方程为3x±4y = 0,可得H +b2 =25 ,解得 =4, = 3,所以双曲 a 422线C的方程为二-4=1，所以C正确；16 9c = 5,实轴长为4,可得4 = 2, = ，双曲线C的方程为二-二=1,所以。不正确:4 21故选：ABC.10.己知菱形ABC。中，P = 60。，AC与比）相交于点O.将A4BO沿40折起，使顶点A至点在折起的过程中，下列结论正确的是（）A. BDLCMB.存在一个位置

20、，使COM为等边三角形C. DW与8c不可能垂直D,直线QM与平面8C£)所成的角的最大值为60。【解析】菱形ABC。中，ZE4D = 60°, AC与8。相交于点O.将43。沿4。折起，使顶 点A至点M ,如图：取3。的中点E，连接ME，EC,可知A/£_L4O,氏_L5£>，所以3Q_L 平面MCE,可知MC_L8O,所以A正确；由题意可知AB = 8C = C£> = D4 = 8。，三棱锥是正四面体时，CDW为等边三角形，所以 3正确：三棱锥是正四而体时，DW与3C垂直，所以。不正确：三棱锥是正四面体时，直线QM与平面BCD

21、所成的角的最大值为60。，。正确.故选：ABD.11 .已知定义在0,勺上的函数/(a)的导函数为fx),且/(0) = 0，7(x)cosx + /(x)sinx<0, 则下列判断中正确的是()A. /£)新(J)B. /(吟 >06243C. /(g) >2/(。D. fd) > V2/d)6343【解析】令虱r) = 2L2,工00一万)， cosx 2因为广(x)cosx + /(x)sinx<0 >则小)J(W“(x)sin晨°, COSX故g(x)在0, Lr)上单调递减， 2因为0)=0,则/cow。，结合选项可知，晨勺飘马

22、，从而有一旦>二,即八勺亚“勺，故A错误， 64y35/262,4T T11.1)因为?一不>0 ,结合g(x)在在0 , 7乃)上单调递减可知g(/一)<0，从而有<0 ,323cos/33由cos?g;r>0可得<0,故3错误；g() > g开)，从问/J >V，且/(大江)<0，KP /() > y/f() > 2/( 7T).故C 63J32.3633T 2正确： g(C)>g()，从而有一金->7即 f(-)>>/2f(-).故。正确.43y/2£,43T 2故选：CD.12.在平面直

23、角坐标系xOy中，如图放置的边长为2的正方形ABCD沿x轴滚动(无滑动滚 动)，点。恰好经过坐标原点，设顶点3(x,y)的轨迹方程是y = /(x),则对函数y = /(x)的A.函数y = /(x)是奇函数B.对任意的xwR,都有f(x + 4-4)C.函数y = /(x)的值域为。2点D.函数.v = /a)在区间6, 8上单调递增【解析】当 KW-2 , 3的轨迹是以A为圆心，半径为2的J圆，当-24运2时，4的轨迹是以。为圆心，半径为2点的1圆，4当2令(4时，8的轨迹是以C为圆心，半径为2的;圆，当40&6时，3的轨迹是以A为圆心，半径为2的(圆，作出函数的图象如图，函数为偶

24、函数，故A错误：函数的周期是8,故3正确：函数值域为0, 2凸,故C正确；由图可知，函数在6, 8上单调递增：故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .曲线y = (* + l)e*在点(0,1)处的切线方程为_ y = 2% +1 _.【解析】y = (x +1 W(e为自然对数的底数)，yf = (x+2)el,根据导数的几何意义，则切线的斜率为了1一=2，又切点坐标为(0.1),由点斜式方程可得>'=2a +1 ,二曲线y = (x + 1卜/(。为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线方程为y = 2x + .故答案为：y = 2x + l.t

25、sin a cos cr ./1 mil # n 114.看=1, tan(c-£) = 一,则 lanQ= ,1-cos 2a3-7 -【解析】 sinacosc_sin «cos a _ cos a _1. tana _ 11-cos 2a2sin2 a 2sin« 2 tan a2又 tan(a -/7)= 1,贝 ij tan p = tan a-(a-/?) = tan a=二 -、=£ ,3l + tana>tan(a-/?) i + L.L 7T5故答案为：i.715.在四面体S ABC中，SA = SB = 2,且SA_LS8, B

26、Cf，AC =。，则该四面体体 积的最大值为巫该四而体外接球的表面积为一.6【解析】四面体的体积最大时即面SA5L面ABC,SA = SB = 2,且%，S3，BC = >/5 , AC = O,所以Z4C3 = 90°,取AB的中点，连接CH, SH 9SH 上 AB，面 S18C 面 =SH 在面SAB 内，而 SH='&a32所以S _L而ABC,所以匕_八氏=25*氏.SH =厄=; 33 26则外接球的球心在S上，设球心为O,连接OC, CH=LaB 4A = 0 因为 22SH = ；SA = 0,所以O与重合，所以 R = CH =SH =0 ,所

27、以四面体的外接球的表面积S =4万a=84，故答案分别为：四，8万.第3页(共23贞)16. 在平面直角坐标系中，A为直线/：y = 3x上在第三象限内的点，8(-10.0),以线段 AB为直径的圆C(C为圆心)与直线/相交于另一个点。，A8_LCZ)，则圆。的标准方程为 (x + 7)2+(>- + 6)2=45_.【解析】根据题意，设A的坐标为(2a,6“)，(“v0),又由B(T0,0),则AB的中点C的坐标为(“ -5,3“)，则以AB为直径为圆的方程为。-%/)(X + 10) + y(y-6a) = 0 ,联立直线与圆的方程可得：仁器+6,) =。，解可得：f或 y = 64

28、犬=一1)=一3故。(一 1,一3),又由 A31.8,则有入瓦包= (2a + 10)S-4) + 6a(3a + 3) = 0,解可得：” =-2或4 = 1, 又由“ V 0 ,故a = 2 ,即C的坐标为(-7,-6),圆C的半径r=l 8cl= 标探=", 故圆C的标准方程为。+ 7-+ (y + 6)2 =45 ：故答案为：(x + 7)?+(y + 6)2=45.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. ( 10分)在AA3C中，a , b , c分别为内角A , B ,。的对边，且满足 (b - «)(sin B +

29、 sin A) = c(V3sin B - sin C).(1)求A的大小：(2)再在a = 2, B = -,c = J就这三个条件中，选出两个使AA8C唯一确定的条 4件补充在下面的问题中，并解答问题.若，求dABC的面积.注：如果选择 多种方案分别解答，那么按第一种方案解答记分.【解析】(1) W (h - 6F)(sin B + sin A) = c(>/3 sin B - sin C),又由正弦定理，一=勺=J,得S a)S + o) = c(回c),sin A sin B sin C即: + c2 - a2 = yfibc ,因为OvA乃，所以A=C.6(2)方案一：选条件和

30、.由正弦定理，_ =上，得力=_如】3 = 2。, sin A sin Bsin A方法一:由余弦定理央=tr +c2 -2aecosB，得(2&尸=22 +c2 -2x2ccos，4解得""+卡.所以58。的面积5=，4°如】3 =，乂2><("+而>立=出+ 1.222方案二：选条件和.由余弦定理“2 =b1八1=(1 + 2_32,+ 3一厂 2(+ 1)(+ 2) 19. (12 分)如图，在四棱锥P-ABC。中，P0_L底而 A3CO, AD/BC , ZABC = 90°,ZBCD = 45°,

31、BC = 2AD.(1)求证：BD工PC；（2）若PC = BC,求平而24。和平面P5C所成的角（锐角）的余弦值.第3页（共23页）+c2-2bccosA9得4 =6+3从一胡,则/=4,所以 =2.所以 c = 2>/3 »所以 M8C 的面积S=gbcsinA = ：x2x2/x： = 6.故答案为：或.18. （12分）己知数列&为公差不为0的等差数列，且卬=3, q, %, 为成等比数列.（1）求数列对的通项公式：（2）设S”为数列q,+2的前项和，求数列出的前项和7；.【解析】（1）由题意，设等差数列/的公差为点，/。0）,则,+"=3,解得1”=

32、1l（%+）2=q（q+4d）'杵付4 = 2 .数列勺的通项公式为4=1 + 2（n -1） = 2/z -1 , /? e N* .（2）由（1）,可得4+2 = 2 + 1, eN*.S“ = (% + 2) + (a2 + 2) + (% + 2) +. + (q1 + 2) + (q + 2) = 3 + 5 + 7 +. + (2 - 1) + (2n +1)(2+ 1 + 3)，2 小2），, 11 1 1:.b =一("Sn n1 + 2n 帅+ 2) 2 n=扣4+（;-+先§+（1 一11 + 2)11+2AC【解析】（1）证明：取BC的中点E,

33、连接0E.因为3c = 2AD,所以AD = BE.又因为AD/BC,所以四边形MED是平行四边形.因为NABC = 900所以四边形4?包）是矩形.所以OE_L5C.又 NBCD = 45。所以 OE = CE =2所以ABC。是直角三角形，即8£）_LCQ.又底而ABC。，BDu底而ABCD,所以BD上PD.又PD, COu平面尸8,且尸£>01。=。.所以平而P8.又PCu平面PCO,所以（2）解法一：因为AQ/BC, AOu平面24。，8CU平面440, 所以BC平面P4O.设平面24。和平面尸8C的交线为/,则3c7，连接尸E，因为且3CJ.PQ所以3c，平

34、面尸£陀，所以/，平面所以ILPE 所以N£PD是平面44。和平面P8C所成二而角的平而角.设 AP = 1,则5c = 2,由（1）知 DE = , DC = y/2.又PC = BC ,所以。=".在好切中，"DE = 90°，PE = 6所以85/七尸。=丝=亚PE 3所以平而抬。和平而MC所成的角（锐角）的余弦值为好.3解法二：如图，以。为坐标原点，分别以08, DC, OP所在直线为x轴，），轴，z轴建立 空间直角坐标系。-QN , 设 A£> = 1,则 5。= 2,由（1）知 DE=1, DC = " ,

35、 DB = V2 .又 PC = BC ,所以 PD = 0 .所以cos 泣尸=I m kl n I4x13所以 B(a,0.0)<(0. VI0).P(0.0. V2X£(. ,0) 2 2所以配=(一直.夜.0),定=(0.0;一点).设平面P3C的法向量为/i = （x, y, z）,则唾=。,即卜黄=。,取x = l,则y = l, “1， Ji PC = 0- >/2z = 0所以平面P8C的一个法向量为万=（1，又平面PAD的一个法向量为m = DE =所以平面颉和平面次所成的角（锐角）的余弦值为华20. （12分）近年，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不

36、再分文理科，某省采用3 + 3模 式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，每门科目满分均为150分.另外考生还要依据 想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、 化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3）,每门科目满分均为100分.为了应对新 高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生450人）中，采用分层抽样 的方法从中抽取名学生进行调查，其中，女生抽取45人.（1）求的值：（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对 第3页（共23页）这两个科目的选课情况，对抽取到的名学生进行问卷调查（假定每

37、名学生在“物理”和“地 理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的一 个不完整的2x2列联表，请将下面的2x2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由;选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计（3）在抽取到的45名女生中，按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生,再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“物理”的人数为X ,求X的分布列及期望.附：K =(“ + A)(a + c)(c + ")(",/)' 十 "PN次)0.050.010.0050.001k。3.8

38、416.6357.87910.828【解析】（1）由题意得，_=H, 1000 450解得 = 100.（2） 2x2列联表为:选择“物理”选择“地理”总计男生451055女生252045总计70301001(X)x(45x20-25x10)8j289>6j63555x45x70x30故有99%的把握认为选择科目与性别有关.（3）从45名女生中分层抽样抽9名女生，所以这9女生中有5人选择“物理”，4人选择“地理”.9名女生中再选择4名女生，则这4名女生中选择“物理”的人数X可为0, 1, 2, 3, 4.设事件X发生的概率为P（X）,则尸（x=o）= W =N一,C： 126第3页（共2

39、3页）第3页（共23贞）P(X=1) =P(X=2) =C；C； _ 60 _ 10=T26 = 21小=3)=年=a=型C： 126 63P(X=4) =C； 126所以X的分布列为X01234P11261063102120635126数学期望w总+ IX粉2喂+ 3展+ 4* =箓21. （12分）已知椭圆E:二+二=13>/?>0）的左、右焦点分别为巴，外，直线y =x与_ o椭圆上在第一象限内的交点是M，且用尼_Lx轴，八曲”0巧=“（1）求椭圆£的方程:（2）是否存在斜率为-1的直线/与以线段七巴为直径的圆相交于A, 3两点，与椭圆石相交于C, D两点,且|。1

40、1从创=工史？若存在，求出直线/的方程：若不存在，说明理 7由.a【解析】（1）设耳（-c,0）, （c,0）由题意,得因为94解得c = l,则M(J),又点“在椭圆上， 2方法一：-2a = jl -(T)+ g _o/+ J(1 _ 1尸 +(| _07=4所以 =2.所以2 =a2 -c2 =3.所以椭圆E的方程为=+ 1 = 1： 4319方法二：所以< a2 + 4b2a2 =b2 +所以椭圆石的方程为卜;“ 存在斜率为T的直线冬或）-争吏得满足题意.假设存在斜率为-1的直线/,设为y = x + ?.由(1)知,4(-L0), E(LO), 所以以线段F1F2为直径的圆为x

41、2+y2=.由题意，圆心（O.O）到直线/的距离，=2<1,得1”<四, V2IABI= 2,1=2-=V2 x V2-7H2） >联立方程组可 ，消去y，整理得7寸-8g y = -x + m由题意， = (一8】)2 - 4 x 7 x (4m2 -12) = 336- 48m? = 48(7 一/)> 0 , 解得ni2 < 7 ,又I / k衣,所以m2 < 2.则X-早不=加产，所以|CD|=gFlx2 f |=6浮出二, 若ICO“同=上叵，7则 V2 x 也一/ xx 5/7 - nr =，一；"整理得464-36/+17 = 0,解

42、得病，或加=1.22又，2<2,所以/=J.,即加=±巫.22故存在符合条件的直线/，其方程为v =1r +立，或v = -x-它.2222.（12分）已知函数/*） = " （1 + 力M ,其中, > 0,广*）为f （劝的导函数.设h（x） = 出 ex且/心珍2恒成立.2(1)求？的取值范围：(2)设函数/(x)的零点为方,函数/'(X)的极小值点为不，求证：【解析】(1)由题设知,ff(x) = ex( + - + mbix)(x > 0) , (x)=""D(x>0) Xx-由"(x)>0,得x>l,所以函数/?(x)在区间(1,+X)上是增函数：由(x)>0,得Ovxvl,所以函数心)在区间(0J)上