不定积分换元法例题

1、【不定积分的第一类换元法】已知 f(u)du F(u) C【凑微分】求 g(x)dx f( (x) '(x)dx f ( (x)d (x)f(u)du F(u)【做变换，令u(x),再积分】F( (x) C【变量还原，u(x)】【求不定积分g (x)dx的第一换元法的具体步骤如下:(1)变换被积函数的积分形式：g(x)dx f( (x) '(x)dx(2)凑微分：g(x)dx f( (x) '(x)dx f ( (x)d (x)(3)作变量代换 u (x)得： g(x)dx f( (x) '(x)dx f( (x)d (x) f (u)du(4)利用基本积分公式

2、f (u)du F(u) C求出原函数：g(x)dxf ( (x)'(x)dxf(x)d(x)f (u)duF(u)C(5)将u(x)代入上面的结果，回到原来的积分变量x得：g(x)dxf( (x)'(x)dxf(x)d(x)f(u)duF(u)CF( (x) C【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量u (x),省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。【第一换元法例题】1、(5x 7)9dx(5x 7)9 dx (5x9 17)9 5 d(5x 7)9(5x 7)9d(5x 7)1 1 , (5x5 107)10C )x191 (5x 7)9 d(5x 7)57)

3、10 C【注】(5x 7)' 5, d(5x 7) 5dx,1 一dx d (5x57)2、In xdx x1In x dx In x d In x x12-12 八In x d In x (In x) C (Inx) C 22111【汪】(lnx)'-，d(ln x)-dx,- dxxxxd(ln x)3(1)tan xdxd cosxcosxsin x sin xdx d cosxdx cosx cosx cosxln|cosx| C ln|cosx| Cd cosxcosx【注】(cosx)' sin x, d (cos x) sin xdx, sin xdx d

4、(cos x)3 (2)cot xdxcosx .dx sin xcosxdx d sin xsin xsin xd sin xsin xIn |sin x | C In |sin x | C【注】(sin x)' cosx, d(sin x) cosxdx, cosxdx d(sin x)4 (1)，dx a xd(a a x，dx a xx) In |ax|【注】(a x) 1,d (a x)dx,4 (2)，dx x a1- d(x a，dx x aa) In |xa| C【注】(xa) 1,d (x a)dx,(3)1-2dxx a122dxx a12ad(a x)In |a

5、x| Cdx d (a x)d(x a)In | x a | Cdx d(x a)dx12a1dx a1 dx x a1 1, In | x 2aIn | x a |ln 2a5(1)secxdxsecx(secx tan x) dxsecx tan xd(tanxsecx) d(tanx secx)secxtan xsecx tan x5(2)secxdx1 ,cosx ,dx2 dx cosxcos xd sin x11121 sin x2 sin x 1 sin x 12.一sec x secx tan x dxsecx tan xln | secx cosx dxtanx| C dsi

6、nx2 cos xdsin x111n 22sin xsin x 1C11n 21sin xCsin x 11sin x2,c cscx(cscx cot x) csc x cscx cot x6(1) cscxdx -dx dxcscx cotxcscx cotxd( cotx cscx) d(cscx cotx) , ,一- - ln |cscx cotx| Ccscx cotxcscx cotx2/、cscx(cscx cotx) csc x cscx cot xcscx cot xcscx cotx6 (2) csc xdx -dx dx(1)(2)(1)(2)(1)(2)10(1)1

7、0(2)11(1)11(2)d( cotx cscx) d(cscx cotx)cscx cot xcscx cot xln|cscx cotx|1dxarcsin x C=dx2 xdxC2 xdx xdx2 xarctanx. 3 sindx x5xcosxdx.xarcsin 一 Cadx2 x. 2 sin5xcos xdxsin xdx-arctan-C, ( a 0)25(1 cos x) cos3 5sin xcos xdx322sin x(1 sin x)dxxln xdxxln2 x. 2 sin5 xcosd cosx75x d cosx (cos x cos x) d c

8、osx8cos x86 cos6_ 3 sind sinln x x1ln434xcos x cosxdxsin xcosdsinxdx/ 35(sin x 2sin x1.d ln x ln x1.1 lnInd In x. 7、sin x)d sin x4sin x46sin x3d In x1 ln2InIn xd In xC ln x2xdxx4 2x2 22xdxx4 2x2 2dx22x2 2d(x2 (x21), 2 ,、2arctan(x 1)xdx1 2x 2x 52xdx2x2 5dx2x4 2x2 5d(x2 1)4 (x2 1)221d(x2 1)8 x2 1 21 x

9、1x2 1 d -12x2 1 21-11 arctan(x- 4212、313、14、15、16、17、18、19、20、sin .x1 ,dx sin、x dx、.xx2 sin x d x 2cos x C2x .e dxsin(2x(2xsin、x dx 2 sin . x d x 2 x2cos x Ce2xd2x 2x cosxdx100 .5) dx5)100d(2x. 3 sin(2x5)e2xd2x2e2x Cx cosxdx1005) dx101(2x-22xsin x dx sin x xdxln x , dxx 1 ln x、1 lnx d lnx.3.3.sin x

10、d sin x sin x d sinx(2x 5)1005)101 Cln x,1 ln x1.一 sin 2-dx xln x,1 ln x1 d(2x 5)2202(2x(2x 5)101 Csin x2d In xdx21 cosx2(1 ln x) 1In x1 d ln x、1 lnx,1 Inx d(1 In x)1 d(1 ln x)1 ln x3(13ln x)2arctan xt x dx .1 x2_1_2 1 x2sin x , dx. cos3 x12(1 ln x)2 Carctanx ed(12 dx xarctanx ed arctan xarctan x e1

11、 x2xdx12.1dx2_1_2.1 x2x2)cos3 xsin xdx-1- dcosx cos3 x5)100 d(2xd Ind arctan xarctan x ed(1x2)5)32cos 2xd cosx12cos 2 x1121、xMdxexdx edex eexd(2ex) ln( 222、 2 ln x , dxxlnx 1dxx 2 ln xd In x 2ln xd In xI 3 ln x _ C323、dx1 2x xdx2 (1 x)2d(12 (1x)x)2d(1 x)(2)2 (1 x)2arcsin11C224、dxx2 x 2(xdx2225、d（x ；

12、）12-7x2(x 2)(2)2 arctand(x 2) 112(x 2)1 x - 2 c二 C 2计算sin xcosx2cos xb2【分析】因为:22(a sin x22b cos x)'2c -a 2sin所以:d (a2sin2 x22、cos x)2(a2sin xcosxdx1 2(a2sin xcosx2.2. 22a sin x b cos xdxd(x 2) 1 27 2(x 2)2 (2)2arctan2x=1 C1 2xcosx b 2cos x( sin x),2、b )sin xcosxdx,2.2, 2d (a sin x b cos b )sin x

13、cosxdx_22a sin x22b cos xx)2(a2.2.b )sin xcosxd(a2sin2x b2 coy x)2 . 2, 222 a sin x b cos xd(a2sin2x b2 cos2 x)b2 2 a2 sin2 x b2 cos2 x2. 2.22 八a sin x b cos x C【不定积分的第二类换元法】【做变换，令x (t),再求微分】已知 fdt F(t) C求 g(x)dx g( (t)d (t) g( (t) '(t)dtf(t)dt F(t) C【求积分】2arctant C2arctan x C_1_F( (x) C一、一 一1_【

14、变量还原，t (x)】【第二换元法例题】1、变量还原sintdt1 2sint2tdt2sintdt2cost Ct x2cos x C2 (1)t12 dt 2 1 dt1 t1 tC1 .令、xt1 . 21 一.-dx 2 dt TTxdx x (t 1)2 2tdt1、,xxt21 t1 t变量还原_2 t ln|1 t| C 2 ln|1 i|t ：；x121t d(t 1)2t 2(t 1)dtt 112 dt 2 1 - dttt变量还原2 t ln|t| C 2 1 x ln|1 x| Ct 1 x4、3、12 (t6t3)dt12t7t4(t3 1)4t d(t3 1)4变量

15、还原1.x(1 x)令x tdxt2x t12t(1 t)dt212t(1 t)2tdt1(t3 1)2125 dt1 t2t 4(t31)3 3t2dtY(1 方)4变量还原t ，x令ex t1115、lntd ln tt1dt1 t tdt6、In |t| In |1t|In变量还原exInxex edx(1次)五令6x tx t66(t arctan t)变量还原C t 6x【注】被积函数中出现了两个根式7 (1)dx1 3/x变量还原36t x7 (2)【注】8(1)(1 t2)t3人3L=令x 2 t_32 x t3 2：(x 2)2I之dx8/vx (1t7 t5dt612(1 t

16、2)t53 6t5dtt2彳dt6(6 xarctan . x) Cm ,« n ；k:Vx, Jx时，可令Jx2xt2t ln|1k为m,n的最小公倍数。t|ln|1x2|变量还原x2)t3dt1|arctan t2t2ln|tln| xx 1|被积函数中含有简单根式可令这个简单根式为12 dt t21|ln|t21|即可消去根式。1t21t2Jtt2t6 t4 t212 dt1 t2变量还原17x75x51 arctan 一 C x113x31761 in x8 ；,；2(x in x)dx变量还原1 in - t2In1 in - t2ln1 tt12 dt1 1nt 2dtt

17、int2tint(1In t)dt21 t in td(1tint)1 t in t111 inx x【注】当被积函数中分母的次数较高时,9、1 sinx , dx令 tanx t2sinx(1cosx)x 2arctantx in x可以试一试倒变换。2t2(1d2arctant22t1 t22t2(122)2dt1 t2dtt2变量还原, 2xtan 一212ln|t11xin |tan |22【注】对三角函数有理式的被积函数,可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。10(1) Va1 x2 dx令 x asint, |t| 一 2x t arcsin- a,a2a2sin2tda

18、sintcos2 tdtdxa2=x2 tasint, |t| 一 2dasint变量还原x arcsin- a22a sin tdtx arcsina一 _x arcsina1 cos2t ,xdt2(1cos2t)dtsin2t变量还原+. xt arcsin a一arcsin-dx10=a2令 x atant, |t| 一2datant变量还原.xt arctanaarctanx aa2 a2 tan tseddtin|sec tant| Cx in|- a22a x| C in | x aa2 x2110 (3)因为：(x . a2 x2)' 2 . a2 x 2所以： (x a2 x2)'dx2、a2 x2dxdx22a x即:dx变量还原x asect因为:所以:即:A2dx 2(x a2 x2)'dx1，-22 a xdxx ln | aase(t, 0 t 22dasect.a2se(2tlnsectdt|x2x2 | Cln |secttant |22x a| C In | x a(xx2 a2)' 2 x2 a2