2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(新课标2卷精编版)-附答案解析

1、2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）学校:姓名：班级：考号：3 +/下1 .更数等于（）1 + 1A. l + 2zB. l-2zC. 2+iD. 2-i2.设集合人= 1,2,4, 6 =卜如-4x+m = 0.若4c5 = 1,则 5 =（ ）A. 1,-3B. 1,0C. 1,3D. 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增， 共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？'意思是：一座7层塔共挂了 381盏灯，且相邻两 层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏4 .如图，网

2、格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几 何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为试卷第6页，总5页A. 90兀B. 63兀C. 42兀D. 36兀2x+3y-3<05 .设x，y满足约束条件12工3），+ 320,则Z = 2x+y的最小值是（） y + 3>0A. -15B. -9C. 1D. 96 .安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）A. 12 种B. 18 种C. 24 种D. 36 种7 .甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位

3、良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成 绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B. 丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩C. 4D. 5b>0）的一条渐近线被圆（x21 +）？=4所（）c. V2D.毡3NABC = 120 , AB = 2，BC = CC=1,则8 .执行如图所示的程序框图，如果输入的1,则输出的5 二A. 2B. 39 .若双曲线C：二一=1（4>0， a- b-截得的弦长为2,则C的离心率为A. 2B. y/310 .己知直三棱柱ABC AB。中，异

4、面直线AB|与BG所成角的余弦值为（）A gp 而0MXX Q . L 255311 .若x = -2是函数/。） = （/+6-1儿1的极值点，则的极小值为（）.A. -1B. -2e-3C. 5e-3D. 112 .已知A45C是边长为4的等边三角形，P为平面A5C内一点，则（而+定）的最小值是3A. 2B. C. 3D. 6213 .一批产品的二等品率为0.02 ,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， X表示抽到的二等品件数，则0X=.14 .函数/（x） = s"/x+JJcOSX. （）的最大值是.15 . （2017新课标全国理科）等差数列q的前项和为S“，

5、% = 3, 54 = 10,” 1则之-k=l 16 .己知F是抛物线C: y2=8x的焦点，M是C上一点，FN4的延长线交）'轴于点N.若M为FN的中点，则|FN| =.17 . &48c的内角的对边分别为。力,。，已知sin（A + C） = 8sin2g.（1）求 cos 5：（2）若。+ c = 6，A/WC面枳为2,求.18 . （2017新课标全国n理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量 对比，收获时各随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）.其频率 分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件产旧养殖法的

6、箱产量低于50 kg,新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:箱产量V50 kg箱产量N50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).附:0.0500.0100.0013.841663510.828二n(ad - be+ Z?)(c + d)(a + c)(b + d)19 .如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底A6C。，AB = BC = - AD, ABAD = ZABC = 90。，上是产。的中点.

7、 2(1)证明：直线CE/平面PA5；(2)点在棱PC上，且直线6M与底面A5C。所成角为45°,求二面角M AB。的余弦值.20 .设。为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=l上，过M作x轴的垂线，垂足 2为M点P满足nP = &NM .(1)求点尸的轨迹方程；(2)设点。在直线工=一3上，且而=1.证明：过点P且垂直于。的直线/过。的左焦点E21 .已知函数/(力=一叱一油式,且f(%)之0.(2)证明：/(X)存在唯一的极大值点/，且/</(线)<22.22 .在直角坐标系X。中，以坐标原点为极点，工轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为pcosd

8、= 4.(1)M为曲线G上的动点，点p在线段OM上，且满足|QM| |8| = 16,求点p的轨 迹Q的直角坐标方程：(2)设点A的极坐标为2,(,点8在曲线g上，求AA8O面枳的最大值.23 .已知4>0, b>0, /+/ = 2，证明：(l)(«4-/?)(«5+Z?5)>4 ；(2)a + b<2.本卷由系统H动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1. D【解析】【分析】根据里数的除法运算得到结果.【详解】3+1_（3 + /）（1-7）_4-2/1+7 -（1+/）（1-/）- 2 =2-1,故选D.【点睛】这个题目考查了更数的除

9、法运算，更数常考的还有几何意义，z=a+bi（a, b£R）与更平面上 的点ZQ, b）、平面向量无都可建立一一对应的关系（其中。是坐标原点）：亚平面内，实 轴上的点都表示实数;虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.涉及到共筑复数的概念，一般地， 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个更数叫做互为共挽复数，更数z的共筑 复数记作/2. C【解析】,集合A = L2,4, 6 = 巾/-4%+机= 0, Ac6 = l:.x=l 是方程 V -4x + 7 = 0的解，即 1-4+? = 0 m = 3:.5 = |/-4工+次=0=卜£-4工+3 = 0 = 1,3,故选

10、 C3. B【解析】【分析】【详解】设塔顶的ai盏灯，由题意an是公比为2的等比数列，S=q（_2 ）=381,1-2解得ai=3.故选B.4. B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其 体积为V = g4故选B.点睛：（1）解答此类题目的关健是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其 直观图.（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三 视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及 相关数据.5. A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程 组

11、求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】*2x+3y-3<0作出21-3），+ 320表示的可行域，如图, I y+320px+3y-3=0x=-6由<可得， ，2x-3y + 3 = 0=一3将 Z = 2x+> 变形为 > =-2x+Z ,平移直线y = 2x+Z ,由图可知当直y=-2x+z经过点（-6.-3）时，直线在）'轴上的截距最小，最小值为Z = 2x（6）-3 = -15,故选A.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的 一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注

12、意是实线还是虚线）；（2）找 到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过 的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6. D【解析】24项工作分成3组,可得：c =6,4安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，3可得：61人3 = 36种.故选D.7. D【解析】【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出正确答案【详解】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，甲不知自己的成绩一乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩：若是两良，甲也会知道自己的成绩）一乙看到了丙的成绩，知

13、自己的成绩一丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，给甲看乙丙成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，则甲是 良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自己的成绩了.给乙看丙成绩，乙没有 说不知道自己的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道自己成绩.给丁看甲成绩，因 为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲丁也是一优一良，丁看到甲成绩，假定甲 是优，则丁是良，丁肯定知道自己的成绩了 故选：D.【点睛】本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话， 属于中档题.8. B【解析】【详解】阅读流程图，初始化数值。=Lk = l,S = O.循环结果

14、执行如下：第一次：S = 01 = 1,。= 1,k=2 ；第二次：S = -l + 2 = l,a = -l,k = 3：第三次：S = 1-3 = -2m = 1,& = 4；第四次：S = 2 + 4 = 2,。= -1,& = 5 ；第五次：S = 2 5 =3,。= 1,女=6 ；第六次：5 = 3 + 6 = 3,。= -1,女=7 ,结束循环，输出S = 3.故选B.点睛:算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.求解时，先明晰算法及流程图 的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循 环终止条件，更要通过循环规律，明确

15、流程图研究的数学问题，如：是求和还是求项.9. A【解析】 由几何关系可得，双曲线*-5=1（。0力0）的渐近线方程为区±州=0,圆 心（2。到渐近线距离为1=7?才=石，则点（2,0）到直线区+纺，=0的距离为公触竺3卫二技ya2+b2 c即为；丁-） = 3,整理可得。2=4/,双曲线的离心率6 = 后="=2.故选A.点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出a, c,代入公式e = £；只需要根据一个条件得到关 a于a, b, c的齐次式，结合加=/一/转化为a, c的齐次式，然后等式（不等式

16、）两边分别除以a或乐转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范闱）.10. C【解析】如图所示，补成直四棱柱abco-A用G",则所求角为/BCQ：; BC=0BD = V22+l-2x2xlxcos60° =5C1D =,故选C.一“ -BC1 6 则因此 cos ZBC.D = = G。65平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角:认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所

17、成的角的取值范围是当所作的角为钝角时，应取它的 补角作为两条异面直线所成的角.求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成 角的范围.11. A【解析】由题可得/'（x） =（2x+a）e'T +（./ +以一1卜1 =/ +（。+ 2）工+。一1 ex-l t因为/'（2） = 0,所以a = T, /（力=任71）/t,故（1）=（犬+一2卜1,令/'（x）>0,解得x<2或x>l,所以在（一吟一2）,（1,+8）上单调递增，在（2,1）上单调递减，所以f（x）的极小值为=故选A.【名师点睛】（1）可导函数丁=兀。在点而处取得极值的充要条件

18、是尸（工。）=0,且在xo左侧 与右侧/Q）的符号不同；（2）若/"）在（，勿内有极值，那么人r）在（。，与内绝不是单调函数，即在某区间上单调增 或减的函数没有极值.12. D【解析】【分析】【详解】以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则 A (0, 273)，B ( - 2, 0), C (2, 0),设 P (x, y),则尸印=(-x, 2价-y),产月=(-2 - x, - y)»PC=(2 - x, - y),所以尸4 ,( PB + C ) = - x(- 2x) + (273 - y) ( - 2y)=2x2 - 4y/Jy+2y2=2x2+ (y-

19、73 ) 2-3；所以当x=0, y=JT时，PA*(PB + PC)取得最小值为2x ( -3) =-6.故选D.13. 1.96【解析】【分析】根据二项分布X5(100,0.02),由公式得到结果.【详解】由于是有放回的抽样，所以是二项分布X5(100,0.02),DX = 必7 = 100x0.02x0.98 = L96,填 1.96【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能 力，考查函数与方程思想，是基础题.14. 1【解析】【详解】 化简三角函数的解析式, 可得/(x) = 1-COS? X+5/3 COSX- = -COS2 X+&am

20、p;COSX + = -(COSX-尸 + 1，由xw0,可得cosxe0,l,当cosx = Y§时，函数/(x)取得最大值L 2215. n + l【解析】可 + 2d = 3设等差数列的首项为可，公差为d,由题意有4x3，解得4 +a =1012皿 1) , 1) +数列的前 n 项和 Sn = hcl + -d = 7/x 1 + -xl = -2221211裂项可得至=叼=2(厂E)，n n +12/?+1点睛:等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量处，诙，d, n, S”知其中 三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公 式在解题中起到

21、变量代换作用，而G和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知 和未知是常用得方法.使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保 留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点.16. 6【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与x轴交于点尸I作 MBJJ与点、B, 与点4,由抛物线的解析式可得准线方程为x = -2,则 AN = 2,FF = 4,在直角梯形ANFk中，中位线6M=;二3,由抛物线的定义有：MF = MB = 3,结合题意，有MN = MF = 3,故FN = FM-NM = 3 + 3 = 6.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基

22、础，它能将两种距离（抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离）进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题.因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化.17. (1) ； (2) 2.17【解析】 试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知4+。=乃一6,再利用诱导公式化简Ds加（A + C）,利用降鬲公式化简8su5,结合su/B + cosinl，求出cosb； （2）由Q可知SU团万，利用三角形面积公式求出”再利用余弦定理即可求出山D试题解析：(I) sin(

23、A + C)= 8sin2 , A sni5 = 4(l-cosB), V siif + cos2B = 1.16(1 cosB)- +cos25 = 1» A (17cosB -15)(cos5 1) = 0, cosB =8(2)由(1)可知sinB = 一17117S Akr = -ac- shiB = 2，/. ac = a/lot22b2 =a2 +c2 laccosB = a2 +c2 -2x一x = a2 +c2 -15 = (a + cY 2«c-15 = 36 17 15 = 42 17v 7:.b = 2 .18. （1） 0.4092 ； （2）见解析

24、；（3） 5235kg.【解析】试题分析：（l）利用相互独立事件概率公式即可求得事件A的概率估计值；（2）写出列联表计算K?的观测值，即可确定有99%的把握认为箱产量与养殖方法有 关；（3）结合频率分布直方图估计中位数为52.35依.试题解析：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新养殖法的 箱产量不低于50kg”由题意知 。（4）二尸（6C）= P（8）P（C）旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为（0.040+ 0.034 + 0.024+ 0.014+ 0.012）x 5=0.62故P（B）的估计值为0.62新养殖法的箱产量不低于50kg的频率为（0.068+0.

25、046+0.010+0.008）x 5=0.66故P（C）的估计值为0.66因此，事件A的概率估计值为0.62x0.66 = 0.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量< 50kg箱产量之50kg旧养殖法6238新养殖法3466K2 =«15.705200x(62x66-34x38/100x100x96x10415.705 >6.635故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图面积为 (0.004+0.020+0.044)x 5 = 0.34 <0.5,箱产量低于55kg的直方图面

26、枳为(0.004+0.020+0.044+0.068)x5 = 0.68 > 0.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50+0.5-0.340.06852.35(kg).点睛：（1）利用独立性检验，能够帮助我们对口常生活中的实际问题作出合理的推断和 预测.独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断 的可信度，随机变量的观测值上值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大.（2）利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方 形底边中点的横坐标即众数；中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的； 平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直

27、方图中每个小长方形的面积乘以 小长方形底边中点的横坐标之和.19. （1）见解析；（2）叵5【解析】【详解】试题分析：（1）取QA的中点尸，连结E尸，BF,由题意证得C石 8尸，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：;=（0,-痣,2）,3 =（0,0,1）,然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M 的余弦值为萼.试题解析：（1）取QA中点尸，连结石尸，BF.因为E为夕。的中点，所以七尸=由NMD=NABC = 90。得8C/MD,2又 = 2所以EF?8c.四边形8c石厂为平行四边形，CE/BF .又BF u平面, CE（Z平面,故CE / /平面

28、尸A8（2）由已知得以A为坐标原点，通的方向为x轴正方向，A分为单位长，建立如 图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则 A(O,O,O), 6(1, 0,0), C(l,l,0),尸(0,1, 6),PC = (1,0, -退)，福二(1,0,0)则BM =(x-L y, z),PM=1，y-l» Z-6)因为BM与底而ABCD所成的角为45。，而3 =（0,0,1）是底面ABCD的法向量，所以即（x-1）叶y<z0答案第17页，总17页xT02(舍去),< y=lZ_V62所以M卜乎,1用从而AM = k¥'l,当又M在棱PC上，设PM = a PC,

29、则 x =入,y = 1,2 =3- 3九,V2x=l+ 2由，得< y=iz = 一迈2设加=仪0，丫0*0）是平面ABM的法向量，则= 0即 “2-应）x° +2y° + 小。=0 IW AB = 0 1 xo = O所以可取m = (0,-#,2) .于是cos 6,。=因此二面角M-AB-D的余弦值为巫5点睛：（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算.（2）设7, 分别为平面。，夕的法向量,则二面角6与<相，互补或相等，故有|cosnrn狎c°s<s叶菊.求解时一定

30、要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.20. (1) x2 + y2 =2 ； (2)见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）转移法求轨迹：设所求动点坐标及相应已知动点坐标，利用条件列两种坐标 关系，最后代入已知动点轨迹方程，化简可得所求轨迹方程；（2）证明直线过定点问题，一 般方法是以算代证：即证00，户=0,先设尸（用，），则需证3+3?一加=0,即根据 条件 OPPQ = 可得一3?-m2+tn-n2 = l,而 M + if = 2,代入即得 3 + 3m-tn = 0.试题解析：解：(1)设 P(X, y), M ( xo,)o)，则 N ( x0,0 ), NP = (x-x

31、0,y),MN = (0, y0)由 NP = JlNNi 得 兀 = 0, y0 = )'-2因为M (4,y°)在C上，所以' +二=1. 22因此点P的轨迹为/ 十寸=2.由题意知 F (-1,0),设 Q (-3, t), P (m, n),则OQ = 一3, t,P= -l-m,-n,OQ PF = 3 + 3m-tn ,OP = m, n,PQ = (-3-m, t-n).由 OP-PQ = 1 得-3m-p +tn-九2 =1,又由(1)知m2 + ir = 2 » 故 3+3m-tn=O.所以oQpp = o,即页，近.又过点p存在唯一直线垂

32、直于oq,所以过点p且垂直于OQ的直线1过C的左焦点E点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的.定点、 定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参 数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. (1) a=l； (2)见解析.【解析】【分析】(1)通过分析可知f(X)>0等价于h (x) =ax - a - /北仑0,进而利用hf (x)=。一!可得h (x) min=h (),从而可得结论： a(2)通过(1)可知/(X)=AT -

33、 x - aZalv,记 f (x) =f (x) =2x - 2 - Inx,解不等式可 知f (x)“而=，(；)=ln2 - l<0,从而可知/ (x) =0存在两根.孙，x：,利用/(x)必 存在唯一极大值点工0及工0<:可知/(X。)<:，另一方面可知/(Xo) >/( -)=L24e e"【详解】(1)解：因为/ (x) =6lx2 - ax - xlnx=x (ax - a - Inx) (x>0),则/(x) NO 等价于/? (x) =ax - a - lnx>09 求导可知"(x) =a-. x则当心0时3 (x) &

34、lt;0,即y=/? (x)在(0, +co)上单调递减，所以当 xo>l 时，h(Ao)<h (1) =0,矛盾，故。>0.因为当OV%工时3(x) <0>当时"(x) >0, aa所以 h(X)nun = h (), a 又因为/? (1) =。-。-/1=0,所以工=1，解得。=1；a另解：因为/(I) =0,所以/(X) K)等价于/(X)在x>0时的最小值为f(l),所以等价于/ (x)在x=l处是极小值，所以解得。=1;(2 )证明：由(1)可知/(x) =.r - x - xlnx, f (x) =2x - 2 - lnx9令/

35、 （%） =0,可得 2x - 2 -/x=0,记 / （x） =2x - 2 - Inx,则 r （x） =2-, x令 r （x） =o,解得：x=L,2所以，（x）在区间（0,-）上单调递减，在（9, +8）上单调递增， 22所以 f （x） Inin=t （ - ） =bi2 - 1<0,从而/ （x） =0 有解，即/ （a） =0 存在两根 Xo,A-2,且不妨设了（A）在（0,X0）上为正、在（XQ, X2）上为负、在（X2, +8）上为正，所以/ （x）必存在唯一极大值点K0，且2%0 - 2 - Ihxq=O,所以/ （A-o ） = XQ - Xo - XqIiIXq= Xq - %o+2Xo - 2 XQ =x°一,由 Xo < 一可知/（Xo ） v （Xo-Vo" ） ）nax=-H=:22-2 4由/ （- ）