2020年中考数学一轮复习讲义(上海专版)专题26平行四边形(解析版)

1、专题26平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号" DABCD'表示，如平行四边形 ABCD记作“ DABCD读作“平行四边形 ABCD'。2、平行四边形的性质(1)平行四边形的邻角互补，对角相等。(2)平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。(3)平行四边形的对角线互相平分。(4)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)定理1:两组对角

2、分别相等的四边形是平行四边形(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、平行四边形的面积S平行四边形 =底边长x高=ah师点睛【例1】（2019春?浦东新区校级月考）已知四边形 ABCD，在AB/CD ;AD BC ;AB CD ;AC四个条件中，不能推出四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A.B.C.D.【分析】根据平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；有两组对边相互平行的四边形是平行四边形；即可得出结论.【解答】解：根据“有一组对边平行且相等的四边形是

3、平行四边形”可以选 和；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，选；所以不能推出四边形 ABCD为平行四边形的是 ；故选：A .【例2】（2019春?浦东新区校级月考）在平行四边形 ABCD中，对角线AC , BD交于点O，若BD 10 , AC 14 , 那么BC的取值范围为.【分析】根据平行四边形的性质可得BO、CO的长，然后再根据三角形的三边关系可得BC的取值范围.【解答】解：如图：Q四边形ABCD是平行四边形，11BO -BD , CO AC, 22Q BD 10 , AC 14 ,BO 5CO 72 BC 12故答案为：2 BC 12.【例3】（2018春?浦东新区期中）如图，以B

4、C为底边的等腰ABC，点 D , E , G 分别在 BC , AB , AC 上,且 EG / /BC , DE / /AC ,延长 GE 至点 F ,使得BE（1）求证：四边形 BDEF为平行四边形;DF的长.【分析】（1）由等腰三角形的性质得出ABCAEG ABC C ,四边形CDEG是平行四边形，得出 DEG C ,证出 F得出BF/DE ,即可得出结论;（2）证出 BDE、 BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出连接DF ,则 BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF BE BD 2我，作 FM BD 于 M , 2FM BM - BF 2,得出 DM 6 ,在 2Rt DFM中，

5、由勾股定理求出 DF即可.【解答】（1）证明：Q ABC是等腰三角形,ABC C ,Q EG/BC , DE / /AC ,AEG ABC C ,四边形CDEG是平行四边形,DEG C ,Q BE BF ,BFE BEF AEG ABC ,F DEG ,BF /DE ,四边形BDEF为平行四边形;(2)解：Q C 45ABC BFE BEF 45 ,BDE、 BEF是等腰直角三角形，BF BE 2BD 2 2,2作FM BD于M ,连接DF ,如图所示：则BFM是等腰直角三角形，FM BM BF 2 , 2DM 6,在Rt DFM中，由勾股定理得：DF 收 62 2国,即D, F两点间的距离为

6、2M.V BDC一能力提升1 . （2019春？嘉定区期末）如果平行四边形 ABCD两条对角线的长度分别为 AC 8m, BD 12cm ,那么BC边的长度可能是（）A. BC 2cmB. BC 6cmC. BC 10cm D. BC 20cm【分析】根据平行四边形的对角线互相平分确定对角线的一半的长，然后利用三角形的三边关系确定边长 的取值范围，从该范围内找到一个合适的长度即可.【解答】解：设平行四边形ABCD的对角线交于。点，OA OC 4, OB OD 6,6 4 BC 6 42 BC 106cm符合,2. （2019春？浦东新区期中）下列条件中不能判定一定是平行四边形的有（）A. 一组

7、对角相等，一组邻角互补B. 一组对边平行，另一组对边相等C.两组对边相等D. 一组对边平行，且一条对角线平分另一条对角【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.根据平行四边形的判定逐一验证.【解答】解： A、能用两组对角相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；B、不能判定平行四边形，如等腰梯形；C、能用两组对边相等的四边形是平行四边形判定平行四边形；D、能用两组对边分别平行的四边

8、形是平行四边形判定平行四边形；故选：B .BD , AC 10 , BD 24,贝U AD解：QY ABCD的对角线 AC与BD相交于点O ,2BOQ ABAC ，11DO -BD 12, AO CO -AC 5 , 22AD 舍 122 13 ,故答案为：13.4. （2019?嘉定区二模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点O的线段EF与AD、BC3分别父于点E、F ,如果AB 4, BC 5, OE 3 ,那么四边形 EFCD的周长为 【分析】根据平行四边形的性质知,AB CD 4 ,AD BC 5 , AOOAD OCF , AOE 和COF是对顶角相等，根据全等三

9、角形的性质得到OF OE 1.5 , CF所于是得到结论.【解答】解:Q四边形ABCD平行四边形,AB CD4 , AD BC 5, AO OC , OADOCF , AOECOFOAEOCF (AAS)OF OE1.5, CF四边形EFCD的周长ED CD CF OF OEED AE CD OEOFAD CD OE OF4 5 1.5 1.512.故答案为：12.5. （2019春？浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD 中,ABC60 , BC 2AB 8 ,点 C 关于 AD的对称点为 E ,连接BE交AD于点F ,点G为CD的中点，连接AH ,连接EC交AD于N ,S BEGS

10、BCESECGS BCG计算即可;作EMCD交CD的延长线于 M .构建【解答】解：如图，取 BC中点H ,连接AH ,连接EC交AD于N ,作EM CD交CD的延长线于M .Q BC 2AB , BH CH , ABC 60 ,BA BH CHABH是等边三角形,HA HB HC ,BAC 90 ,ACB 30 ,Q EC BC , BCD 180 ABC 120 ,ACE 60 , ECM 30 ,Q BC 2AB 8 ,CD 4 , CN EN 2点,EC 4石，EM 273 ,S BEG S BCE SECG S BCG8 4.3二S¥行四边形ABCD 416 3 2 ,3

11、4 3故答案为4 3 .那么称这样的DE 4时；6. （2019春？杨浦区期中）如果一个平行四边形的一个内角的平分线分它的一边为1:2两部分,平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”，当协调边为6时，它的周长为 【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB AE;分两种情况：当AE 2,当AE 4 , DE 2时；即可求出平行四边形 ABCD的周长.【解答】解：如图所示： 当AE 2, DE 4时，Q四边形ABCD是平行四边形，BC AD 6 , AB CD , AD /BC ,AEB CBEQ BE 平分 ABC ,ABE CBE ,ABE AEB,AB AE 2,平行四边形

12、ABCD 的周长 2(AB AD) 16；当AE 4 ,DE 2 时,同理得：ABAE 4,ABCD 的周长 2(AB AD) 20 ;平行四边形7. (2019春？金山区期末)已知：如图， YABCD中,AE、CF分别是 BAD和 BCD的角平分线，分别交AE CF .【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义，证明ADE CBF即可判断AE CF .【解答】解：Q四边形ABCD是平行四边形,DAB DCB , D B , AD BC .Q AE、CF分别是 BAD和 BCD的角平分线,DAE BCF .ADE CBF (ASA).AE CF .A 45 , BD AD, BD 2.8.

13、(2019春？杨浦区期中)在平行四边形 ABCD中, (1)求平行四边形ABCD的周长和面积;(2)求A、C两点间的距离.DBD 2，2,由平行（2）连接AC ,与BD相交于点O,由平行四边形的性质得出OD1-BD 1 , AC 2AO 2由勾股定理求出OA,【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出AD BD 2,由勾股定理求出AB JAD2四边形的性质得出 DC AB2./2, BC AD 2 ,即可得出平行四边形的周长和面积;得出AC 23即可.【解答】（1）解：Q BDADADB 90又 Q A 45 ABD45AD BD 2 ,AB AD2 BD2Q四边形ABCD是平行四边形,DC A

14、B 2夜，BC ADC平行四边形ABCD2AB 2ADS平行四边形ABCDAD BD 22 4;（2）解：连接AC,与BD相交于点O,如图所示:Q四边形ABCD是平行四边形,_1OD -BD 1 , AC 2AO , 2Q 在 Rt AOD 中， ADO 90 ,22OA - AD OD 21275,275所以A、C两点间的距离为9. （2018秋？黄浦区校级月考）已知：如图，在YABCD中,AC4 , BD 6 , CA AB,求 YABCD 的周长和面积.【分析】依据平行四边形的对角线互相平分,即可得到AO 2 , BO 3再根据勾股定理即可得出 AB与BC的长，进而得到 YABCD的周长

15、和面积.【解答】解：如图所示，QAC 4 , BD 6,AO 2 , BO 3 ,又 QCA AB ,Rt AOB 中，AB JBO_AO2 V32 22 而,Rt ABC 中，BC AB2AC J(75)2 42 历,YABCD 的周长 2(75 721) 2j5 2721 ,10. (2018春？金山区期中)已知，如图，在等边 ABC中，D是BC边F为AB边上一点，且CD BF ,以AD为边作等边 ADE ,联结EF、FC .求证:(1) ADC CFB ;(2)四边形EFCD是平行四边形.ACD CBF 60 ；根据 SAS 即DE与CF是否平行即可，由(1)的全ACG 60 ;根据三角

16、形外角的性【分析】(1) ACD和 CBF中，已知的条件有：AC BC , CD BF ,可判定两个三角形全等.(2)由(1)的全等三角形知：AD CF ,即DE CF AD ；因此只需判断等三角形，可得DAC BCF ,而 BCF ACG 60 ,即 CAD质，可得 AGF 60 CGD ,由此可判定 DE/FC,即可得出四边形 CDEF的形状.【解答】证明：(1)Q ABC为等边三角形,AC BC ,ACD B 60 ,QCD BF ,ACD CBF (SAS);(2)四边形CDEF为平行四边形;Q ACD CBF ；DAC BCF , CF AD ；Q AED是等边三角形；AD DE ;

17、CF DE ；QACGBCF60 ；ACGDAC60 ;AGC 180( ACG DAC) 120 ;DGFAGC120;Q AED是等边三角形；ADE 60 ;DGF ADE 180 ；CF / /DE ；综合可得四边形CDEF是平行四边形.11. (2018春？浦东新区期中)如图，YABCD中，E、F是直线AC上两点，且 AE 求证：(1)BE DF ;(2) BE /DF【分析】(1)利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；(2)利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可.【解答】证明：(1)Q四边形ABCD是平行四边形，AD BC , AD/BC,DACBCA ,DAFBCE ,Q AE CF ,AF EC , 在FAD和ECB中，AF CEFAD ECB , AD BCFAD ECB(